平凉五中平凉五中 刘艳刘艳 椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（（1）联立方程组）联立方程组（（2）消去一个未知数）消去一个未知数（（3））复习复习: :相离相切相交 直线与双曲线位置关系：直线与双曲线位置关系：XYO初步感知初步感知分类分类:相离；相切；相交相离；相切；相交 根据交点个数判定根据交点个数判定XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交: :一个交点一个交点相交相交: :两个交点两个交点相切相切: :一个交点一个交点图象法图象法: : 把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐近线平行渐近线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式>0=0<0相交相交相切相切相离相离代数法代数法: :判断直线与双曲线位置关系的操作流程图判断直线与双曲线位置关系的操作流程图 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为二次项系数为0时，时，L与双曲线的渐近线平行与双曲线的渐近线平行或重合。
或重合重合：重合：无交点无交点；；平行：有一个交点平行：有一个交点2.二次项系数不为二次项系数不为0时时,上式为一元二次方程上式为一元二次方程, Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 Δ<0 直线与双曲线相离直线与双曲线相离判断直线与双曲线位置关系的具体步骤判断直线与双曲线位置关系的具体步骤代数法代数法: : ②②相切一点相切一点: △△=0③③相相 离离: △△＜＜0①①相交两点相交两点: △△＞＞0 同侧：同侧： ＞＞0 异侧异侧: ＜＜0 一点一点: 直线与渐近线平行直线与渐近线平行典型例题典型例题: :特别注意特别注意：：一解不一定相切，相交不一一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支定两解，两解不一定同支（一）直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系 例例1 如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4没有公共点没有公共点，求，求 k的取值范围。
的取值范围即此方程无解即此方程无解引申：引申：（（1））如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4有有两个公共两个公共点，点，求求k的取值范围的取值范围直线与双曲线位置关系直线与双曲线位置关系(从从“数数”角度研究角度研究)问问: k≠±1有何几有何几何意义？何意义？ （（2））如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4的右支有两个公的右支有两个公共点，求共点，求k的取值范围的取值范围此时等价于（此时等价于（1）式方程有两个不等的正根，则）式方程有两个不等的正根，则左支左支两支都有两支都有 引申：引申：（（3））如果直线如果直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4只有一个公只有一个公共点，求共点，求k的值即此方程只有一解即此方程只有一解直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：①①直线平行渐近线直线平行渐近线②②直线与双曲线相切直线与双曲线相切注意：注意：极易疏忽极易疏忽! 1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_______条条. 变题变题:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?41.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（（1，，1））。
练习练习: :（一）直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系 2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶点异于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_________练习练习: :（一）直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系 3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 练习练习: :（一）直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系 例例2.以以P（（1，，8））为中点作双曲线为为中点作双曲线为y2-4x2=4的的一条弦一条弦AB，求直线，求直线AB的方程典型例题典型例题: :解法一：解法一： （（1）） 当过当过P点的直线点的直线AB和和x轴垂直时，直线轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是被双曲线截得的弦的中点不是P点 （（2）） 当过当过P点的直线点的直线AB和和x轴不垂直时，设轴不垂直时，设其斜率为其斜率为k则直线AB的方程为的方程为y-8=k（（x-1））（二）双曲线的弦中点问题（二）双曲线的弦中点问题 典型例题典型例题: :（二）双曲线的弦中点问题（二）双曲线的弦中点问题 典型例题典型例题: :（二）双曲线的弦中点问题（二）双曲线的弦中点问题 例例3 3 设两动点设两动点A A、、B B分别在双曲线分别在双曲线 的两条渐近线上滑动，且的两条渐近线上滑动，且|AB||AB|＝＝2 2，求线段，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .ox xy yB BA AM M典型例题典型例题: :（二）双曲线的弦中点问题（二）双曲线的弦中点问题 证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为:y=kx+b典型例题典型例题: :（二）双曲线的弦中点问题（二）双曲线的弦中点问题 练习题练习题: :（二）双曲线的弦中点问题（二）双曲线的弦中点问题 经检验经检验经检验经检验: :此直线与双曲线不相交此直线与双曲线不相交此直线与双曲线不相交此直线与双曲线不相交, ,不合题意不合题意不合题意不合题意. .因此中点弦不存因此中点弦不存因此中点弦不存因此中点弦不存在在在在. . 典型例题典型例题: :解读解读7979页例题页例题2020（三）双曲线的对称问题（三）双曲线的对称问题 ①典型例题典型例题: :（三）双曲线的对称问题（三）双曲线的对称问题 ②典型例题典型例题: :（三）双曲线的对称问题（三）双曲线的对称问题 解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须△△>0,∵∵原点原点O（（0，，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上，例例7、直线、直线y-ax-1=0和曲线和曲线3x2-y2=1相相交，交点为交，交点为A、、B，当，当a为何值时，以为何值时，以AB为为直径的圆经过坐标原点。
直径的圆经过坐标原点典型例题典型例题: :同步导学同步导学3434页页1212题题垂直与对称问题垂直与对称问题 解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须△△>0,∵∵原点原点O（（0，，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， ∴∴OA⊥⊥OB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=±1.（三）双曲线的垂直和对称问题（三）双曲线的垂直和对称问题 已知直线已知直线y=ax+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于A、、B两点两点.是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、、B关于关于y=2x对称？对称？若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.练习题练习题: :（三）双曲线的对称问题（三）双曲线的对称问题 典型例题典型例题: :（四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 典型例题典型例题: :（四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 典型例题典型例题: :（四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 例例9 9 过双曲线过双曲线的右焦点的右焦点F F作倾斜角为作倾斜角为6060°的直线的直线l，若直线，若直线l与双与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围取值范围.oF Fx xy yle∈∈[2[2，＋，＋∞∞））典型例题典型例题: :（四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 练习练习: :参考解读参考解读7878页页1919题题（四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 练习练习: : （四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 #、设双曲线、设双曲线C：： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、、B。
1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围的取值范围2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值练习练习: :解读解读118118页页1717题题（四）双曲线的范围问题（四）双曲线的范围问题 1 .1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；2. 2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交3.3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别式大于零列不等式求解式大于零列不等式求解小结：小结： 拓展延伸拓展延伸 。