函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义(1)奇函数：设函数y f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f( x) f(x), 则这个函数叫奇函数.(2)偶函数：设函数y f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f( x) f(x), 则这个函数叫做偶函数.(3)奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性.(4)非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：(1)奇函数若在时有定义，则.(2)若f(x) 0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.2 .奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于 原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.3 .判断函数奇偶性的方法(1)图像法(2)定义法① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；② 确定f( — x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若 f( — x) = f(x) 或 f( -x) — f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若 f(—x) =—f(x)或 f( — x)+f(x) = 0 ,则 f(x)是奇函数.例题精讲【例11若函数f(x) ax2 bx是偶函数，求b的值.解：:函数f(x)=ax2+ bx是偶函数，f ( — x) = f (x) .ax2+ bx= ax2- bx...2bx=0...b=0.1【例3】已知函数f(x) g在y轴左边的图象如下图所示，回出它右边的图象 x题型一判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.2(1) f(x) |x|(x1);(2) f (x) 7x 1 ; x(3) f(x) |x 1| |x 1|；(4) f (x). T-2 , 2-^ ；(5) f (x)1 x2x2 1(6)f(x)解:(1)f(x)x ,x 0x2 ,x 0|x|(x2 1)的定义域为R,关于原点对称.••• f( x) | x|[( x)2 1] |x|(x2 1) f(x)・•. f( x) f (x),即 f(x)是偶函数. 1(2) f(x) & -的止义域为{x|x 0} x由于定义域关于原点不对称故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3) f(x) |x 1| |x 1|的定义域为R,关于原点对称.・•.f(—x) = | —x+1| — | —x—1| = |x—1| 一 |x + 1| = —(| x+1| - |x-1|) = 一f(x),.•.f(x) =| x+1| - |x-1| 是奇函数.(4) f(x) VxT kx的定义域为{2},由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(5) f(x)曲7的定义域为{1 , — 1},由 f(1) 0且 f( 1) 0,所以 f(x) 0所以f(x)图象既关于原点对称，又关于 y轴对称故f(x)既是奇函数又是偶函数.(6)显然定义域关于原点对称.当 x>0 时，一x<0, f (―x) =x2—x= —(x—x2)；当 x<0 时，一x>0, f(—x) = —x—x2= —(x2+ x).即 f( x)(x2 x) ，x 0(x x ),x 0即 f ( x) f (x) f(x)为奇函数.题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3) =2,求f(—3)和f(0)的值.解：: f(x)是定义在R上的奇函数，• ・f(—3) = —f(3) = -2,f (0) =0.【例5】已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f( -1) +g(1) =2, f (1) +g( —1) =4,求g(1).解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得 f( x) f (x) , g( x) g(x)所以一f(1) +g(1) =2①f(1) +g(1) =4②由①②消掉f(1),得g(1) =3.题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x) =x3—x2,当x>0时，求f(x)的解析式.解：当x 0时，有x 0所以 f ( x) ( x)3 ( x)2x3 x2又因为f(x)在R上为偶函数所以 f(x) f( x)x3 x2所以当x 0时，f (x)x3 x2.【例7】若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x) g(x) ex,求g(x). 解：因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数所以 f ( x) f (x) , g( x) g(x)因为 f (x) g(x) ex①所以 f( x) g( x) e x所以 f (x) g(x) e x ②由①②式消去f (x),得g(x)课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1 .函数 f (x) Jx 1 4~x是()A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数12 .已知函数f(x)为奇函数，且当x 0时，f(x) x2 1 ,则f( 1)()x3 . f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)>2,则当x<0时，有()A. f (x)<2 B , f(x)>2 C , f(x)<-2( x) € R4 .已知函数y=f (x)是偶函数，y=f (x-2)在［0, 2］上是单调减函数，则()(0) f(1)C. f(2)>f(3) D . f( — 3)