1 精算师考试--金融数学课本知识精粹 第一篇：利息理论 精算师考试--金融数学课本知识精粹 第一篇：利息理论 第一章：利息的基本概念 第一章：利息的基本概念 t t 0 n t 0 ( ) = ( ) ( ) ( )(0) 1 )( dr a t a t a te A ndtA nA 、有关利息力: ()( ) 11 (1)1(1)(1)2 mp mp id ivde mp 、 =1 3 1 t t i it d id 、 但贴 单利率下的利息力 ： ： 现下的利息力 4 严格单利法（英国法） 投资期的确定 常规单利法（欧洲大陆法） 银行家规则（欧洲货币法） 、 2 1 1 n k k k n k k s t t s 5、等时间法： 第二章 年金 第二章 年金 .... 1 .... 1 +i1 1 +i1 nn nn nn nn aaaa ssss （1 ） 、 （1 ） ...... 2 m nm nm m nm nm v aaa v aaa 、 3、零头付款问题： （1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同 （2）各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金 （1）付款频率低于计息频率的年金 3 : 1 ....... 1 ........ n k nk k n k nk k a s sis s a a sia a 现值 期末付年金：永续年金现值： 终值： 现值： 期初付年金：永续年金现值： 终值: （2）付款频率高于计息频率的年金 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. ( ) ( ) ( ) .. ( ) 1 : 1 ....... (1 )1 1 1 ........ (1 )1 n m mn m n m mn mn n m m mn n m v a i i i i v a d d i s i 现 值 期 末 付 年 金 ：永 续 年 金 现 值 ： 终 值 ： s 现 值 ： 期 初 付 年 金 ：永 续 年 金 现 值 ： 终 值 : （3）连续年金（注意：与永续年金的区别） 4 0 0 1 (1)1 (1) n n t n n n nt n v av dt i sidt 6、基本年金变化 （1）各年付款额为等差数列 0 .. 0 -1 0 1 () () () =()+() =()+() n n n n nn nn n nn nn n nnnn n nnnn anv VpaQ i ananv Iaa ii anvna Dana ii VIavDaaa VIavDaaa 现 值 期 末 付 虹 式 年 金 ： 期 末 付 平 顶 虹 式 年 金 : （2）各年付款额为等比数列 5 0 00 0 : 1 1() 1 : 1 : n ik V k n i Vik V iki ik V 不存在 不存在 存在 7、更一般变化的年金： （1）在()nIa的基础上，付款频率小于计息频率的形式 0= n n k k a n v ak V is （2）在()nIa的基础上，付款频率大于计息频率的形式 ( ) ( ) .. ( ) ( ) () () n m n mn n n m mn anv Ia i anv Ia i （m） 每个计息期内的m次付款额保持不变 每个计息期内的m次付款额保持不变 （3）连续变化年金： 1：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 t,其现值为 () n n n anv I a 2：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 ( )f t ,其现值为 0 (0)( ) n t Vf t vdt 6 第三章 收益率 第三章 收益率 1、收益率（内部收益率） 由 0 (0)0 n t t t Vv R 可求出 2、收益率的唯一性： （1）若在 0n 期间内存在一时刻 t，t 之后的期间里现金流向是 一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流 向方向相反，则收益率唯一。
（2） 若在 0n-1 内各发生现金流的时刻， 投资 （包括支出及回收， 总称投资）的积累额大于 0，则该现金流唯一 3、再投资收益率： （1）情形一：在时刻 0 投资 1 单位，t 时刻的积累值: 1 n is （ 2 ） 情 形 二 ： 在 标 准 金 中 , t时 刻 的 积 累 值 ： 1 () n n sn ni Isni j 4、基金收益率：A：期初基金的资本量 B：期末基金的本息和 I：投资期内基金所得收入 t C：t 时刻的现金流（01t ） C：在此期间的现金流之和 t t CC， （1） (1) t t I i ACt （2） 2I i ABI （现金流在 0-1 期间内均匀分布） 7 （3） (1)(1) I i kAk Bk I （其中(/) t t ktCC ） 注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益率 12 (1)(1)() 1 m iiiiiL 6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后 根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益 投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间 相联系的利率，积累值为： 12 1 12 (1+ )(1)(1)...... (1+ )(1)(1)(1).....(1+)..... yyy k yyyy my k m Ciiikm Ciiiiikm L L （m 为投资年法的年数， 即若投资时间未满 m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资 组合法计算收益率。
在 y 年投资第 t 年收益率记为 y t i） 7、股息贴现模型 （1）每期末支付股息 t D，假定该股票的收益率为 r,则它的理论价格 为： 1(1 ) n n n D p r （2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益 率为 r,-1
假定无风险利率为 10%， 而且按连续复利进行贴现，那么： V0=$45xe-10%x0.25=$43.89 43.89=100 x0.5-c C=50-43.89=$6.11 25 2、N 期模型的通用公式 26 ! (1)max(,0) !()! ! (1)max(,0) !()! n rTjn jjn j j o n rTjn jjn j j o n c esu dk j nj n p ek su d j nj r ed q ud 3、Black-Scholes 模型 () 12 2 1 21 ( ,)S()() 1 log()() 2 r Tt tt t f t SdKed S rTt K d Tt ddTt 其 中 ： 4、希腊字母及其意义： （1） 、 t f f S L为衍生品德价格 意义：度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此 是对基础资产价格敏感性的度量 （基础资产本身的=1） 可以通过 资产组合达到中立状态，即=0. （2） 2 2 = tt f SS 意义：度量了基础资产价格的变化对影响， 即度量了衍生品 27 价格与基础资产价格之间的凹凸性。
若某个时刻基础资产处于=0， 当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权可能不为 0. 如果 <0，则资产价格的上升将使得资产组合的0：风险厌恶系数 6、风险厌恶的度量： ( ()( ) ( ()( ) ( ()( ) E U wU w E U wU w E U wU w 29 绝对风险厌恶系数： ( ) A ( ) w Uw U w 相对风险厌恶系数： ( ) ( ) w wUw R U w 7、两风险资产组合 ()()(1) () PAB E RwE Rw E R 222 ()(1)2 (1) RABABAB wwww 8、一个风险资产 A 无风险资产 投资组合收益率(1) PfA Rw rwR 投资组合期望收益率：()(1)() pfA E Rw rw E R 投资组合标准差： PA w 9、风险报酬率（Sharpe 比率） () Af A E Rr 10、最优资产组合的求解 投资在市场组合 M 上的比列： 2 M () pMf M E Rr w A 考虑两个风险资产 A、B 则该风险组合的预期收益和方差分别为： 22222 B ()()(1) () (1)2(1)cov pAAB PAABABA E Rw E Rw E R wwww 此时风险报酬率： max () max A pf w p E Rr 30 而 2 B 22 () ()cov () () ()E()cov AfBBfA A AfBBfAAfBfAB E RrE Rr w E RrE RrE RrRr 第十一章 CAPM 和 第十一章 CAPM 和 、 风险市场价格： 2 () Mf M E Rr 、 期望贝塔关系： 2 () () cov(,) ifipf iM i M E RrE Rr R R 其中 、 对任意风险资产组合 p N 1122 1 () () w fppf pNNii i E RrE Rr www L其中 、 其斜率为市场组合的风险溢价() pf E Rr 、 的另一种常用形式： 31 2222 ()() () i ifiMfi iiM RrRr 可忽略 可忽略 、 资产估值： 1 0 1 0 () E(R )=1 () 1() i i E pD P E pD p E R 、在业绩评估中的应用 （） ：指数： () ppfpAf JrrE Rr （越大越好） （）指数： pf p p rr T （越大越好） （）指数： pf p p rr S （越高越好） 、套利定价模型（） （）单因素模型： iiii RF 资产组合收益率： 111 nnn piiiiMii iii RwwRw 2222 1 222 1 () ()((。