专训2 探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题． 探索与特殊几何图形有关的存在性问题1．【中考·内江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x＝1.(1)求抛物线对应的函数解析式．(2)点M从A点出发，段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M的运动时间为t(s)，试求S与t的函数关系式，并求S的最大值．(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．(第1题) 探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.(1)求点B的坐标．(2)求经过A，O，B三点的抛物线的表达式．(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题) 探索与面积有关的存在性问题3．【中考·深圳】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线对应的函数解析式(用一般式表示)．(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．【导学号：89274026】(第3题)答案1．解：(1)∵点B的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x＝1，∴A(－2，0)．把点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得解得∴该抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋3.(2)由题意得AM＝3t，BN＝t.∴MB＝ 6－3t.∵点C的坐标为(0，3)，点B的坐标为(4，0)，∴OC＝3，OB＝4.在Rt△BOC中，BC＝＝＝5.过点N作NH⊥AB于点H.∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴＝，即＝，∴HN＝t.∴S＝MB·HN＝(6－3t)·t＝－t2＋t＝－(t－1)2＋，又易知0＜t＜2，∴当t＝1时，S最大值＝.(3)存在．在Rt△OBC中，cos∠OBC＝＝.当∠MNB＝90°时，cos∠MBN＝＝，即＝，化简，得17t＝24，解得t＝.当∠BMN＝90°时，cos∠MBN＝＝，即＝，化简，得19t＝30，解得t＝.综上所述，当t＝或t＝时，△MBN为直角三角形．2．解：(1)如图，过点B作BD⊥y轴于点D，则∠BOD＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA＝2，∴OB＝2.于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝.∴点B的坐标为(1，)．(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线的表达式为y＝ax(x＋2)，将点B的坐标(1，)代入，得a＝，因此所求抛物线的表达式为y＝x2＋x.(第2题)(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，则解得∴y＝x＋.当x＝－1时，y＝，因此点C的坐标为.3．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，∴解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)存在满足条件的点D，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)．(3)∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形，且BC⊥AC.如图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝2，由题易知＝，即＝，解得OM＝2.又由题易知＝，即＝，解得FM＝6，∴F(2，6)．设直线BE对应的函数解析式为y＝kx＋m，则可得解得∴直线BE对应的函数解析式为y＝－3x＋12.联立直线BE和抛物线对应的函数解析式可得解得或∴E(5，－3)，∴BE＝＝.(第3题)1学习是一件快乐的事情，大家下载后可以自行修改。