V a2 a下面用泰勒公式展开^\-e2cos20先由（1 +才=1 +也+牛心2+座二芈二总，2! 3!令K二1/2可得：严十兰+社-旷（2-3灯 2 2 25!令兀=-e2 cos2 0可得：Ji—护 cos? e = i _e2 cos2 3200-工n=2所以:C皿弘主也护-3）!宀讥2 n=2=44f2e2減 co2 cos2 阳&-工n=225!笔誉f宀这个式子可以化简 因为：pcos"刃& = — X —X —X」） 2 4 6_（2n -1）!! 7i— X —25! 22n -1x 71 X —2n所以:L - 4a<、71X —丿71 e2 ( 12 2GO-z71=2(1 • 3 • 5 …(2/? 一 3乂2〃 一 71X?(2"就(2兀一1)2-1-Zn=l2/i -1这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实 际计算时却只能取精确值(谁能长生不老？ )o2竺 T1-(2丿e4~3e6~5(1357) —•—(2 4 6 8丿Jq2 ] 为椭圆离心率1)仃・3・5....(2〃一1)、、2 • 4 • 6 ••- -2/1 丿((2/?-1)!!、2戶_[(2小！ >2n-l8=2jra< 1 -工?J=1根据项名达公式(1)，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布 表1:Private Sub Form_Click ()a = 1 :长半轴长度。
a. b可根据实际问题改为其它值b = 0. 15 :,短半轴长度，应不大于a,否则两者互换e = sqr(l-b*b/a/a)kO = 0.25 *eA2s= 1-kO，椭圆离心率(1)式括号中的第二项(1)式括号中的前二项for 1 = 2 to 1000000级数算到百力项，一•般计算机只需儿秒钟k = kO*(2*I-1 )A2/(2*I)A2*(2*I-3)/(2*I-1 )*c*c :, (1)式括号中的某一项s = s-k:将各项累加到s中去，最终就得到(1)式括号中的值k0 = k:为计算下一项，将前一项结果赋给kOnext I:循环print 2*3.1415926535*a*s f打印或显示计算结果End Subah椭圆周长10.004.0000000000-10.014.0010983297 -10」04.0639741801 …10.254.2892108875-10.504.8442241100-10.755.5258730400-10.905.9731604325 …10.996.2518088479-11.006.2831853070-表1•椭圆周长真值的分布项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如 果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度耍求计算椭圆周 长。
为了方便，我们称下面这个公式为周铉承椭圆周长标准公式C =兀•(a + b) 1(1>3 Yl(a-b>6+<5!P2( 7、a -b<2 • 4 • 6；(a + b 丿<8!!>(a +b 丿2・4丿 \a + b)+ •a — b为了估计谋差，我们设2 =乞丄，则周铉承标准公式为: a + bC =兀•(a + b) 1 +A2 +24 +(1・3\2A6 +(2)这个公式中，主干为龙・（a + b）,我们可以把才+26 +理、(3)称为谋差多项式假如要求我们谋差率低于5,我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设n>2,则 误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：z 、2(2〃-1)!!］刊2I ⑵ 7 + 2)!!丿J ⑵2 + 1)!! 丫严I ⑵ 7+4)!!丿z 、2*(⑵2+ 3)!!］才”+6 (⑵ 2 + 6)!!丿(1 、2(1 、2(1 、<1、256丿刊2 +1<256；丹4 *1<256,2(2斤-1)『J2H + 2)!!, (2—1)!!、 ，⑵2+ 2)!!丿2A2n+2 +"(2^ + 1)!!、\(2m + 4)!!‘(2〃-1)!!、，⑵2 + 2)!!,2肝+4 +222n+4 +(2川 + 3)!!丫、⑵7 + 6)!!丿(2-1)!!，⑵? + 2)!!丿、21才⑷256 1-Z2所以只须:舟才⑷<256(1-才)5心询256(1—才屈]21nA(4)公式(4)称为周铉承标准公式(2)的谋差公式。
〃取满足不等式(4)的最小整数, 为此，我们只需要一个带有函数的学牛计算器便可以根据精确度要求，知道我们应该计算到 第儿项，计算所得的值在给定误差率5的情况下是准确的注意：计算到误差多项式笫n 项，就是周铉承标准公式(2)括号中算到2n次方项；若n为负数或者小于2,就算到误差 多项式(3)第2项,即公式(2)中括号里的4次方项如 41.86745.则周锂承标准公式 中，中括号里应该算到4次方项因为误差公式证明中n大于或等于2是前捉条件二、两个高精度的椭周长初等公式如來利用周侏承标准公式來计算椭圆周长，通常只需要级数前两三项就可以达到相当 高的精确度但当zi =0.95,^ = 0.0001时，算得：〃〉ln[256(l-才)司_ 1 = 57.42,即用到 21nZ误差多项式第58项即116次方项，i吴差才能保证小于万分之一为此，我们可以根据周链承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决-<0.1甚至更小时的计算问题设八a-h a + ba才才兄6 25才 49泸= F 1 1 1 4 64 256 16384 65536贝!J C = 7i(a + h)[\ + “]我们改造函数模型，考虑到函数“的表达式具冇三个重要特征：1.各项均含冇因式才；2.当b^a时，2 =兰二？tO,椭圆周长趋近于圆周长C = 2龙y,此吋“t0； a + b4 — 7T3•当b TO时，/ItI,椭圆周长趋近两倍长轴长，即Ct 4— 此时“t 。
因此,71我们构建函数模型：兀+)以2 12 (匕、A = ・久 ⑸z + wAr(5)式小2是白变量，2= —，“ =—— 1, x,y,z,w为待定系数为了a + b 7i{a +h)拟合函数，我们取表1中最具冇代表性的数据用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标a “):1-0.25 4.2892109 n J-0.5 4.8442241 (、 J-0.75 5.5258730 n9 1)， ( , 1)， ( 9 1)1 + 0.25 1.25龙 1 + 0.5 1.5龙 1 + 0.75 1.75兀依次代入函数(5),得到三个关于兀,y,z,w的一次方程我们可以设计一个算法, 或者用计算器解这个一次方程组，得到x:y：z：w的比例关系为了帮助记忆和增加公式 的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：16-3A264 —16才(6)兀：y : z ： w 彩 16: (-3): 64: (-16) o把上述值代入函数(5),得：Cu;r(d + b)[l +入并化简得到椭圆周长近似公式：c ”[64(d + b)4-3(a-b)4]( H (a + b)[64(a + b)2 - 16(a 一 b)2 ]笔者取龙〜3. 141592654验证这个公式,得到表2。
表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差,除以椭圆周长真值所得的商CIb公式(6) C椭圆周长真值课差10. 003.9924406644.()()()()()()()()()()…-0. 001910.013.9953903844.0010983297—-0. 001410. 104.0631510074.0639741801--0.0002010. 254.2891586244.2892108875--0.00001210. 504.8442236724.8442241100--0.0000000910. 755.5258730405.5258730400—-0.000000000110. 905.9731604335.9731604325 --0.000000000010. 996.2518088486.2518088479--0.000000000011.006.2831853076.2831853070—0.00000000000表2椭圆而积公式S=7i-ah是一个标准公式我们可以用截而斜截一个圆柱，然后 割补圆柱，使底而变为椭圆，由于底血积乘高是一个不变量，根据这个不变量列出等 式，只需要初中九年级的三角形相似的比例性质就可以解出这个公式。
阴影部分血积是四分之一椭圆面积减去一个三角形血积，弧。