列代数式(基础)知识讲解【学习目标】1. 理解字母表示数的意义；能用字母表示简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值．【要点梳理】 要点一、用字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更 具有普遍意义了.举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表 示为：a+b=b + a.乘法交换律可以用字母表示为：ab=ba.要点二、代数式n如：16n , 2a+3b , 34 ,勺,(a + b)2等式子，它们都是数和字母用运算符号连接所成 的式子，称为代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.要点诠释：含有等号或不等号的式子不是代数式，如3x二3 , 3x > 3 , 3x丰3等都不是代数式. 要点三、列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数 式，使问题变得简洁，更具一般性.要点诠释：代数式的书写规范：(1) 字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“・”或省略不写；(2) 除法运算一般以分数的形式表示；(3) 字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；(4) 字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式；(5) 如果字母前面的数字是1，通常省略不写.要点四、代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做 代数式的值.要点诠释：求代数式的值的步骤：(1)代入数值； (2)计算结果.【典型例题】类型一、用字母表示数1.填空：(1) 如果a表示一个有理数，那么它的相反数是 ；(2) 一个正方形的边长是a cm,把这个正方形的边长增加1 cm后所得到的正方形的周长是 ;(3) 某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达 元.【思路点拨(1)求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可； (2)正方形的周长等于边长的4倍；(3)注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言.【答案 (1) -a； (2)(4a+4)cm； (3) (2n+500).【解析】解：(1)如果a表示一个有理数，那么它的相反数是-a；(2)这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1) cm,所以周长为4 (a+1) cm,也即(4a+4)cm；( 3 )某城市 5 年前人均收入为 n 元，预计今年收入是五年前的 2 倍多 500 元，那么今年人 均收入将达(2n+500)元.【总结升华】原题中的数据有单位,写出的代数式的形式是“和(或差)”的形式的,一定 要用括号把代数式括起来.举一反三：【变式 1】试引进字母,用适当的代数式表示：(1)能被3整除的整数； (2)除以3余数是2的整数.【答案(1) 3n ( n为整数)；(2) 3n + 2 ( n为整数).【变式 2】小宁到银行存入 p 元人民币,现行年利率为2.25% ,问存期一年可得到的利息 是多少？如果一年后把钱全部取出,本金和利息有多少元？【答案】解：存期一年可得到的利息是2.25% p ； 一年后把钱全部取出，本金和利息共有(1+ 2.25%) p元类型二、列代数式2•用代数式表示：(1) 一打铅笔有12支，总价为a元，则每支铅笔的价格是 元；(2) 某商品的进价是a元，预期的利润率是20%，则此商品的售价应定为 元.a【答案】(1) . (2) a(1+ 20%).【解析】基本关系式：(1)单价=总价 支数;(2)售价=进价x(l+利润率).【总结升华 列代数式实质上就是把文字语言转化为数学符号语言，对数学符号组成的式子， 最后结果一定要化为最简形式.举一反三：【变式 1 】(1) x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 .⑵操作电脑时，甲4小时打x个字，乙5小时打y个字，甲乙两人每小时共打 个字.(3)(海南)农民张大伯因病住院，手术费用为a元，其他费用为b元，由于参加农村合 作医疗，手术费用报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此住院可报销 元(用代数式表示).xy【答案】(1) 3x2 — 5 (2)( — + ' ) (3)(85%a + 60%b)45【变式2】代数式8a 3意义是什么？【答案】解：8a3可以看成一个大物体的体积是一个棱长为a的小正方体体积的8倍•或也可以看成一个棱长为2a的正方体的体积(答案不唯一).类型三、代数式的的值3.当 x 二—2, y 二—3 时，求 x 2 y + xy 2 - y 3 的值.2)计算结果.【思路点拨】求代数式的值的步骤：(1)代入数值 【答案与解析】13解：当x二—亍，y二一2时，x 2 y + xy 2 — y 31 3 1 3 3二(—)2 X (— ) + (— ) X (— )2—(— )32 2 2 2 23 9 27——————+ -8 8 8_ 15_"8【总结升华(1)如果代数式中省略乘号，代入数值后需添上“X”号.如果字母取值是分 数，作乘方运算时要加括号；(2)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢.举一反三：【变式】当x — 7, y — 4, z — 0时，求代数：x(2x - y + 3z)的值.【答案】解：当 x — 7, y — 4, z — 0 时，x(2 x — y + 3 z )—7X(2X7—4+3X0)— 7X(14— 4)—70.驚尸4.按下列程序计算x=3时的结果 .【思路点拨】根据题目所给程序依次计算即可.【答案】 15；【解析】当 x — 3时，则(x+1)2—1—(3+1)2—1—15.【总结升华】本题考查了代数式求值，弄清运算程序是解题的关键.举一反三：【变式】(铜仁地区)照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5,则输出的值为 类型四、综合应用5.有一个两位数，十位上的数字为a,个位上的数字比十位上的数字大5,用代数式 表示这个两位数，并求当a=3时，这个两位数是多少？【答案与解析】解：(1)代数式表示这个两位数是10a + (a + 5).(2)把a = 3代入代数式10 a + (a + 5)，得:10 x 3 + (3 + 5)二 38.因此这个两位数是 38 .【总结升华】代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a不能为零且不能为负数和分数.举一反三：【变式1】一工厂有煤x(t),计划每天烧煤y(t).(1) 列式表示计划可烧煤的天数.(2)若实际每天少烧煤0.51,列式表示实际比计划多烧煤的天数.⑶当x二72, y二6时，求计划烧煤天数以及实际比计划多烧煤的天数【答案】x解：(1)由题意得，计划烧煤天数为一(天)；yx(2)实际烧煤天数为 (天),y - 0.5实际比计划多烧煤的天数为y -0.5 yx 72(3) x = 72, y = 6，计划烧煤天数一 =丁 =12 (天)； y6实际比计划多烧煤的天数为7272y - 0.5 y6-0.512F (天)•【变式2】(巴中)已知如图所示，正方形ABCD的边长为1,以AB为直径作半圆，以点A 为圆心，AD为半径画弧.那么图中阴影部分的面积为 .【答案】兀8提示：根据题意得,S =S阴影部分 扇形BAD=1 一 1「4… 2-S半圆BA4歩妙2 ― 2gi（ 2）。