2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）理 科 数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4.考试范围：高考全部内容一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=xeN 卜=7?,A =-1,5 ,卜 卜=2,，则 3 c D=（）A.L2,3,4,5 B.1,2,3,5 C.0,1,2,3,5 D.-1,0,1,2,3,4,52.已 知 复 数 曾 的 虚 部 是 2,则当=（）1-ai 1 一A.75 B.近 C.3 D.ViT3.执行如图所示的程序框图，若输出p 的值为2 1,则空白框内可以填入的是（）A.k3 B.k5C.klD.k94.已知 M C 中，AB =2,AC=4,ZBAC=120,则AO B C 的 值 为（）A.6 B.7 C.8。
为 ABC所在平面内一点，O A +OB+2OC=O,D.95.已知数列%是等差数列，数列也 是等比数列，若 4+为+%=9也贴8=3，则（）A.2 B.73 C.-D.且2 36.已知长方形ABC中，AD=2AB,E,X 分别是43,A的中点，尸是8C 边上靠近2 的三等分点，G 是边上靠近的四等分点.现往长方形ABC中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有（）D.72 个7.已知平面直角坐标系中，角a的终边不在坐标轴上，则“t a n 0 s i n（z 0,b 0）的离心率为君，圆（尤-a）F=9 与 C的一条渐近线相交,a b且弦长不小于4,则的取值范围是（）A.（0,1 B.C.（0,2 D.9 .劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀.该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B,C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（）A.1 40 B.1 5 0 C.2 0 0 D.2 2 01 0 .已知函数 x）=M c o s（s +0,M O,o O,|d b B.a f（b）D.f（a）f（b）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 2 0 分1 3.已知函数=+As i n x +2(A 工0),若“4)=6,则/()=x-2 y+l 515.已知正四棱锥P-M C D 的底面边长为2后，高为，且1 4/4 4,该四棱锥的外接球的表面积为S,则S的 取 值 范 围 为.16.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足-c?卜inCcosC=bccos(B+C),a=y/2,贝 I ABC周 长 的 取 值 范 围 为.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.17.(12分)已知数列%的前几项和为S,且满 足%=2,%=4,当 心 2 时，鸟二二工，是 4 的常数列J.(1)求%的通项公式；当2 2 时，设 数 列/的前 项和为北，证明：(k)0.5000.0500.005k0.4453.8417.78920.（12分）已知抛物线C:f =2py经过点P（-2,l）,过点。
1,0）的直线/与抛物线C有两个不同交点A B,且直线上4 交x 轴 于 直 线 加 交 x 轴于N.（1）求直线/斜率的取值范围；（2）证明：存在定点T,使得M=2 Q T,=7 且；+=4.Z（J,21.（12 分）己知函数/（xbaeX+V+x.（1）若曲线y=/（x）在 x=0 处的切线方程为y=2x+6,求a,b 的值；若函数Mx）=/（x）+ln a-x 2-x 7 n x,且耳恰有2 个不同的零点，求实数的取值范围.（-）选考题：共 10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.（10 分）c x=tcosa在直角坐标系xOy中，己知曲线C：x?+y2=x+y （其中曲线0：.（r为参数，r0）,y=tsma rsm CL TV一 一 G 为参数，/0,彳）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标y=tcosa 2系.（1）求 C 的极坐标方程；若曲线C 与 G，G 分别交于A,B两点，求 0AB面积的最大值.选修4-5：不等式选讲23.（10 分）已知函数/（x）=|x-2|-|x-2|.（1）当a=-l 时,求 不 等 式 的 解 集;若不等式/（x）g x 4|-1恒成立，求实数的 值.2 0 2 4届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）理 科 数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号回 答非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上写 在 本 试 卷 上 无 效3.考 试 结 束 后，将本试卷和答 题 卡 一 并 交回4 .考 试 范 围：高 考 全 部 内 容一、选 择 题：本 大 题 共12小题，每 小 题5分，共6 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 =卜叫了=7 7 ,3A =-1,5,Z)=y|y=2J,则 5 c o=()A.123,4,5B.1,2,3,5)C.0,1,2,3,5)D.-1,0,1,2,3,4.5)【答 案】A【分 析】根据函数的定义域求得A,进 而 求 得8,根据函数的值域求得进 而 求 得5 c o.【详 解】A=XG N|y=74x1=x e N|0 x b=2,巾 0,所以 3 =1,2,3,4,5.故选:A2.已 知 复 数 当 的 虚 部 是2,1-a i3+ai1-ai则()A.亚C.3D.而【答 案】A【分 析】根据复数的除法运算,化简3+i1-ai结 合 虚 部 为2求 出a的值，即可得复数3+oi1一出,再根据模的计算公式,即可得答案;【详 解】3+ai _(3+ai)(l+ai)1-ai+3 a2+4ail+i?，则咨=2,解 得4=1,则3+m 3-l2+4i=l+2 i,则3+ai1-ai=|l+2i|=/5,1 ai 1+1-故 选：A.3.执行如图所示的程序框图，若 输 出p的 值 为2 1,则 空 白 框 内 可 以 填 入 的 是（）A.k 3B.左5C.k lD.k/.OA+(OA+AB)+2(0A+AC)=0,AO=A B +A C,AO-BC-AB+-AC(AC-AB=-AC2-AB2-AB-AC=S(4 2 八 2 4 4故选：C.5.已知数列%是等差数列，数列 4 是等比数列，若6+丹+名=9也贴8=3 6,则士厂()A IA.2 B.J3 C.-D.2 3【答案】C【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.【详解】由题意可得，也4+纳 4 +分%=33相a.=9解得,%=34=5斫以 二a,+a.L,=2a.=-6-=3加入 1 +Z 4 1+1 +3 2,故选：C.6.已知长方形4BC。
中，AD=2AB,E,X 分别是AB,的中点，尸是BC边上靠近B 的三等分点，G 是边上靠近的四等分点.现往长方形ABC中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有()C.54 个 D.72 个【答案】A【分析】根据己知可分别长方形及阴影部分的面积，再根据几何概型即可求解.【详解】依题意，不妨设A8=6,则AD=1 2,落在阴影部分的点有八个，结合题中图形易知长方形A B C D的面积为6x12=72,阴影部分的面积 S=12x6-工 X3X6X6X3-LX8X2 J_X4X3=,2 2 2 2 2 2 269由几何概型得_ =2，解得九=46,96 72即落在阴影部分内的点有46个.故选：A.7.已知平面直角坐标系中，角a的终边不在坐标轴上，则“tancrsin(z 0,sin(Z 0,coscr 0,因为O c c o s e v l,所以一-1,cos asin cc可知-sin a,即 tan a sin a,故 tana v sin a v cos a 不成立；cos a若在第四象限，贝！J ta n a 0,sin a 0,因为O v c o s a v l,所以一-1,cos asin oc可知-c o s a =L,不合题意；3 2 2所以a 只能是第四象限角;综上可知，“tana vsina v co sa”是 是 第 四 象 限 角”的充要条件.故选：C2 2 _8.已知双曲线C:二-2=1(a 0,b 0)的离心率为正，圆(x-a +y2=9与 C 的一条渐近线相交,a b且弦长不小于4,则 a 的取值范围是()A.(0,1 B.1 0,|C.(0,2 D.f o,|【答案】D【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为y=2 x,结合弦长可得2/9-丫2 4,运算求解即可.【详解】设双曲线C 的半焦距为c 0,则e，=H=J也 尹=、=布,解得2 =2,a a a y a a且双曲线C 的焦点在X轴上，所以双曲线C 的渐近线为y=2尤，因为圆。
了 +丁=9 的圆心为(a,0),半径r=3,可知圆(x-a)2+V=9 关于x 轴对称，不妨取渐近线为y=2 x,即2 x-y =0,则圆心(a,0)到渐近线的距离”=m 3,可得0 a 笠，又因为圆(x-a)2+y=9 与双曲线C 的一条渐近线相交弦长为2,因一屋=2/一 Y,由题意可得2,9-手2 4,解得0b B.a f（b）D./（a）当xe(e2,+9)时，g(无)g(2),即In歪e=能1 I近n 2，所 以1口 2,5 6所以当时，ab,当=一一产时，a Q 0 时，/(x)0,所以X)在(0,内)上单调递增,所以/()=/日=/旧ln 2)=f(b).故选:C.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分13.已 知 函 数/+bsinx+2(aZ;W0),若“4)=6,则 -4)=【答案】-2【分析】设 g(%)=/(x)-2=等 二+b sin X,判断函数g(x)的奇偶性求解即可.【详解】设 g(x)=/(x)-2 =3+即户+力 sin x,g(x)的 定 义 域 为 无 wo,g(-x)=e-/+b sin(r)=-Q：+b s i n苫=-g(x),g(x)是奇函数，4)=6,.g(4)=/(4)-2 =6-2 =4,.g(-4)=/(-4)-2 =-g(4)=-4,故答案为：-2.x-2 y+l 014.若x，y 满足约束条件 x+2y47,则 y-2 x 的最小值是3x+2y 25【答案】-4【分析】利用线性规划作出可行域，直接求最优解即可.【详解】如图，作出可行域，为一封闭三角形区域（包含边界），易得三角形的顶点分别为A（-l,4）,B（3,2）,C（1,1）,作出直线y=2x并平移，当平移后的直线过点8 时，y-2 x 取得最小值，且为 2 2x3=4故答案为：41 5.已知正四棱锥P-A B C D 的底面边长为2夜，高为“，且 该 四 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 S,则S的 取 值 范 围 为.【答案】16兀,25兀【分析】作出辅助线，找到球心的位置，列出方程，求出半径与的关系式，利用导。