第四章：例1 求下列各开环传递函数所相应的负反馈系统的根轨迹解1） 起点：两个开环极点为；终点：系统有一种开环零点为2） 实轴上的根轨迹区间为3） 根轨迹的分离点、会合点计算即由于根轨迹在 和上，因此，分离点为，会合点为根轨迹如图4-1所示图4-1根轨迹图例2 求下列各环传递函数所相应的负反馈系统根轨迹1）解1）起点：两个开环极点 终点：系统有一种2）实轴上根轨迹区间为 3）渐近线计算由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为4）求分离点，会合点由得整顿得解得，由于实轴上的根轨迹在区间内，因此分离点应为5）出射角计算由得同理，根轨迹如图4-2所示图4-2 例2根轨迹图例3 负反馈控制系统的开环传递函数如下，绘制概略根轨迹，并求产生纯虚根的开环增益解1) 起点：三个开环极点为 终点：三个无穷零点2) 实轴上的根轨迹区间为[-1，0]，（，-10]3) 分离点、会合点计算 整顿得解得 （舍去）4) 渐近线计算由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为5）与虚轴的交点系统的特性方程为 令 得 即 解得 即根轨迹与虚轴的交点为根轨迹绘于图4-3。
图4-3 题3的根轨迹图例4 设系统构造图如图4-4所示为使闭环极点位于试拟定增益和反馈系数的值，并以计算得到的值为基准，绘出觉得变量的根轨迹图4-4 例4的控制系统构造图解系统闭环传递函数为由于闭环极点位于，则系统闭环特性方程为=整顿得=因此,系统开环传递函数1） 起点：两个开环极点终点：一种开环零点2） 实轴上的根轨迹区间为（，-2]3） 分离点，会合点计算整顿得 则 4）渐近线计算由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为根轨迹绘于图4-5图4-5 例5的觉得变量的根轨迹例5 已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为,试画出觉得常数、为变数时，系统特性方程式的根在平面上的分布轨迹解 系统特性方程为系统的特性根为 或 当为常数，为变数时，系统特性方程的根在复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、觉得半径的圆，如图4-6所示 图4-6 例5根轨迹分布图例6设系统构造图如图4-7所示为使闭环极点位于试拟定增益和反馈系数的值，并以计算得到的值为基准，绘出觉得变量的根轨迹图4-7例6的控制系统构造图解系统闭环传递函数为由于闭环极点位于，则系统闭环特性方程为=整顿得=因此,以值为基准，绘制觉得变量的根轨时，系统相应的等效开环传递函数为：4） 起点：两个开环极点。
终点：一种有限零点，5） 实轴上的根轨迹区间为（，0]6） 分离点，会合点计算整顿得 则 根据题意，实轴上的根轨迹在（，0]区间内，因此会合点为根轨迹绘于图4-18图4-8 例6的觉得变量的根轨迹例8已知系统开环传递函数为试绘制系统在负反馈与正反馈两种状况下的根轨迹解起点：系统有四个开环极点终点：一种开环有限零点1）负反馈1）实轴上根轨迹区间为 2）渐近线计算3）与虚轴交点将代入系统特性方程，得由实部虚部分别相等，得解得则根轨迹与虚轴的交点为 相应的根轨迹放大系数为 根轨迹如图4-11所示图4-11 例8负反馈状况下的根轨迹图（2）正反馈1）实轴上 [-4，-2]，［-1,0］区间为根轨迹2）渐近线计算3）分离点计算由得解得 ,由于实轴上根轨迹的区间为[-4，-2]，［-1,0］，因此分离点取根轨迹如图4-12所示图4-12 例8正反馈状况下的根轨迹图例9 给定控制系统的开环传递函数为 试作出觉得参变量的根轨迹，并运用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定解 闭环特性方程 改写为 等效的开环传递函数为 该系统在绘制觉得 参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。
相应的根轨迹绘于右图由图可知，当时，系统处在临界稳定状态闭环系统稳定的范畴：图4-13 例9 系统的根轨迹。