有限元考试试题及答案一、简答题（5道，共计25分）1. 有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分）答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化；（2） 建立单元体的位移插值函数；（3） 推导单元刚度矩阵；（4） 将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；（5） 代入边界条件和求解2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？ （5分）答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节 点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好3. 轴对称单元与平面单元有哪些区别？ （5分）答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平 面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有 三个4. 有限元空间问题有哪些特征？ （5分）答：（1）单元为块体形状常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲 边六面体单元、轴对称单元2）结点位移3个分量3）基本方程比平面问题多3个 平衡方程，6个几何方程，6个物理方程5. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
5）分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3） 将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成二、论述题（3道，共计30分）1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程10分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元， 并选取单元的唯一模式；（2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模 式；（3） 将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵；（4） 用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成2. 轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分）答：不是常应力和常应变。
因为应变与位移分量的关系式为：s81 {S } = J M =8 zYrz8u uddr100r =1r0Ldzddzdr _;.这里除含有微分算符外，还包含了的倒数项1/r，则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关， 即不会是常应变应力应变的物理关系为&}=1d]{e}，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力3. 在薄板弯曲理论中做了哪些假设？薄板单元和厚板单元的基本假设有什么 不同？（10分）答：四种假设：1）变形前的中面法线在变形后仍为弹性曲面的法线2） 变形前后板的厚度不变3） 板变形时，中面无伸缩4）板内各水平层间互不挤压不同点：薄板单元假设横向纤维无挤压，板的中面法线变形后仍保持为直线，该直 线垂直于变形后的中面，但是厚板单元的假设考虑横向变形的影响，板的中面法线变形 后仍基本保持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面，法线绕坐标轴的转角不再 是挠度的导数，而是独立的变量三、计算题（3道，共计45分）1.如图所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比v二 单元的边长及结点编号见图中所示求⑴形函数矩阵N⑵应变矩阵B和应力矩阵S（12 分）（3）单元刚度矩阵Ke点 3 （0， 0）0），，点 2（a，a）解：设图1所示的各点坐标为点1（a， 于是，可得单元的面积为A = 2成⑴形函数矩阵N为N = — (0 + ax - ay) 1 a2N = — (0 + 0.x + ay) 1 a2N =-!-(a2 - ax + 0. y)(2)应变矩阵B和应力矩阵S分别为N = "n =[N 11IN IN ]N 3]B =—1 a2a 010 0-a 00 -a，B = 10a，B = 1002 a23 a2-a aa 00 -a；B = [B1 BB3 ]a000-a0S = E0-aS — E , o 0aS — E , D 001 a22 a23 a21aL"2a2a」 —1aL 2a0L0-2a」 一S = D [B B B ]1 2 3=[S1 S S3 ](3)单元刚度矩阵K e-3-1-10-21 ]-131-20-1一 KKK 一111213=E-11100-1K e = B t DBtA =KKK2122230-20200KKK313233-200020l 1-1-1001 _|2•如图所示的四结点矩形单元,求出节点3的位移。
设厚度t=1m, p=0, E为常量13分)图2注：对于四节点矩形单元有:G）N = - (1 -&)(-门)14(i = 1,2,3,4)N 2 = 4(1 + QJ)- N =；(1 + && )(1 +侦)> i 4 i iN 3 = 4 G + &* +Rn = 1 (1 -顼+n)4 4(2 )Z】顼上》B止］岫=Akkkke11121314kkkk,21222324kkkk31323334kkkkL 41424344口=附"[:U =abtf1 j1 BY\dh L的W+树ij i jA=/Et J a 1 j―疝-.2』-1 -1(1 、2^冥1 +1质X 3 i j)2口门；.+ G — 口^ 门+（1 一吠「2口门；.+ G — 口^门1 、1 + 1 癸.x 3 ' J)j(1 、1 + 7侦I 3i, j = 1,2,3,4)解：对于四节点矩形单元有:14（1 + 5+侦）（「心4）N1= 4 G Y)J) N 2=4 (1+&)J) N3 = 4 G + &)1 +门) N =1G-&)1 +门)4 4 .k]顼 BJD]Bt岫=Ak11k21k31k41k12k22k32k42k13k23k33k43k14 k k24 k44k ]= jj B } [d]Ib Jdxdy - abtf1 j1 B 1 仿£ Rd门 j i j —1 —1 'A'13 i j J2口门；+G — 口^ 门ij ij+ G—口)凶门门1+Y&b cb(i, j = 1,2,3,4)2口门；+G —口门ij i1 、匕3 i jJ}C 1 、1+-侦.I 3 i j J将对应的行和列划掉没剩下的代入边界条件 g1=v1 = g2=v2 = g4=v4 = 0,方程为:又Ni所以H3V31=了(1+&& )(1+nn)4 i i(i = 1，2,3,4)，且 &3 = 1 七—1 , a=1,b=1y-f. ( 112 x 1+」1+3 J"+11+"1+11"3 JI 3 J12 x所以H3V3H3V3H3V38P 115E |13.有一如图3(a)所示的剪力墙，墙顶作用竖向荷载P。
将该剪力墙划分为两个三结点三角形常应力单元，单元和结点编号如图3(b)所示，并将荷载P分成两个P/2作用在3、4结点已知单元厚度为t,弹性模量为E,泊松比u=1/3o以及单元①的应变和应力20分)求结点3和结点4的位移，解：建立直角坐标系(注Y轴向下为正)，单元①i,j,m对应的节点编号为3,1,4,单元②对应的节点编号为2,4,1对于单元①：i(0,0),j(0,4),m(2,0)bi=yi-ym=4； bj=ym-yi=0； bm=yi-yj=-4ci=xm-xj=2； cj=xi-xm=-2； cm=xj-xi=0三角形面积A=1/2*2*4=44000—40020—20024—200—41几何矩阵[B] = -8E[1u0弹性矩阵[D]=——u10i 2002」Et16(1一目 2)2(9 -日)4(1+四)2( D-8目-164( D4(3 - 2 u)4( U-1)2(1-U)-404-8u08u 168( u -1)4( U-1)004138(1一 四)2(9 -日) 4(1+四) 2( D -8目 -164( D 然后合成总刚[K][k ]2 = [k ]1 =4(3 - 2 日)4( D-4-8目8( D整体节点力矢量为{尸}=[七节点位移矢量为{d} = £ 0004( U-1)48u 161008(1-U )」F FFP0 P0]1y 2 x0 0 u32 yV3万u42V4 ]2(1一 四)3单元刚度矩阵[k]i = [ B ]t [ D ][ B]tA =Et-2(9-u)04(3 - 2U)一亳一3V316(1-u 2)-16_ 一。