5.1 内部稳定性与外部稳定性5.2 李雅普诺夫稳定性的定义5.3 李雅普诺夫第二法的主要定理5.4 构造李雅普诺夫函数的规则化方法5.5 线性系统的稳定性分析5.6 Matlab问题本章小结第五章 系统运动的稳定性本 章 简 介q本章讨论李雅普诺夫稳定性分析 Ø主要介绍 ü内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及 ü分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法 ; Ø着重讨论 ü李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、 ü李雅普诺夫函数的构造5.1 内部稳定性与外部稳定性q一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳 定的系统 Ø 例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定 的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等 ü 具有稳定性的系统称为稳定系统 q稳定性的定义为： Ø 当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏， 但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态 下继续工作 ü 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定 系统q实际上 ，控制系统的稳定性，通常有两种定义方式 ： Ø 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外 部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义 的外部稳定性 ü 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定 (BIBO)即为外部稳定性 。
书P213 定义5.1 ） ü 在经典控制理论中，许多稳定性判据如劳斯- 赫尔维茨判据和奈奎斯特判据等，都给出了 既实用又方便的判别系统稳定性的方法 ü 线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方 程的根，与初始条件和扰动都无关，而非线 性系统则不然q外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适 用于线性系统，而且也适用于非线性系统Ø 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所 呈现稳定性，即系统的内部状态稳定性书P216 定义5.2） ü 本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性q内部和外部稳定性的关系 在经典控制理论中所定义的稳定性是指输入输出稳定 性，即给定有界输入，产生的输出亦有界ü而李雅普诺夫稳定性讨论的系统状态在平衡态 邻域的稳定性问题Ø就一般系统而言，两种稳定性没有必然的联系， 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下 两种定义才具有等价性P217 结论5.7-5.9）Ø对于线性定常系统，则有结论如下:ü若该线性定常系统是渐近稳定的，则一定是输 入输出稳定的，反之，则不尽然5.2 李雅普诺夫稳定性的定义q早在1892年，俄国学者李雅普诺夫（1857 – 1918) 发 表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献，建立了 关于运动稳定性研究的一般理论。
q李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有 方法归纳为两类 Ø 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化， 然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及 稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题 ü 这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判 别稳定性方法的思路是一致的 ü 该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法 Ø 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判 别稳定性，而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函 数的标量函数来分析判别稳定性 ü 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性， 所以第二种方法称为直接法，亦称为李雅普 诺夫第二法q自治系统、平衡状态和受扰运动 Ø 自治运动 （P219 定义5.3） Ø 平衡状态 （P220 定义5.4） Ø 受扰运动 （P220 定义5.5）1. 平衡态q设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性 向量函数 Ø对该非线性系统，其平衡态的定义如下q定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态，并用xe来表示q从定义5-1可知，平衡态即指状 态空间中状态变量的导数向量 为零向量的点(状态)。
Ø 由于导数表示的状态的运动 变化方向，因此平衡态即指 能够保持平衡、维持现状不 运动的状态，如上图所示q显然，对于线性定常系统 x’=Ax的平衡态xe是满足 下述方程的解 Axe=0 当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡 态xe=0; Ø而当A为奇异时，则存在无限多个平衡态，且这 些平衡态不为孤立平衡态，而构成状态空间中的 一个子空间 Ø对于非线性系统，通常可有一个或几个孤立平衡 态，它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解q对于孤立平衡态，总是可以通过坐标变换将其移到 状态空间的原点Ø 因此，不失一般性，为了便于分析，我们常把平 衡态取为状态空间的原点q例如，对于非线性系统其平衡态为下列代数方程组的解，即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡 态图5-1q定义5-2(李雅普诺夫稳定性) 若状态 方程 x’=f(x,t) 所描述的系统，Ø 对于任意的>0和任意初始时刻 t0，Ø 都对应存在一个实数(,t0)>0，Ø 使得对于任意位于平衡态xe的球 域S(xe,)的初始状态x0，2. 李雅普诺夫意义下的稳定性当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球 域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意 义下稳定的。
q上述定义说明，对应于平衡态xe的 每一个球域S(xe,),ü 一定存在一个有限的球域 S(xe,)，使得t0时刻从S(xe,) 出发的系统状态轨线总不离 开S(xe,),ü 则系统在初始时刻t0的平衡 态xe为在李雅普诺夫意义下 稳定的 Ø 以二维状态空间为例，上述定义的几何解释和状 态轨线变化如图5-1所示q对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明： Ø李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是 平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性Ø系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线 ，只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的， 而经典控制理论则认为不稳定q对于定常系统来说，上述定义中的实数(,t0)与初始 时刻t0必定无关，故其稳定性与一致稳定性两者等价 Ø 但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不 同q定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性 ) 若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统在初始时刻t0的平 衡态xe是李雅普诺夫意义下稳 定的，且系统状态最终趋近于 系统的平衡态xe，即Limt x(t)=xe则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的 Ø 若(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡态xe是李雅 普诺夫意义下一致渐近稳定的。
图5-23. 渐近稳定性q对于线性定常系统来说，上述定义 中的实数(,t0)可与初始时刻t0无关 ，故其渐近稳定性与一致渐近稳定 性等价Ø 但对于时变系统来说不同q渐近稳定性在二维空间中的几何解 释如图5-2所示Ø该图表示状态x(t)的轨迹随时间 变化的收敛过程 Ø图5-1与图5-2相比较，能清楚地 说明渐近稳定和稳定的意义图5-2图5-1q对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： Ø经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意 义下的渐近稳定 Ø稳定和渐近稳定，两者有很大的不同 ü对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出 球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何 规定 ü而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能 跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平 衡状态xev大范围渐近稳定性对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态 出发的状态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称 为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的Ø 换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解,当t 无限增长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范围渐 近稳定的Ø 显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个 状态空间中只有一个平衡态。
ü 对于线性系统，如果其平衡态是渐近稳定的， 则一定是大范围渐近稳定的ü但对于非线性系统则不然，渐近稳定性是一个 局部性的概念，而非全局性的概念4. 不稳定性q定义5-4 若状态方程x’=f(x,t) 描述的系统在初始时刻t0,Ø 对于某个给定实数>0和任意一 个实数>0,Ø 总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状 态x0，Ø 使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域 S(xe,)，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义 下不稳定的图5-3q李雅普诺夫第二法它是在用能量观点分析稳定性的 基础上建立起来的ü若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其 储存的能量将随着时间推移而衰减当趋于平 衡态时，其能量达到最小值ü反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外 界吸收能量，其储存的能量将越来越大Ø基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动 态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数，通 过考察该函数随时间推移是否衰减，就可判断系 统平衡态的稳定性5.3 李雅普诺夫第二法（1） 实函数的正定性q实函数正定性问题亦称为函数定号性问题Ø 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什 么条件下恒为负的。
Ø 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性 定义q定义5-5 设xRn，是Rn中包含原点的一个区域，若 实函数V(x)对任意n维非零向量x都有V(x)>0；当 且仅当x=0时，才有V(x)=0，Ø 则称函数V(x)为区域上的正定函数1. 数学预备知识q定义5-6 设xRn，是Rn中包含原点的一个区域， Ø 若实函数V(x)对任意n维非零向量x，都有 V(x)0，Pt0时不恒为零，那么 ü 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的， 否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定 ü 此时，随着||x||→,有V(x,t)→，则该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近 稳定的v定理5-4中要求选择的李雅普诺夫函数的导数为负定 函数，这给寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困 难下面给出一个补充定理，以减弱判别条件q例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性解： 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数 Ø 该函数及其导数分别为Ø由于V’(x)是负半定函数,由定理5-5的1)可知，系 统为一致稳定的 q对例5-5，选取李雅普诺夫函数为则 是负定的，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
q定理5-6 设系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态 （P231 结论5.17 ） Ø 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)， V(0,t)=0，满足下述条件: ü 若V’(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平 衡态是李雅普诺夫意义下的稳定性2)李雅普诺夫意义下的稳定性定理例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全导数解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我 们选择正定函数Ø 由于V’(x)非正定,由定理5-5的1)可知，系统为一 致稳定的 Ø由于V’(x)对任意的x0恒为零，因此由定理5-5中 2)可知，该系统是李雅普诺夫意义下的稳定，但 非渐近稳定q定理5-7 设系统的状态方程为x’=f(x,t)，其中xe=0为 其平衡态若存在一个有连续一阶偏导数的正定函 数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件: （P232 结论5.19 ） 1) V’(x,t)为正定的，则该系统在原点处的平衡态是 不稳定的; 2) 若V’(x,t)为非负定的，且对任意的t0和任意的 x(t0)0，V’(x,t)在t>t0时不恒为零，那么该平衡态 xe亦是不稳定的(3) 不稳定性定理例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。
解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果 我们选择李雅普诺夫函数为则由于V’(x)正定，因此由定理5-7可知，系统的该平衡态 为不稳定的 q下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法 作一小结V。