有限元的MATLAB解法1. 打开 MATLAB2. 输入“pdetool”再回车，会跳出PDE Toolbox的窗口（PDE意为 偏微分方程，是partial differential equations的缩写），需要 的话可点击Options菜单下Grid命令，打开栅格3. 完成平面几何模型：在PDE Toolbox的窗口中，点击工具栏下的 矩形几何模型进行制作模型，可画矩形R，椭圆E，圆C，然后在Set formula栏进行编辑并（如双脊波导R1+R2+R3改为RI-R2-R3,设定 a、b、s/a、d/b的值从而方便下步设定坐标）用算术运算符将图形对象名称连接起来，若还需要，可进行储存， 形成M文件I I I 3 |I 1 2 d III I bI I s I I c1=c2I—c1_| |_c2_ |4. 用左键双击矩形进行坐标设置：将大的矩形left和bottom都设 为0， width是矩形波导的X轴的长度，height是矩形波导的y轴 的长度，以大的矩形左下角点为原点坐标为参考设置其他矩形坐标5. 进行边界设置：点击"Boundary”中的"Boundary Mode”，再点 击 “Boundary”中的“Specify Boundary Conditions”，选择符合 的边界条件，Neumann为诺曼条件,Dirichlet为狄利克雷条件，边 界颜色显示为红色。
6. 进入PDE模式：点击"PDE"菜单下“PDEMode ”命令，进入PDE模 式，单击“PDE Specification”，设置方程类型，“Elliptic ”为椭 圆型 “Parabolic” 为抛物型 “Hyperbolic” 为双曲型 “Eigenmodes” 为特征值问题7. 对模型进行剖分：点击“Mesh ”中“Initialize Mesh ”进行初次 剖分，若要剖的更细，再点击“Refine Mesh”进行网格加密8. 进行计算：点击“Solve”中“Solve PDE”，解偏微分方程并显示 图形解，u值即为Hz或者Ez9. 单击 “Plot” 菜单下 “Parameters” 选项，打开 “Plot Selection” 对话框选中Color,Height(3-D plot)和Show mesh三项，然后单 击“Plot”按钮，显示三维图形解10. 如果要画等值线图和矢量场图，单击"Plot”菜单下“Parameters” 选项，打开“Plot Selection”对话框选中Contour和Arrows两 项，然后单击Plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图11. 将计算结果条件和边界导入MATLAB中：点击“Export Solution”, 再点击 “Mesh”中 “Export Mesh”。
12.在MATLAB中将编好的计算程序导入，按F5运行备注:Property (属性)用于画图时选用相应的绘图类型方程的解abs(grad(u))每个三角形的中心的▽“的绝对值abs(c*grad(u))每个三角形的中心的c・^u的绝对值-grad(u)我们也可以用MATLAB程序求解PDE问题，同时显示解的图形；[P h c. ^ ] =ini^ma2h ( f circlr^1' , r 1；吊粉始化网格error 二口； err -1 ；.021,[p® t ] =ref inemesh ( J circl&gp ,p, c . r. U 唐,密网略 二=“.3,丁力村丘，：「匚i /仁_＞：]』』p..户.t；「1 ,"：哲京能 exact-(l-p[lr ：) ； ) dh 导定义精确解er■「二nnTir ( ' inf ' \ ；C4IUL - ；ci rDr err-；；puxn艺骂h （e m E 我绘制网格国p日契二r三P,匕，u!苇绘制斜的曲面I pels surf【「•♦ t . u- e^ct）吨象胡谖差图形一个长直接接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位均为0,顶盖电 位为100V，求槽内的电位分布：（1） 画出剖分图（尺寸与书上一样）;（2） 标出各剖分点坐标值；（3） 求出各点电位值（用有限差分）;（4） 画出等电位图。
解：（1）编写以下程序得：x=0:5y=0：5[X,Y]=meshgrid(x,y)plot(X,Y)hold onplot(Y,X)for i=0:5s=i:5t=0:(5-i)plot(s,t)plot(t,s)end得到剖分图如下：(2)用有限元法编写程序如下:Ex*z 二J1J0M-PUCDPUCD、里削* 岷护、bN、EA*(l「v((「._?)N) A 、关削爨岷护、dN'EX* (I一V((「._?) N)x 嗥岷护落忌「瓦\二+>N*(I一)H(「ON>N】H「JOM-XN 二J1J0M-f gnbN f gndN fgHEW gHEX f 9如N f 9HXNsMN+(「odH(「ob f「+z、>N*(2z)H(「od 三女N*(l一)H(「._?)—IOH(Z._?)E巴①Sa 二—(「B)bn(「._?)」 =N'「odH(「ob 二+「+>N+z\>N*(l一) **(「._?) d二+bN*(l一V(「._?)_!HH(ZBEe」tE;H「JOM-r(i,j)=q(i,j)+1；endendendfor i=1:2*Xmfor j=1:Ymb(P(i,j))=Y(q(i,j))-Y(r(i,j));b(q(i,j))=Y(r(i,j) )-Y(p(i,j));b(r(i,j))=Y(p(i,j))-Y(q(i,j));c(p(i,j))=X(r(i,j) )-X(q(i,j));c(q(i,j))=X(p(i,j))-X(r(i,j));c(r(i,j))=X(q(i,j) )-X(p(i,j));area(i,j) = (b(p(i,j))*c(q(i,j))-b(q(i,j))*c(p(i,j)))/2;K二zeros(Nx*Ny);Kpp(i,j) = (b(p(i,j))"2+c(p(i,j))")/(2*area(i,j));Kpq(i,j) = (b(p(i,j))*b(q(i,j))+c(p(i,j))*c(q(i,j)))/(2*area(i,j));Kpr(i,j) = (b(p(i,j))*b(r(i,j))+c(p(i,j))*c(r(i,j)))/(2* area(i,j));Kqp(i,j)=Kpq(i,j);K(i,j) = (b(q(i,j))"2+c(q(i,j))")/(2*area(i,j));Kqr(i,j) = (b(q(i,j))*b(r(i,j))+c(q(i,j))*c(r(i,j)))/ (2*area(i,j));Krp(i,j)=Kpr(i,j);Krq(i,j)=Kqr(i,j);Krr(i,j) = (b(r(i,j))"2+c(r(i,j))")/(2*area(i,j));endendfor i=1:2*Xmfor j=1:YmK(p(i,j),p(i,j))二Kpp(i,j)+K(p(i,j),p(i,j));K(p(i,j),q(i,j))二Kpq(i,j)+K(p(i,j),q(i,j));K(p(i,j),r(i,j))二Kpr(i,j)+K(p(i,j),r(i,j));K(q(i,j),p(i,j))二Kqp(i,j)+K(q(i,j),p(i,j));K (q (L j)9 q (L j)) nK (L j) +K (q (L j)9 q (L j))； K(q(L j)9 r (L j)vKqr (L j)+K(q(L j)9 r (L j))； K(r (L j)。
psj)vKrp(L j)+K(r (L j)P (L j))； K(r (L j)9 qsj)vKrq(L j)+K(r (L j)9 q (L j))； K(r (L j)r (L j)vKrr (L j)+K(r (L j)r (L j))； endendforTr三一K(L 二点K(L i)」Hn rHn r•IIIIoII―、•IIIIoIIfor i=11:11:121K(i,:)=0;K(i,i)=1;endB=zeros(121,1);for i=11:11:121B(i,1)=100;endU=K\B;b=1;XX=zeros(11,11)for j=1:11for i=1:11XX(i,j)=U(b,1);b=b+1;endendsubplot(1,2,1),mesh(XX)axis([0,11,0,11,0,100])subplot(1,2,2),contour(XX,15)(4)由程序得到的电场分布图及等位线图如下:hold on(3)由上面的程序得到节点电位:V1=0000007.14299.82147.14290018.750025.000018.75000042.857152.678642.857100100.0000100.0000100.000004. 用有限元法求矩形波导（b/a=0.45 ）的：（1） 电场分布图；（2） 求TE模式下的主模、第一、二高次模的截止波长（5 次），画出截至波长图；（3） 求TM模式下的主模、第一、二高次模的截止波长（5 次），画出截至波长图。
解：利用MATLAB中的PDE工具箱：取矩形波导的宽边尺寸为a， 窄边尺寸为0.45a1） 主模的电场分布图如下:在Neumann边界条件下：在Dirichlet边界条件下:-0.01-0.02-0.03-0.04-0.05-0.06-0.07-0.08-0.09-0.1(2)在TE模式下设置边界条件为Neumann条件，使用编制好 的程序计算出主模的截止波长为 1.9988a，第一高次模为0.9977a ,第二高次模为0.8972a，截止波长图如下：―当^<°.9977aW―"当0.9977a