江苏省中考数学深度复习讲义（ 教案+中考真题+模拟试题+单元测试）圆的认识♦ 考点聚焦1 .圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一.2 .掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、 弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点， 其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点.3 .理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、 四边形等结合的题型也是中考热点.♦ 备考兵法“ 垂径定理” 联系着圆的半径（ 直径） 、弦长、圆心和弦心距，通常结合“ 勾股定理” 来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（ 半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系. 所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段， 连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题.♦ 识记巩固1 .到定点的距离等于 的点的轨迹叫做圆，其中 叫圆心，叫半径. 2 . 圆既是_ _ _ _ _ _ _ _ 图形，又是_ _ _ _ _ _ _ 图形，圆心是任意一条直径所在的直线是_ _ _ _ _ _ _.3 . 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且_ _ _ _ _ _这条弦所对的两条弧； 平分的直径垂直于弦， 并且平分. 如图： ①AB为圆心；②AB_LCD； ③CE=DE；④AC = AO；⑤B C = B D .其中，任意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立.4 . 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，,（ 或）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等.5 . 圆圆角及定理：顶点在,角的两边都与 相交的角叫圆周角. 在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于它所对的; 相 等 的 圆 周 角 所 对 的 相等； 所对的圆周角是直角；9 0 。
的圆周角所对的弦是_ _ _ _ _ _ _.识记巩固参考答案：1 . 定长定点定长2 . 轴对称中心对称对称中心对称轴3 . 平分平分非直径弦这条弦所对的两条弦4 . 两条弧两条弦弦心距5 . 圆上圆同弧或等弧圆心角的一半弧直径直径♦典例解析例 1 如图，射线用平分N⑸ 阳 为射线用上一点，以 为圆心，10为半径作0 , 分 别 与 / 破 1 两边相交于4、8 和 C、D ,连结如， 此时有OA / / PE .( 1 )求证：AP=AOi( 2 )若弦A B = 1 2 ,求tanNQ阳的值；(3 )若以图中已标明的点( 即只4、B、a D、0 )构造四边形，则能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为_ 或_ 或证明：（ 1 ） VPG①分/ E PF ,: "D PWNB PO,' ： OA / / PE ,: . / D PB 乙 POA ,: "B P/ / POA ,： . PA =OA , . . . 2 分解（ 2 ）过 点 〃_L/少于点〃，则 腑 盼LAB,……1分2: . P+2 0 H , . . .1 分PH 2设 0 t X,贝Ij P即2 x ,由（ 1 ）可知 为 = 好1 0 , : . A住PH — P归2 x -\ 0 ,V A H2 +0 H2 =0 A2, ： . （ 2X-10）2+X2 = 10\ . . .1 分解得% = 0 （ 不合题意,舍去） ，々= 8 ,. . . 月 代 6 , ： . A B ^A H =U-, ……1 分( 3 ) P、力 、0、C ； 4、B、〃 、C或 人 力 、0、〃或凡 C、0、B .2 分（ 写对1 个、2 个、3 个得1 分，写对4 个得2 分）例 2 如图，AB是。
O 的直径，BD是O 的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连结A C 交O 于点F.（ 1） AB与 AC的大小有什么关系？为什么？（ 2）按角的大小分类，请你判断4A B C 属于哪一类三角形，并说明理由.解 析 （ 1） AB=AC,理由如下:（ 方法一）连结DO,则OD是4A B C 的中位线，，OD〃CA.VZODB=ZC,.*.DO=BO..*.ZOBD=ZODB,.*.ZOBD=ZACB,.,.AB=AC.（ 方法二）连结AD,VAB是0 的直径,AADIBC. XV BD=CD,，AB=AC.( 方 法 三 ) 连 结DO,则OD是4A B C的中位线，/.OD=-AC, OB=OD=-AB,2 2，AB=AC.( 2 )连 结BF.VAB是 的直径./.ZADB=90°,.*.ZB
C 直径， . •. /曲4=9 0° ,又, ： A B =B D ,. •. ( 历是4〃的垂直平分线，. •. 除 /=10,在 R t ^ a 应中，OE : ^ O D2- DE2 = 7 102 - 82 = 6,. . . 胫 4 0 - 密 10- 6 =4,由/月施=/力殷9 0° -Z. OA B , Z. OE F =A D E A ,再△OEFSXDEA,. . . 色 = "， 即 刍 = ?，. . . 止3 ：……4 分D E O E 8 6( 3 ) 设 循①当交点〃在 ，「 之间时，由 以 点 氏C ,6为顶点的三角形与△/如相似，有NE C 氏NB OA或4 E C 2 / O A B ,当N K G 展 / 酗 时 ，此时△ 0 " 为等腰一: 角形，点 £ 为①中点，即 伊 ? ，2 :.E, ( - , 0) ；2当/ 比六时，有 诲 5 - x "f =10- x ,J.CF//AB,有 C /^-AB,2"：^ECF^/XEAD,CE CF Ht1 5 -x 1 4a. . —= —， 即------- = - , 解得:AE AD 10-x 410x =— ,3.* • Ez ( — » 0 ) ;②当交点£ 在点。
的右侧时，♦：/ECF>/B0A,・ •・要使△£% 方与△的 相似，只能使NEC户N%0,连结朋YBE为R tZ\ 4座斜边上的中线，:.B芹 AFBD,:./BEA =/BAO,:./BE归2 ECF,CF OC：.CF//BE,：. —=——,BE OEV /EC44BAO、/FEC=/DEA=Rt/,CF CE：.XCEFsXAED,.・ . ——二一,AD AE而/ 庄2 典= ①，2OE AE即——5 = --x- -—-- 5- ， 解. 得z 苞5 + 5J17 5 - 5-\/17 . .= ------------ , x , = - - - - - - - - < 0 (舍去) ,2x 10-x 4-440) ③当交点£ 在 点 的左侧时，NBOA=NEOF> Z.ECF.，要使△演尸与△物0 相似，只能使的连结 B E ,得 陷 ,A 0 = /8 , ZBEA=ZBAO2匕 EC打 N BEA,：.CF//BE,. CF PC"~B E ~~O E '又Y /EC六乙BAQCE CF• • f\CEF^ /\AED, / . ----- - ,AE AD, , 、 . OC CE而 A22BE,・、 ---- = ----,ZOE AE2x 10+x， 解得再- 5 + 5V 17-5 -5 V1 7 八， 八 । 、--------- - ----< 0 （ 舍去），4.5 x+54, x2丁点e 在 x 轴负半轴上， . •. 笈（ 牝£叵，0 ）,4综上所述：存 在 以 点 氏 a6 为顶点的三角形与△力如相似， 此时点£坐标为:L , 5 八 、L 10 c 、L 5 + 5V 17 八 L 5-5V17E, ( 一 , 0)、( —， 0)、( - - - - - - - -, 0)、 E . ( --------------1 2 2 3 3 4 4 4, 0).4 分A 圆的有关性质一、选择题1 . 如图，A , B , C是 。
上的三点，A B A C =30 °,则ZB O C =度.【 答案】6 02 . 如图，的半径是1, 4、B 、是圆周上的三点，ZB A (=36° ,则劣弧肥的长是( )3 4C. D -115 5【 答案】B3 . 如 图 2 , 以 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦4B 切小圆于点C, 若ZA OB = \ 2 ff,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足( )B. R = 3厂【 答案】CC. R = 2 r D . R = 2 y [2 r 4 . 如图，的弦4? 垂直平分半径0C,若 A B =y 区 则的半径为( )5 . 在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽A B 为6 分米，如果再注入一些油后，油面A B 上升1 分米，油面宽变为8 分米，圆柱形油槽直径M N 为 ( )( A ) 6分 米 ( B ) 8 分 米 ( C) 10分 米 ( D ) 12 分米【 答案】C6 . 一个圆形人工湖如图所示，弦 是 湖 上 的 一 座 桥 ，已知桥A B 长100m , 测得圆周角N A CB = 45 ，则这个人工湖的直径A O 为 ( )A . 5 0V 2 m B . 100V 2 m C. 15 0V 2 m D . 2 00V 2 m/ 砧 o【 答案】B7 . 如图，A B 为。
的直径，点上，若N C = 16 ， 则N 6 0C的度数 是 ( )A. 74°B. 48°C. 32°D. 16°【 答案】c8 . 一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的截面圆半径6 = 1 0 ,截面圆圆心 到水面的距离C是6 ,则水面宽相是( )9 . 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子0A、0B在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直径为( )A. 12个单位B. 10个单位C. 4个单位D. 15个单位【 答案】B 1 0 .如图， 是4 A形的外接圆，NO四 = 4 0则N4的度数等于( )A . 6 0° B . 5 0° C. 40° D . 3 0°【 答案】B11.如图，半径为1 0的中 ,为 ( )( A ) 6 ( B ) 8弦相的长为1 6 ,则这条弦的弦心距( C) 10( D ) 12【 答案】A12 . 如图( 六) ，而 为 圆 的直径， 直 线 勿 为 圆 的切线， /、 C 两点在圆上，衣 平 分 /劭 〃且 交 昉 于 尸 点 。
若NA OE =1 9 ° ,则 的 度 数 为 何 ？A . 97 B. 1 0 4 C. 1 1 6 D. 1 4 2【 答案】C1 3 . 如图( 六) ，△四 的外接圆上，A B 、B C 、 三弧的度数比为1 2 ： 1 3 ： 1 1 .自抬上取一点 ，过 分别作直线/ C、直线/ 占的并行线，且 交 前 于 民 尸 两 点 ，则 / 如 '的度数为何? AA . 5 5 B. 6 0 C. 6 5 D. 7 0【 答案】C1 4 . 如图，00过点B、 C, 圆心0 在等腰Rt A A BC的内部， Z BA C= 90 ° ,0 A = l , BC= 6 o则的半径为A . 6 B. 1 3 C. V 1 3 D. 2万【 答案】C1 5 . 如图， 若 4 夕是0的直径， 缪是 的弦， N 四庐5 8 ° , 则/ 比决( B)( A ) 1 1 6 ° ( B) 3 2 ° ( 0 5 8 ° ( D) 6 4 °【 答案】B1 6 . 如图，是A A BC的外接圆，NBA C= 6 0 ° , 若0的半径0 C为2 ,则弦BC的长为A . 1 B. G C. 2 D. 2 6 【 答案】D17. 如图，在平面直角坐标系中，O P 的圆心是（ 2 , a ） （ a > 2 ） ,半径为2 , 函数y= x 的图象被。
P 的弦A B的长为2g,则a的值是A . 2 7 3 B. 2 + 2 近 C. 2 y / 3 D. 2 + 6（ 第6题）【 答案】B1. 18. 如图，0的弦16=8, M是46的中点，且 % =3 ,则的半径等于【 答案】D19. 如图，的直径CD= 5 c m, A B是0的弦，A B1 CD, 垂足为M ,OM ： 0 D = 3 ： 5 , 则 A B 的长是（ ）A . 2 c mB. 3 c mC. 4 c mD. 2 7 ^ 1 c m 【 答案】c2 0 .矩形［ 用》中，A B =8 , B C = 3 后 ,点尸在边四上，且 外= 3 / R如果圆〃是以点〃为圆心，如为半径的圆，那么下列判断正确的是( A )点6、 均在圆户外；( B)点刀在圆户外、点 在圆月内；( C)点夕在圆〃内、点 在圆P外；( D)点 反 均在圆夕内.【 答案】C2 1 . M ( 3 ) , CD是的弦， 直径A B过CD的中点M ,若NB0 C= 4 0 ° ,则 NA BD=A . 4 0 ° B. 6 0 ° C. 7 0 ° D. 8 0 °【 答案】C2 2. 如图，4 4 0 3 = 1 0 0。
， 点C在上， 且点C不与A、B聆， 则4 c B 的度数为( )A . 5 0 ° B. 8 0 °或5 0 ° C. 1 3 0 ° D. 5 0 °或 1 3 0 °【 答案】D2 3 . 如图，四边形力优9是圆内接四边形，石是比延长线上一点，若/ 胡〃 = 1 0 5 ° ,则 的 大 小 是A . 1 1 5 ° B. 1 0 5 ° C. 1 0 0 ° D. 95 °【 答案】B2 4 . 如图，A B 为0的直径, C D 为弦，A B±CD, 如果NB0 C= 7 0 ，那么N A的度数为（ ）A . 7 0 °B. 3 5 ℃. 3 0 ° D. 2 0 ° A第9题图【 答案】B2 5 . 如图， A B为0的直径， 点C 在0 上， Z A = 3 0 ° , 则N B 的度数为A . 1 5 ° B. 3 0 ° C. 4 5 ° D. 6 0 °3题图【 答案】D2 6 . 如图，半径为1 0 的中，弦四的长为1 6 , 则这条弦的弦心距为 ( )( A ) 6 ( B) 8 ( C) 1 0 ( D) 1 2O( 第6 题)【 答案】A二、填空题 1 .如图，居是半圆直径，半径0 C_ L 4少于点。
，/ 〃 平 分 交 弧 及 ;于点〃，连结C D 、0 D ,给出以下四个结论：®A C / / OD ,②CE = OE；③X OD E sX A D O，、@ 2 C D2 = CE AB .其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 .0（ 第16题 ）【 答案】①④2 . 如图， 的两条弦力反 ⑦互相垂直，垂足为反 且 A 货C D ,已知C % 1 , E D =3,则 的半径是.【 答案】m3 . 如图，的弦C D与直径A B相交，若NBA D= 5 0 ° ,则NA CD=【 答案】4 0 °4 . 如图，在以力夕为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形C D E F ,则以力 和比的长为两根的一元二次方程是. 【 答案】如：y -V 5A+1=0；5 . 如图， 为与 相切， 切点为4⑶交 于点G点4是优弧曲上一点，若N 股俏=32°,则N 尸的度数为6 . 如图， 的直径相与弦切相交于点色若A斤CD = 4 ® ,7 . 如图，的外心坐标是 【 答案】(-2 , -1 )8 . 如图，点 小B , C , 〃都在 上， 比的度数等于84° , C A 是40 C D的平分线，则十.【 答案】53°9 . 如图，血是。
0 的直径，点 C, 〃都在 上，连结C B , D C ,D B .已知/ 仄30° , B C = 3 ,则四的长是.( 第14题图)【 答案】610 . 如图，是半圆直径，半径0 d 方于点 ，/ 〃 平 分 8 分别交 % 于 点 £ , 交弧比1 于点〃，连结切、OD ,给出以下四个结论:①S .EC= 2 S " ；②A C =2 C D ；③线段0D是 DE与 DA的比例中项；@ 2 C D2 =C E A B .其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 .【 答案】①④ 11.已知三角形的三边长分别为3, 4, 5 , 则它的边与半径为1 的圆的 公 共 点 个 数 所 有 可 能 的 情 况 是 . （ 写出符合的一种情况即可）【 答案】2 （ 符合答案即可）12.如图， 0B是0 的半径， 点C、 D在0 上 ZDCB=27° , 则/OBD=度 答案】63°13 . 如 图 2, 已知是△居「 的 外 接 圆 ，且 / 俏 70° ,则/ 力庐.【 答案】20°14 . 如图，点〃为边4C上一点，点 为边居上一点，A A D Q 以 0 为圆心，如长为半径作半圆，交 2。
于另一点反 交 A B 于点、 F , G ,连接 跖 若 N 物信2 2 ° ,则N 夕 ® 1 5 . 如图3 所示， 若 的半径为1 3 c m, 点p 是 弦 上 一 动 点 ，且到圆心的最短距离为5 c m, 贝 I」 弦A 6 的长为 c m【 答案】2 41 6 .已知如图， 在 圆 内 接 四 边 形 A B C D 中，Z B= 3 0 ° , 则 Z D= -【 答案】1 5 0 °1 7 . 如图， 已知四为 的直径，/3 = 3 0 ° , 则/ 〃= .【 答案】 ：6 0 °1 8 . 如图，在a 1 中，点尸是△4 % ? 的内心，则 / 必 仆 / 心 + N4 4 4 二 度 .B【 答案】901 9 . 如图，海边有两座灯塔A 、B , 暗礁分布在经过A、B两点的弓形（ 弓 形 的 弧 是 的 一 部 分 ）区域内，Z A0 B = 8 0 ° ,为了避免触礁，轮船P与A、B的张角NAP B 的 最 大 值 为 ° .【 答案】4 02 0 .如图，A B 、然都是圆 的弦，OM1 A B , ONV A C ,垂足分别为强N ,如果的V = 3 , 那么比=.【 答案】62 1 .如图，以原点。
为圆心的圆交x 轴于点/ 、 〃两点，交 y 轴的正半 轴于点C , 〃为第一象限内上的一点，若/ 的后2 0 ° ,则 /OC D -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（ 第 18题）【 答案】6 52 2 .如 图 （ 5 ） , / / 8 ; 内接于圆0 ,若N8 = 30 °.月 =/，则的直径为 答案】2 V 32 3 . （ 2 0 1 1 湖南衡阳，1 6 , 3 分）如图，的直径C O 过弦研的中点 G , N 加方4 0 ° ,则 / 也 》 的度数为.【 答案】2 02 4 .如图， 在0中， 直径C D 垂直弦AB 于点E , O B , C B , 9 口 0的半径为2 , AB = 2 6， 则NB C D = 度. c（ 第8题）【 答案】302 5 .如图， D E 是0的直径， 弦 AB J LD E , 垂足为C , 若 AB = 6 , C E = 1 , 则0 C = , C D =答案：4 , 92 6 .如图，B E 是半径为6的D的工圆周，C点是B E 上的任意一点,4△AB D 是等边三角形, 则四边形AB C D 的周长P的取值范围是 第14题图【 答案】18
是AABC的外接圆，CD是直径，NB=40° ,则NACD的 度 数 是 ，第12题图 【 答 案 】50°三 、解答题1 .如 图 ，射 线 用 平 分 /四 为 射 线 加 上 一 点 ，以 为圆心，10为半径作 ，分别与N ㈤空两边相交于4夕 和C、D ,连 结O A,此时有 OA//PE.( 1 )求证：AP^AO-,( 2 )若弦4 8 = 1 2 ,求t a n / 阳的值；( 3)若以图中已标明的点( 即R / 、B、C , D、O')构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为_ 或_ 或_ .证 明 ：（ 1） ♦：PG①分4 EPF,:./D P //B P O ,'：OA//PE,：.4D Pg/PO A,:./B P //P O A ,：.PA=OA；……2 分解（ 2）过 点 作 例 5四 于 点 " 贝IJ// 破 口 ⑸ ……1分2■: tan/O P斤 空 = ',:.P* 2OH,……1 分PH 2设OH=x,则 小2x, 由( 1 )可知 用 = 好1 0 , : . A用PH — P归2 x -\ G ,V A H2 +0 H2 =0 A2, ： . ( 2 x - 1 0 )2+ x2 = 1 02, ....1 分解 得X[= 0 ( 不合题意，舍去) ，々 =8 ,二 .力於 6 , ： . A B =Q ,A H =1 2 ； ……1 分( 3) P、/ 、0、C ； / 、B、D、。
或 只 月 、0、〃或尸、 、0、B .... 2分 ( 写 对1个、2个 、3个 得1分 ，写 对4个 得2分)2.如 图 ，在平面直角坐标系中，点 / ( 1 0 , 0 ) ,以 力为直 径 在 第 一象 限 内 作 半 圆 ，点4是该半圆周上的一动点，连 结OB、A B ,并延长4夕至点〃，使D B =A B ,过 点 〃 作x轴垂线，分 别 交x轴 、直 线 出 于点 反 凡 点 后 为 垂 足 ，连 结 成( 1 )当N/ 0 8 = 3O °时，求 弧 的 长 ；( 2 )当以' = 8时，求线段斯的长；( 3)在点6运动过程中，是否存在以点氏C、尸为顶点的三角形与△力仍相似，若存在，请求出此时点£ 的坐标；若不存在，请说明理由.解( 1 )连结8 c'： A ( 1 0 , 0 ) , .*.6 1 4 = 1 0 , C A =5, V ZAOB=30° ,：.ZACB=2ZAOB=60a ,. 好 … ， “ 6 0 x 〃 x 5 5 % ， 八..弧4 5的长= - - - - - - - - - =—— ； ....4分1 8 0 3( 2 )连 结 。
• . •而是 直径， . ♦ . / 倒= 9 0 ° ,又,： A5 BD ,仍 是4〃的垂直平分线，：.OD=OA=\Q,在R t Z XQ% 中 ，O E= 4OD2 -D E2 = 7 1 02 - 82 = 6 ,：.AE=AO-OE=\Q-&=^,由/ 4 0庐N4 9田9 0 ° -NOAB, NOE广乙DEA,得△QEFsXDEA,. ..止3； ... 4 分( 3)设 OE=x,① 当 交 点 £ 在 ，， 之间时，由 以 点 氏C ,尸为顶点的三角形与△力如相似，飞4EC24BOA或ZECaNOAB,当 /a玲 / 她 时 ，此时△况尸为等腰三角形，点 £为①中点，即 后 *,2. " ( 2,o)；2当 / 比 伫 / %8时，有 分= 5 - x , 4 5 = 1 0 r,J.CF//AB,有 CI^-AB,2'：/\ECF<^/\EAD,. CE CF an 5 -x 1 … 1 0AE AD 1 0 — x 4 3Ei ( — , 0 ) ;3 ②当交点月在点的右侧时，'：4ECF> 4B0A,・ • ・要 使 孑 与 △ 物 。
相似，只能使/ 比户N% 0 ,连 结 阳• : BE为Rt△ 力 庞斜边上的中线，：.4BE后乙 BAO,：.Z.BEA=AECFr：.CF//BEf ：. —BEOC~0EY /E C 2 /BAO, /F E U N D E A -R t/,CF CE• •• △ CEFs /\AED, ---- -------,AD AE=…OC CE而 AD^^Bky • • --------= -------,W E AE口 5 x — 5 . 5 + 5yli7 5 — 5A/ 1 7 . . x即 一 =- - - - -， 解得玉=- - - - - - - -, x2 =- - - - - - - < 0 （ 舍去） ,2x 10-x 1 4 2 4.., 5 + 5 V1 7• • H'i \40 ）：③当交点£ 在点 的左侧时，NBOA=NEOF> / ECF.. . . 要使△发尸与△物0相似，只能使胡 连结班1 ,得 8左 、AD=4B, NBEA: /BAO2: .NEC六 N BEA,：.CF//BE,. CF PC''~B E~~OE'又.：ZECINBAO, NFEC=NDEA=RtN,CE CF••• △ CXT^s △/£{?,.， . -----= ------ ,AE AD工 OC CE而 AD=ZBE, • • --------= -------,W E AE2x 10+x， 解得项-5 + 5V17-5 -5 V 1 7 八 ，---------------<0 （ 舍去），4. 5 x+54, x2丁 点 / 在 x 轴负半轴上， ・・・A ( ------- -----, 0 ) ,4综上所述：存 在 以 点 区 a/ 为顶点的三角形与△力o夕相似， 此时点后坐标为：E[1 ( -2- 0)、 E22 ( ― , 0)、E3 ( "5历, 0)、E4 ( 5 -5炳,。
)……汁分3 3 4 4 43. ・ 观察计算当a = 5 , / ? = 3时，”^与的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2当a = 4,匕= 4时，区 & 与 的 大 小 关 系 是2•探 究证明如图所示， A A B C 为圆 的内接三角形，A 3为直径， 过 作C 居 于D,设 A £ ） = a , B D ^ b . ( 1 ) 分别用a/ 表示线段 C, CD；( 2 ) 探求0C与徵表达式之间存在的关系(用含a, b 的式子表不).•归 纳结论根据上面的观察计算、 探究证明， 你能得出上与J拓的大小关系是:2・ 实践应用要制作面积为1 平方米的长方形镜框， 直接利用探究得出的结论， 求出镜框周长的最小值.【 答案】• 观 察 计 算 :茄 ，—= 7 ^ ............................2 分2 2■探究证明：(1) v AB^AD + BD^ 20C , / '. • ・ 二 三 . . . . . . . . . . . . .3 分 ― ODJB• .•AB 为 直径， 7~'：. ZACB =90°.• •• NA + ZACD = 90° , ZACD + NBCD = 90° ,: "A=/BCD.：. X ACD s X cB D .• .•A-D = -C-D- .4 分CD BD Wti C D2 = A D B D = ab ,，C D ^y [ab . . . . . . . . . . . . . .5 分（ 2 ）当 a = b 时， O C = C D , " + " = y fab ；2a w b 时， O C ＞C 0 , 巴 心 ＞ 疝.. . . . . . . . . . . . . 6 分2•结论归纳： 土吆2 而.. . . . . . . . . . . 7 分2・ 实践应用设长方形一边长为X 米, 则另一边长为L 米, 设镜框周长为1米，则X/ = 2 （ x + - ） ^ 4 J x - - = 4 . . . . . . . . . .9 分X v X当X = L 即X = 1 （ 米）时， 镜框周长最小.X此时四边形为正方形时, 周长最小为4 米. . . . . . . . . . . . 10 分4 . （ 2 0 11山东济宁， 19 , 6 分） 如图， A 。
为A A 8 C 外接圆的直径，A D 1 B C ,垂足为点F , N A B C 的平分线交A £ ＞ 于点E ,连 接 , C D .(1)求证：B D = C D ;⑵请判断8 , E , C 三点是否在以 为圆心，以 8 为半径的圆上？并说明理由.（ 第 19题）【 答案】（ 1）证明：' . ' A 为直径，A D 1 B C , ，B D = C D . B D = C D .（ 2 ）答：B , E , C 三点在以 为圆心，以 8 为半径的圆上. 4 分理由：由 （ 1）知：B D = C D , : . / B A D = NC B D .: ND B E = NC B D + NC B E , ZD E B = ZB A D + ZA B E ,NC B E = ZA B E ,• • /DBE = NDEB.・• DB = DE.由 （ 1）知：B D = C D . ： . D B = D E = D C .B , E , C三 点 在 以 D为 圆 心 ， 以 0 8 为 半 径 的 圆 上 .5. （ 2 0 11山东烟台， 2 5, 12 分） 已知： 四是。
的直径, 弦C D LA B于点G ,歹是直线相上一动点（ 不与点力、B、G 重合） ， 直线应交于点个 直线行' 交直线/ 少于点产. 设 的半径为工（ 1）如图1 , 当点后在直径4 ? 上时，试证明：0 E + 0 P=F（ 2 ）当点£ 在4 夕（ 或阳）的延长线上时，以如图2点£ 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（ 1）中的结论是否成立？请说明理由.【 答案】（ 1）证明：连接相并延长交 ，连接〃Q•••典是 直径，. ••/ 外 =9 0 ° . 不 、： . ZQ F D +ZQ =9 0 ° . （c \■ : C D上 A B , N 〃+ N C =9 0 ° .♦:乙Q =乙3 ： . ZQ F D =ZP.（ 第 25V A F 0 E = A POF , : . X F OE s X POF .. •. 空=空. . •. 必• 0 P=0 P=r.OF OP（ 2）解：（ 1）中的结论成立.理由：如图2 , 依题意画出图形，连接分0延长交 于必，连接0 加 M/j\ \•. •丹 勿 是 直径，： . ZF C M=9 0 ° , ； . / " +（ 第 25题图） Z O T =9 0 ° .C D LA B , ： . ZE +ZD =9 0 ° .V Z M = Z A ： . ZC F M=ZE, ： 4P0 F = / F OE , ： . X POF s △内施.. •. 竺=竺 ，： ,0 E ・ OP=OF =F .OF OE6 . （ 20 11宁波市，25 , 10 分）阅读下面的情境对话，然后解答问题( 1) 根据“ 奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题： “ 等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？( 2) 在 中，ZA C B =9 0 ° , A B =c , A C =b , B C =a,且 6 > a ,若 是 奇 异 三 角 形 ，求 a ： b ： c ；( 3) 如图，四是。
的直径， 是上一点( 不与点力、〃重合，〃是半圆力物的中点，⑦在直径4 5 的两侧，若在内存在点£使得力£=A D , C B =C E .①求证：是奇异三角形；②当△/ 四是直角三角形时，求N/ 小 的度数. 【 答案】解( 1) 真命题( 2) 在 中 4+ 6 2=1,c> b>a>02c > a2+ b~, 2a
为射线/ 石上一 点 ，以 为圆心，10为半径作 ，分别与N⑸平两边相交于A .夕 和a D ,连 结OA,此 时 有OA//PE.( 1)求证：AP=AO；( 2)若弦48 =12,求ta n / 阳的值；( 3)若以图中已标明的点( 即尸 、 / 、B、a D、构造四边形，则能构成菱形的四个点为——,能构成等腰梯形的四个点为_ 或 _ 或 ED,【 解】（ 1） *：PG平 分4EPF,... ADPOABPO,'：OA//PE,：. /D P g/P O A,:./B P g /P O A ,：.PA=OA；（ 2）过 点 作 近 四 于 点 〃 ，则 册 的•.3 庐 12,. •. 册6,由 （ 1）可知用=/=10,:.P由 PA+A*\6,以510-62=8,OH 1tanZ O P蜡二万门； ( 3) P、A . 0 、C ； 4 B 、D 、 或只 4、0 、D 或 P、C 、0 、B .8 . ( 20 11广东广州市，25 , 14分)如图7 , 中招是直径， 上一点，ZA B t=45° ,等腰直角三角 形 旌 中 是 直 角 ，点〃段上.( 1) 证明：B 、a少三点共线；( 2) 若M是线段B E的中点，N是线段A D 的中点，证明：M N =/ 0 M ；( 3) 将4D C E绕点C 逆时针旋转a ( 0 ° < a <9 0 ° ) 后 记为( 图 8 ) , 若 此是线段B Ei 的中点，N是线段ADM中点，M N =V^ ( M是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.【 答案】( 1 ) T A B 为。
0 直径: . N A C B = 9 0° •・ •△摩 为等腰直角三角形: . ZACE=90°A ZBCE=90° +90° =180°・・・B、C、E三点共线.( 2 )连接 BD, AE, ON.V ZACB=90° , ZABC=45°・ ・.AB=ACVDC=DENACB=NACE=90°A A B CD ^A A CE・ ・.AE=BD, NDBE=NEACZDBE+ZBEA=90°ABD1AEV O , N为中点••.ON〃BD, ON弓BD同理 OM〃AE, OM=1AE.\OM±ON, OM=ONAMN-V20M( 3 )成立证明：同( 2 )旋转后NBCDFNBCEI=90° —/ACD1所以仍有△BCD】g a A C E ” 所以a A C Ei 是由A B C D i 绕点C 顺时针旋转9 0 °而得到的， 故B D —A E1其余证明过程与( 2) 完全相同.9 . ( 20 11浙江丽水， 24, 12分) 如图， 在平面直角坐标系中， 点力( 10 ,0 ) , 以 物 为直径在第一象限内作半圆C , 点夕是该半圆周上的一动点， 连结 如、 45 , 并延长以至点〃，使D B =A B ,过点〃作x 轴垂线,分别交x 轴、直 线 勿 于 点 反F ,点石为垂足，连结次( 1 ) 当N /O 8= 30°时，求 弧 的 长 ；( 2 ) 当〃£ = 8 时，求 线 段 " 的 长 ；( 3 ) 在点6 运动过程中，是否存在以点£ C、b 为顶点的三角形与△? ! 仍相似，若存在，请求出此时点£的坐标；若不存在，请说明理由.【 解】( 1 ) 连结比;•. •力 ( 1 0 , 0 ) , ： . OA =1 0 , C A =5,月加= 30 ° ,：.ZACB=2ZAOB=60° ,， 加 长 生 善 耳( 2 ) 连 结 OD, •. •如是。
C的直径，施4=90° ,又,： AB=BD,如 是 ｛ 〃的垂直平分线，：.OD=OA=lO,在Rtz\ O鹿 中 ，0E=\( M - 旋710—是6,. . . 止 / 好 妙 10—6=4,由N /O庐 / / 腔90° -ZO A B ,NOE芹 NDEA,得△0〃s△ 阳 ，.丝 丝 即 仁 竺 .™ .DE oe 即8 -6 '⑶ 设 好 了 ，① 当 交 点 £ 在 之间时，由 以 点 反C ,尸为顶点的三角形与△405相似，有2 EC用ZBOA或2 E C 2N 0A B ,当/ 及K N8/ 时 ， ，此时△O6F为等腰三角形,5点 £ 为 ％ 的 中 点 ，即 ."（ I ，0 ） ；.：XECFSMEAD,.竺”即5 —X解得厂u, , AE AD 即 1 0 —x4‘解得.,・区（学，0 ） ；O②当交点£在 的右侧时.，■: NECF>NBOA...要使△£<》1与△胡 相似，只能使NECQ NM连结第, : BE为Rt△/龙斜边上的中线，: .B4AB=BD,：.Z.BEA=ABAO,BE2/ECF,••5//A" . CF 0C.CF//BE,*： 4EC用/BAO, /F E O /D E A =R t / ,CF CE△ CEFs △ AED, /.万一大而/介2跖.•.荻 正 即5 x—52x 10—V1at& 5+5诟 5—5历……、解得 小= j -, % 2= 黄一 <0 （ 舍去） ,. r ,5+5而• •氏（ — 才一,0） ；③当交点片在。
的左侧时，9： ZBOA=ZEOF>ZECF・• ・要使△勿不与△刃 相似，只能使NEC产N为连 结 班 得 对 力 介 {8ZBBA=ZBAO,：.4EC产 NBEA,：. CF//BE,. CF_OC'' BE oe又EC打/BAO, /FE8/D EA= RtZ,CE CF: 、XCEFSMAED、： . 版 篇而力分2豳% 发 布• • 白 晋 ，解得刘音反，师0 .2x 10+x 4 4. 点£ 在 “ 轴负半轴上，. . . 笈（ 匕日历，0） ,综上所述： 存在以点及C、尸为顶点的三角形与△祖应相似， 此时点£ 坐标为:/ 5 、 z1 0 、 , 5 +5 7 1 7 、 , 5 - 5 7 1 7 、Ex （ - , 0 ） 、£ （ 彳，0 ） 、后（ }— , 0 ） 、E< ------U- ，0 ） ・乙J母T ：1 0. （ 20 1 1 江西，21 , 8分）如图，已知的半径为2 , 弦 BC 的长为2 6 ，点A为弦BC 所对优弧上任意一点（ B, C两点除外） ⑴求N BA C 的度数； ⑵求4 A BC 面积的最大值.【 答案】( 1 ) 过点。
作勿，死于点D , 连接0 4因 为 陷2百，所 以 缁 ， 8 C = 6 .2又 0 0 2 ,所以sin/O O C = 0, E|J sinZDOC = — ,O C 2所以N Z ? 叱 6 0 ° .又 0 D _ L BC , 所 以 乙 必 〃 伴6 0 ° .( 2) 因为a A B C 中的边比的长不变， 所以底边上的高最大时，匕ABC面积的最大值， 即点A是8 A C 的中点时，△4 仇? 面积的最大值.因为/ 的年6 0 ° ,所以△儿? 是等边三角形，在中，A0 2出 ,屐6 ,所以 AD=JAC2- DC”《Q厨 -行 = 3 .所以△4 ■面积的最大值为2 6 X 3 X 1= 3 6 .211. (2 0 11湖南常德，2 5 , 10 分 )已 知 分 别 以 A C 和B C 为直径作半圆内尸是胆的中点.(1) 如图8 , 若△力比是等腰三角形，且/伊比；在A C , 6 C 上分别取点 、E、F ,使4 4 E=4 2 % 则有结论①尸 也三R Q 尸 ， ②四边形P O C ？是菱形.请给出结论②的证明； (2 ) 如图9 , 若 (1) 中a A B C 是任意三角形， 其它条件不变，则 (1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；(3 ) 如图10 , 若尸。
是 0的切线, 求证：A B2 = B C2 +3A C2【 答案】(1) 证明：\ •比是勿直径，则处是比1的中点又〃是4 9 的中点.： . PO2是4 A B C 的中位线. , ，龙/ A C2又 A C 是0 1直径： . PC 2 =0 1 C =-\ C2同理41= 6 2 C = ， B C2•.•A C = B C： . PC 2 =O1 C =POI=O2 C四边形P O C Q 是菱形( 2 ) 结 论 ① P O E 三/0 述, 成立，结论②不成立证明：在 (1) 中 已 证 尸 勿 又 力 后 1 A C2 2: . POZ=6E同理可得胡二0 77 v m是△4 5 C的中位线：.PC2//\C：.ZP02B=ZACB同理 N % 1A = N 4 C 5：. ZPC2B=ZP(A\,：ZAO l^ZBO ZF：. ZPOI\+ZAOIE=ZPC2B+ZBO2F即N A 9 1后 / 分6 2 〃• •*(3 )证 明 ：延 长A C交次 于 点D ,连 接B D.T B C是 位 的 直 径 ,则N D= 9 0 ° ,又PC是& 的切线，则N A C P = 9 0 ° ,.*.Z A C P = Z D又 N P A C = N B A D,，△ 卜 P C sM A D又P是A B的中点. AC AP \• . - - - - - - - - - - - - -——AD AB 2.\ A C = C D.•.在 RSB C D 中， BC2 = CD2 + BD2 = AC2 + BD2在 Rt a A B D 中，AB2 = AD2 + BD2：. AB2 = 4AC2 + BD2 =(AC2 + BD2) + 3AC2：. AB2=BC2+3AC2 12 . (2 0 11江苏苏州，2 6 , 8 分) 如图，已知A B 是。
0的弦，0 B = 2 ,Z B = 3 0 ° , C是弦A B 上任意一点(不与点A 、B重合) ，连接C 0 并延长 C O 交0于点D , 连接A D.(1) 弦长AB= (结果保留根号) ；(2 ) 当N D= 2 0 °时，求N B 0 D的度数；(3 ) 当A C 的长度为多少时，以点A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程.【 答案】解⑴2 技(2 ) 解法一：•., N B 0 D是△B 0 C 的外角, N B C 0 是4 A C D的外角,., .Z B 0 D= Z B + Z B C 0 , Z B C 0 = Z A + Z D.., .Z B 0 D= Z B + Z A + Z D.XV Z B 0 D= 2 Z A , Z B = 3 0 ° , Z D= 2 0 ° ,： .2 Z A = Z B + Z A + Z D= ZA + 5 0 ° , N A = 5 0 ° ,., .Z B 0 D= 2 Z A = 10 0o .解法二：如图，连接0 A .V0 A = 0 B , O A = O D, A Z B A 0 = Z B , Z DA 0 = Z D,. . . Z DA B = Z B A 0 + Z DA 0 = Z B + Z D.又•.•N B = 3 0 ° , Z D= 2 0 ° , Z DA B = 5 0 ° , ., .Z B 0 D= 2 Z DA B = 10 0 ° .（ 3 ） V Z B C O = Z A + Z D, .,.Z B C O >Z A , Z B C O >Z D.二 . 要使a DA C 与△B O C 相似，只能N DC A = N B C 0 = 9 0 ° .此时，Z B 0 C = 6 0 ° , Z B 0 D= 12 0 ° , ., .Z DA C = 6 0o .., .△DA C ^ A B O C .VZ B C 0 = 9 0 ° ,即 O C L A B , .\ A C = 1A B = V3 .213 . （ 2 0 11江苏苏州，2 7 , 8 分）已知四边形A B C D是边长为4的正方形，以A B 为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（ 不与点A 、B 重合） , 连接 P A 、P B 、P C 、P D.（ 1）如图①，当P A 的长度等于 时，Z P A B = 6 0 ° ；当P A 的长度等于 时，4 P A D是等腰三角形；（ 2 ）如图②，以A B 边所在的直线为x 轴，A D边所在的直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系（ 点 A即为原点0 ） ,把a P A D、A P A B >△P B C 的面积分别记为S, > S2> S3.设 P点坐标为（ a , b ） , 试求2 S, S3- S22的最大值，并求出此时a 、b的值. 【 答案】解(1) 2 ； 2 啦 或 手 .(2 ) 如图，过点P分别作P E L A B , P F 1A D, 垂足分别为E 、F , 延长F P 交 B C 于点 G , 则 P G _L B C .・ 「 P 点坐标为(a , b ) , .\ P E = b , P F = a , P G = 4 - a .在a P A D、A P A B 及 A P B C 中，Si = 2 a , S2= 2 b , S3= 8 - 2 a ,〈A B 是直径，., .Z A P B = 9 0 ° .A P E2= A E - B E , 即 b2= a (4 - a ) ..,.2 S1S3- S22= 4 a (8 - 2 a ) - 4 b2= - 4 a2+ 16 a = - 4 (a - 2 ) 2+ 16 .14 . （ 2 0 11江苏泰州，2 6 , 10 分）如图, 以点。
为圆心的两个同心圆 中，矩形4 扭力的边比'为大圆的弦，边 4 〃与小圆相切于点必， 7 的延长线与交相交于点N.(1) 点N是线段比的中点吗？为什么？(2 ) 若圆环的宽度(两圆半径之差) 为6 c m , A B =5c m ,上 10 c m , 求【 答案】解：(1) N 是B C 的中点原因：: A D 与小圆相切于点M ,.*.O M ±A D, 又A D〃B C , ...O N L B C , . •.在大圆0中, 由垂径定理可得N是 B C 的中点.⑵连接0 B , 设小圆半径为r , 则有O N = r + 5 , 0 B = r + 6 , B N = 5 c m ,在 Rt Z \ O B N 中，由勾股定理得 O B JBW+ O N ：即 ：(r + 6 ) 2= (r + 5 )2+ 52,解得r = 7 c m .小圆的半径为7c m .15 . (2 0 11四川成都，2 7 ,1 0分) 已知：如图，以 矩 形 的 对 角 线的中点0 为圆心，如长为半径作0 , 经过反〃两点，过点方作 即 L / C,垂足为《 建 D 作 . D H 〃KB , ZW 分别与4 久A B 、O G及 C B的延长线相交于点反F 、G 、H .( 1 ) 求证：A E =C K；G'CB ⑵如果［ 氏L ( a为大于零的常数) ，求打的长；3( 3 )若分是比的中点，且庞= 6 ,求。
的半径和切的长.【 答案】解( 1 ) '：DH//KB, BKA.AC, ：.DE1,AC,・ ••四边形四切是矩形，：.AD//BC, A庐BC, ：./EAA/KCB,:.RtXADE^RtXCBK, C.Al^CK.(2 )在 A Y △居 中 ， A氏 a , AD-BO -a ,3AC = ylAB2+BC2 =「 +(g a) 2 =粤1 ,S A A B t= - AB X BO - AC X BK ,：.( 3 )连线 O G , 4；是的直接，限6, X \ 1X11 - ---：.DE=EG=6,又 , ：EeFG, ...上3 ； V RtAAD曜 RtXCBK,: ,际 BK=6, A芹 CK,在△力傲中， E产3, BH6, EF〃BK, ：.EF是AABK的中位线，：,A六BF,A方EK=KC；在 / △施1 G中，设ORr ,则峪工A C = L x2 r = L, E仔 毛 ,6 6 3OE2 + EG2 ^OG2, / . ( -r)2 +62 = r2,r =迪.3 2在.RtAAD乂RtABHF 中 , 止BF,'：AD^BC, BF//CD, ：. HF^DF,■: FUEF, :.HKFG=DF— E F ,: . 晔D咛6. 16. ( 2 01 1四川宜宾,2 3 , 1 0分) 已知：在A A B C中，以A C边为直径的。
交B C于点D,在劣弧京上到一点E使N E B C= N D E C,延长B E依次交A C于G,交于H .( 1 )求证：A C1 B H ；( 2 )若N A B C= 4 5 ° ,的直径等于1 0, B D = 8 ,求C E的长.(23题图)【 答案】证明：⑴连接A DZD A C= ZD E C ZE B C= ZD E C二 . ZD A C= ZE B C又「A C是0的直径/ . ZA D C= 9 0°. \ZD CA +ZD A C= 9 0°. * . ZE B C+ZD CA = 9 0°. * . ZB G C= 1 8 0o -( ZE B C+ZD CA ) = 1 8 0° -9 0° = 9 0°. * . A C±B H( 2 ) V ZB D A = 1 8 00 -ZA D C= 9 0° ZA B C= 4 5 °/ . ZB A D = 4 5 °/ . B D = A D VB D -8. \A D = 8X VZA D C= 9 0° A C= 1 0（ 第2 3题解答图）. ,•由勾股定理，得c = Jac ? - A。
？ = Ji o ,- 8 = 6 .. ,. B C= B D +D C= 8 +6= 1 4又 ZB G C= ZA D C= 9 0 ° ZB CG = ZA CD/ . △ B CG ^A A CD• C G B C• •---- ---D C A C.C G 1 4 . ” 4 26 1 0 5连接A E , V A C是直径I ZA E C= 9 0°X V E G X A C： .△ C EGAC AE = ： . C E2 =A C C G = — X 1 O = 8 4A C C E5. . . C E = V8 4 = 2 V2 T .1 7 . （ 2 01 1江西南昌，2 1 , 8分）如图，已知的半径为2,弦B C的长为2百，点A为弦BC所对优弧上任意一点（ B , C两点除外） ⑴求N B A C的度数;⑵求4 A B C面积的最大值. ( 参考数据：sin60哼，cos30哼，tan30哼. )【 答案】( 1 ) 过点 作切_ L 比 于点D ,连接见.因 为 好 2 6 ，所以3= ^B C = 6.2又 0 0 2 ,所以si n N Z) O C = 0 , B P si n ZD OC = — ,OC 2所以N〃彼60 ° .又 0D _ L B C,所以N班e NR/60° .( 2 ) 因为A A B C 中的边比的长不变， 所以底边上的高最大时，2BC面积的最大值， 即点A是BAC的中点时• ，△力" ; 面积的最大值.因为/ 物年60° , 所以△/ 比是等边三角形，在 中，A (=2 ^,屐 G ,所以4户《 A" D C ? =« 2 回 -觉= 3 .所以△力比1 面积的最大值为2 6 X 3 X ,= 3 6.21 8 . ( 2 01 1 上海，2 1 , 1 0分) 如图，点心〃分别在扇形4 出的半径如、如的延长线上，且 2=3, 力 。
=2 , ⑦平行于4 5 ,并与弧/ 方相交于点〃 、N.( 1 ) 求线段切的长；( 2 ) 若t an / C = 」，求弦砌V的长.2 【 答案】(1) V CD//AB,：. A OAB= A C, /OBA=/D.'：OA=OB,：.ZOAB=ZOBA.：.Z O Z D .：. O C=O D .•."= 3, AC=2,：.0(=5.：.O庐5.( 2 ) 过点 作应1JL⑺，E 为垂足，连接切/ .在 Rt△比F 中，妗 5, tan/C = L设 出 x , 则 ® 2 x .由勾股定2理得^ + （ 2x） 2 = 5?,解得小= 0 ，莅= -石（ 舍去） . . . . 修百.在 血中，〃 加 a =3, M氏 JOM2 — 6 =出一 （ 右） 2 =22M芹4.19. （ 2011湖北黄冈，22, 8 分）在圆内接四边形ABCD中，CD为N BCA外角的平分线，F为弧A D上一点，B C = A F ,延长D F与B A的延长线交于E.⑴求证A A B D为等腰三角形.⑵求证AC・AF=DF・FE【 答案】⑴由圆的性质知NMCD=NDAB、Z D C A = Z D B A ,而NMCD=Z D C A ,所以N D B A = N D A B ,故4 A B D为等腰三角形.⑵ ：ZDBA=ZDAB. •. 弧AD书瓜BD又,.，BC=AF. •. 弧 BC=M A F、ZCDB=ZFDA. ,. 弧 C D W D F.\CD=DF再由 “ 圆的内接四边形外角等于它的内对角”知NAFE=NDBA=NDCA①，ZFAE=ZBDEZ C D A = Z C D B + Z B D A = Z F D A + /BD A=N BD E=N FAE②由①②得△D CA^AFAEA A C： FE=CD： AF .\AC・AF=CD・FE而 CD=DF,.•.AC・AF=DF・FE20. (2011广东茂名，24, 8分) 如图，。
尸与y轴相切于坐标原点0 (0 , 0 ) ,与x轴相交于点力(5, 0 ) ,过点4的直线月6与y轴的正半轴交于点反 与户交于点(1)已知4 =3 ,求点夕的坐标；( 4分)(2)若然 =% 〃 是 夕的中点. 问：点 、P、a 〃四点是否在同一圆上？请说明理由. 如果这四点在同一圆上， 记这个圆的圆心为 「 函数y = &的图象经过点求人的值( 用含 的X代数式表示).( 4分)【 答案】解：（ 1）解法一：连接oc, ♦ . •" 是 〃的直径，. •. 况 工A B ,在位△4 %中，OC = JOA2—心= 逝5-9=4在 RtX A OC 和 Rt^A B O 中，V Z C A O= Z OA BJRtX A OC sRtX A B O,• • •A C =A O ,日区n 3- =5 ,C O OB 4 OB . •. 0 8 3”( O , 学解法二：连 接 0 C , 因 为 力 是 〃的直径， . •. N / C 0 = 9 0 °在以中，力 = 5 , AC=3, ：.0C=4,过 C作 磔 工 小 于 点 与 ，则：- OA C E ^ - CA OC ,2 2即：- x5 xC £ = - x3 x4 , CE = — ,2 2 5. ， . OE = 4OC2-C E2 = ^ 42- ( y)2 = y / . C ( y , y ) ,设 经 过 4 、。
两点的直线解析式为： y = kx + b.把 点 4 ( 5 , 0 ) 、C ( q ， 5)代入上式得：r [ 45k+b = 0 k = ~, 1 6 1 2 ，解 得 ： :，5 5 , = 可. 4 2 0 . 占 w e 2 0 、3 3 3⑵ 点 、p、a 〃四点在同一个圆上，理由如下：连接 b 、CD、DP, ,： OCLAB, 〃为 加 上 的 中 点 ，CD = -OB = OD ,2.•.N3=N4, XV O P = C P ,= .*.Z1 + Z3 = Z2 + Z4= 9 0 ° , C . PC LC D ,又,： D OLOP, . •. 放△如 和放△尸〃 是同以切为斜边的直角三角形，外上的中点到点 、P、C 、〃四点的距离相等，. . . 点 、P、C 、〃在以分为直径的同一个圆上；由上可知，经过点 、P、a 〃的圆心a是 " 的 中 点 ，圆心 耳 怨 )，2 2由⑴知：RtX A OC sRtX A B O,. ， . 生 = 生 ，求得：A B =— ,在OA A B aRtA A B O 中，• -7TF 5^25-a2 n n 1 i 5 ,2 5 - / 0 A 5OB^^AB2 -OA' = - -----, 0D=-OB^— ----- , 0P =—= 一a 2 2a 2 2...a 25J25—2,点a在函数) , = 内的图象上，4 4a x.5 ,2 5 - / 4k . 2 5 4 2 5 -/• • --------------- = — , • • k, =------------------ •4。
5 1621. (2011广东肇庆，24, 1 0分) 已知：如图，△ / a' 内接于 ，A B为直径，N烟的平分线交4 于点E交 于点〃，D E 工A B 于点E ,且交力 于点R连结( 1 )求证：ZD A C = ZD B A ；( 2 )求证：P是线段力6的中点；( 3 )若 的半径为5, AF= - ,求 环 的 值 .2【 答案】(1) ,: B D 平外/ C B A , : . / C B D =/ D B A• 「 N% 与N C "都是弧切所对的圆周角，/ D A C = / C B D ，ADAC= ADBA( 2 ): 力夕为直径，...乙4如= 9 0 °又,： DE LAB 于点、E, :. /DEB =90° :. /ADE+/EDB=/ABD^/EDB=9 0 °，/AD E=/ABD =/D AP：.PD=PA又 ：/ DFA+ / DAC= 4 ADE+ / PDF=9 ° 且 NADE=/DAC：. APDF=APFD：.PD=PF：. PA =PF即尸是线段〃1的中点( 3 ) '： 4DAF=/DBA, /ADB=/FDA=QG°二 . △ 物 s △/ 庞• .•-A-D = -A-F-DB AB1 5，在 RtAABD 中，tanZABD=—=竺 =2 = 3 ,即 tanAABF=-DB AB 1 0 4 42 2 . ( 2 0 1 1内蒙古乌兰察布，2 1 , 1 0分)如图，在R tZ \ A B C中，N A C B = 9 0 ° , D是A B边上的一点，以B D为直径的。
0与边A C相切于点E , , D E并延长，与B C的延长线交于点F .( 1 )求证：B D = B F ;( 2 )若 B C = 1 2 , A D = 8 ,求 B F 的长. 【 答案】⑴连结 £,则 OE±AC,所以力切二%° ,NAED=NCEF,NACB=90°NCEF+NF=90°NAED+N0ED=90°NOED=NF又因为OD=OE 所以 NOE D =NOD EZOD E =ZFB D =B F(2 ) RtA A B C ^\ RtA A OE , 4 是公共角所以 RtA A B C ^ RtA A OE^ = — ,设 的半径是r,则有二= 餐BC AB 12 8 + 2r求出尸8 ,所以B F =B A 1 623. (2 0 1 1湖北鄂州，22, 8分) 在圆内接四边形ABCD中，C D为NBCA外角的平分线，F为弧AD上一点，B C = A F ,延长D F与B A的延长线交于E.⑴求证4 A B D为等腰三角形.⑵求证AC・AF=DF・FE砧 C C【 答案】⑴由圆的性质知NMCD=NDAB、Z D C A = Z D B A ,而NMCD=Z D C A ,所以N D B A = N D A B ,故a A B D为等腰三角形.(2)V ZDBA=ZDAB. •. 弧AD书瓜BDX V B C = A F . •. 弧 BC=M A F、Z C D B=Z F D A・, . 弧 CD=M DF/.CD=DF再由“ 圆的内接四边形外角等于它的内对角”知NAFE=NDBA=NDCA①，ZFAE=ZBDE二 . Z C D A = Z C D B + Z B D A = Z F D A + NBDA=NBDE=NFAE②由①②得△D CA^AFAEA A C： FE=CD： AF二 •AC・AF=CD・FE而 CD=DF,...A C・AF=DF・FE24. （2010湖北孝感，23, 1 0分）如图，等边4 A B C内接于。
0, P是A 8上任一点（ 点P不与点A、B重合）. 连AP、B P ,过点C作CM〃BP交P A的延长线于点M.（ 1）填空：N A P C =度，N BPC旗；（2 分）（2 ）求 证 :A A C M ^ A B C P； （4 分）（3 ）若PA=1, P B = 2 ,求梯形PBCM的面积.（4分）【 答案】解： （ 1 ） 6 0 , 6 0 ； ( 2 ) V C M / / B P , A Z B P M + Z M = 1 8 0 ° , N P C M = N B P C = 6 0 .. * . Z M = 1 8 0 ° - Z B P M = 1 8 0 - ( Z A P C + Z B P C ) = 1 8 0 ° - 1 2 0 ° = 6 0 ° .A Z M = Z B P C = 6 0 ° .( 3 ) V A C M ^ B C P , . \ C M = C P , A M = B P .又N M = 6 0 ° , . ' . △P C M 为等边三角形.. •. C M = C P = P M = l+ 2 = 3 .作 P H J _ C M 于 H .在 R tZ kP M H 中，Z M P H = 3 0 ° .A P H = - V 3 .2* , • S 梯 形 PBCM= — (PB + CM) x PH = — (2 + 3)x — V 3 = — V 3.2 2 2 42 5 . ( 2 0 1 1 湖北宜昌，2 1 , 8分 ) 如 图 D是a A B C 的边B C 的中点，过 A D 延长线上的点E作A D 的垂线E F , E为垂足，E F 与 A B 的延长线相交于点F,点 0在 A D 上，A O = C O , B C / / E F .( 1 ) 证明: A B = A C ；( 2 ) 证明： 点 0是 A A B C 的外接圆的圆心；( 3 ) 当 A B = 5 , B C = 6 时，连接 B E 若/ A B E = 9 0 ° ，求 A E 的长.(第2 1 题图)【 答案】解： (1 ) •••A E L E F , E F / 7 B C , A A D I B C . (1 分) 在A A B D 和4ACD 中,VBD=CD, NADB= NADC, AD=AD,.\A ABDgZ\ACD.（ 或者：又；BD = CD, ・*・AE是BC的中垂线.） （2分） ，AB=AC. （3分）（2）连BO, ：AD是BC的中垂线，.，.130=0）.（ 或者：证全等也可得到 BO=CO. ）X A 0=C 0, .*.AO=BO=CO. （4 分） . •. 点 0 是4ABC 夕 卜接圆的圆心. （5分）（3）解法 1： V ZABE=ZADB=90° ， ：. ZABD+ZBAD= ZAEB+ZBAE=90° , .\ZABD=ZAEB.又：NBAD=NEAB, AAABD^AAEB.—（6 分 ）在 RtAABD 中，V AB=5, BD=1, 2BC=3,AE ABAD=4. （7 分 ）（8 分） 解法 2： V AO = BO, A ZAB0 =ZBAO. V Z ABE = 90° ， N ABO +N 0BE= N B A 0 + N AEB =90° . A Z 0 B E = ZOEB, A OB=OE. （6 分） 在 RtAABD 中，V AB=5, BD=1, 2BC=3, A A D = 4 .设 0B = x,贝 I」0D = 4 - x ,由 32+ （ 4— x） 2=x\ 解得 x = — （7 分）AE= 2 0 B = —8 4一、选择题1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1, AB是。
0的弦, 半径OC_LAB于点D ,且AB=8m,0C=5m,则DC的长为（ ）（A） 3cm （B） 2.5cm （C） 2cm （D） 1cm答案c2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 鸿 源 氮 径 的 上一点，已知AB=5, BC=3,则圆心0至I」 弦BC有输离滓（ 厂）RA、L5B、2C、2.5D、3 3 、（ 2 0 1 1 年浙江杭州五模）如图，圆 过点B、C,圆心0在等腰直角A A 8 C 的内部，A B A C =9 0 °,OA = \ ,B C = 6 ,则圆的半径为（ ）B C第 3题图4 、 （ 2 0 1 1 年浙江杭州六模乃阁， 把向右平移8 个单位长度得两圆相交于A . B ,且 O i A L O z A , 则图中阴影部分的面积是（ ）A . 4 J i - 8 B . 8 n - 1 6 C . 1 6 n - 1 6 D . 1 6 五- 3 2答案：B5 、（ 北京四中模拟）如图，8 c 与4 的度数相等，弦 AB与弦CD交于点 E , ZC E B = 8 0 ° ， 则 ZC A B 等 于 （ ）A . 3 0 ° B . 4 0 ℃. 4 5 °D . 6 0 °答案：B6 、 （ 2 0 1 1 杭州模拟） 如图， 以 为 圆 。
的直径， 弦C D LA B ,垂足为点E ,连 结 OC , 若 ^10 , C D =8 , 则小的长度 为(A)A. 2. 5B. 3C. 2D. 1 或者 4答案：C7. （ 2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L 的弧所对的圆心角为120那么它所对的弦长为（ ）A、4 nLB、4 rlLC、2 nLD、2 n L答案：c8. （ 2011浙江杭州模拟7 ）如图，已知O 的两条弦AC, BD相交于点 E, ZA=75°, N C =45°,那么 sinNAEB 的 值 为 ( )［ 在 旦 旦A.2B.~C.TD.T答案: B9. （ 2011浙江省杭州市10模） 如图，AABC内接于0,ZC=45° , AB=2,则的半径为（ ▲）（ 第8题图）A. 1 B. 2V 2C. 2 D. V 2（ 第 9 题图）10. （ 2011浙江省杭州市10模） 如图，圆内接四边形4夕切是由四个全等的等腰梯形组成，4〃是的直径，则N% T 的度数为（ ▲）A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°11、（ 2011山西阳泉盂县月考） 如图4, C D 是的直径，A、 B 是。
O 上的两点，若N A D C = 7 0 ，则NABD的度数为（ ）A 、5 0 ° B > 4 0 ℃> 3 0 D、2 0 °答案：D1 2 .（ 2 0 U武汉调考模拟）如图，圆心角N A 0 B = 8 0 ° ,则/ A C B度数为（ ）A . 8 0 ° B . 4 0 ° C . 6 0 ° D . 4 50答案：B1 3 .（ 2 0 1 1武汉调考模拟）如图， A B 为半圆0的直径， 0 C _ L A B 交0于 C , P为B C 延长线上一动点， D为A P 中点， D E ±P A , 萍 径 0 C 于E , 连 C D . 下列结论： ①P E _ L A E ； ②D C = D E ； ③N 0 E A = N A P B ： ④P C + 痣 C E 为定值. 其中正确结论的个数为（ ） 7\A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 ' 、答案:D\1 4 、（ 2 0 1 1 浙江杭州模拟1 4 ） 如图， 的半径物= 5 , 以4为圆心，物为半径的弧交 于 以 C 两点，则方。
等于() .A . 5 5 / 3 B . 5 V 2 C . - V 3 D . 82答案：A1 5、（ 2 0 1 1 浙江杭州模拟1 4 ） 如图，A A B C 内接于0 , 其外角平分线A D 交0于 D M 1 A C 于 M , 下列结论：①D B = D C ；②A C - A B = 2 A M ；③A C + A B = 2 C M ；④ 5 , 「2 5 田. 其中正确的有0A . 只有④②B . 只有①②③C . 只有③④D . ①②③④答案：B1 6 .（ 河北省中考模拟试卷） 如图，将半径为2 c m 的圆形纸片折叠后圆弧恰好经过圆心0 , 则折痕A BBA第7题 的长为（ ）A. 2cm B. 73 cm C. 2而cm D. 2-75cm答案：C17.（ 浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷） 如图， 某公园的一座石拱桥是圆弧形（ 劣弧） ，其跨度为2 4 米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）A. 5 米 B. 8 米 C. 7 米 D. 56 米18.（ 浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷） 如图， 两圆相交于 44 两点，小圆经过大圆的圆心。
，点 C, 〃分别在两圆上，若 4 0 3 = 100 ，则 ZAC8的度数为（ ）A. 35° B. 40° C. 50° D. 80°答案：BB组1. （ 2011天一实验学校二模）如图,A B为的直径，AC交于E 点，BC 交O 于 D 点，CD=BD, ZC=70°现给出以下四个结论：① NA=45° ；②AC=AB：③弧 AE=M BE；④CE • AB=2BD2. 其中正确结论的序号是A .①②B . ②③C . ②④D .③④答案：C2. （ 2011年重庆江津区七校联考） 如图， 点O是 的吗殳74、B 、 上 ，AO//BC, ZAOB=38° ,则 / 的 姨 赢 :（ ） .A. 38° B. 22° C. 57° D. 19£答案：D3 . （ 2 01 1杭州市模拟）如图，是的直径，NCBO=30 ,（ 第 2 题图））J L -则N A的度\数为A. 30° B. 45℃. 60 D. 75答 案 :C4. （ 2011灌南县新集中学一模） 如图，点A= 50° , 则NAOC的度数为【 】A. 120° B. 100° C. 50° D. 25°答案：B5. （ 2011灌南县新集中学一模）两圆外切,半径之比为5 : 3 ,那么较小圆的半径是［ JA. 3cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm答案：c*（ 第3题图）、B ;、C 在。
0 上，ZABC（ 第 4 题图）圆心距为16cm ,且两圆16. （ 2011灌南县新集中学一模）如图，实线部分是半径为9加的两条等弧组成的花圃， 若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则花圃 的周长为［ ］A. 12mi B. 24加 2 C. 18% % D. 20mn答案：B7. （ 2011灌南县新集中学一模） 如图，已知O的半径为1, AB与O相切于点A, OB与O交于点C, C D 1O A ,垂足为D ,贝 ijsin/潸的值等于【 】 厂末A. CDB. OAC. ODD. ABD A［ 来源: 学& 科& 网］（ 第8题图）答案：A8. （ 2011灌南县新集中学一模）如图，OM与 x 轴相切于原点，平行于 y 轴的直线交圆于P、Q两点，P 在 Q点的下方，若 P 点的/ / '（ 2, 1） , 则圆心M的坐标是［ ］A. (0, 3) B. (0, 2) C. (0, - ) D. ( 0 , - )（ 第8题图）B . 答案：C9. （ 2011浙江杭州义蓬一中一模）已知两圆的半径分别为6 和 4,圆心距为7 , 则两圆的位置关系是（ ）A .相交 B . 内切 C .外切 D .内含答案：A10. （ 2011深圳市中考模拟五）在半径为1 的。
O 中，弦 A B = 1 ,则的长是（ ） 11. （ 2011湖北武汉调考模拟二）如图1, AB是的直径，C、D是半圆的三等分点，则NC+ND+NE的度数是（ ）A. 90° B. 120° C. 105° D. 150°答案B12. （ 2 0 H湖北武汉调考一模）如图，AB为0的直径，点 C, D 在0 上. 若 NA0D=30° , 则 NBCD 〜的度数是（ ） A卜- - - - -7 BA. 75° B. 95° C. 105° D . 115° \ /（ 第12题） 8答案：C13 （ 2011湖北武汉调考一模）如 图2 ,在4A BC中，分别以AB、BC为直径的On O Q交于AC上一点D ,且a经过点Q ,AB、D ? 的延长线交于点E ,且BE=BD.则下列结论不正确的的是（ ）A. AB=ACB. ZB o2 E=2 ZE、/CAB= V 2 BED. E 4 = & BE（ 第13题）答案：D1 4 .（ 安徽芜湖2011模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C ,试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（ - 2 , 4 ） ,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A. ( - 1 , 2) B. (1, - 1 ) C. ( - 1 , 1) D. (2, 1 ) . 答案:c15.（ 浙江杭州靖江2 01 1模拟）如图，A B是。
0的直径，C D是的弦. 若N B A D = 2 1 ° , 则N A C D的大小为（ ）（ 根据海淀九上期末数学试卷改编）1 6 .（ 浙江杭州进化2 01 1—模）如图，的半径O A = 5 ,以A为圆心，0 A为半径的弧交 于B、C两点，则B C等于（ ） .B . 5百 B . 5亚 C . 82答案:A1 7 .（ 浙江杭州进化2 01 1 —模）如图，^ A B C内接于0 ,其外角平分线A D交于D M _ L A C于M,下列结论：①D B = D C ；②A C - A B = 2 A M ；③A C + A B = 2 C M ；④ ⑺= 2 其中正确的有（ ） A . 只有④②B . 只有①②③C . 只有③④D . ①②③④答案: B£1 8 、（ 北京四中2 01 1 中考模拟1 3 ）如图2 , 圆弧形桥拱「1 2 米，拱高C D = 4 米，则拱桥的半径为（ ）囱C( A ) 6 . 5 米 ( B ) 9 米 ( C ) 3 米 ( D ) 1 5 米答案：A1 9 、（ 2 01 1 年杭州模拟1 7 ）如图，在 中，OA =A B , OC LA B ,则下列结论正确的是（ 2 01 0长沙中考第8 题改编）① . 弦 4 5 的长等于圆内接正六边形的边长② . 弦 4 。
的长等于圆内接正十二边形的边长③弧 A C = M A B④ .ZB A （ =3Q °A . ①②④B.①③④C . ②③④D . ①②③答案：D2 0、（ 2 01 1 年浙江杭州2 7 模）如图，A B 是的直径，C D 是0 的弦. 若N B A D = 2 1 ° , 则N A C D 的大小 为 （ ）A . 2 1 ° B . 5 9 ° C . 6 9 ° D . 7 9答案：C二、填空题1 、（ 2 01 1 年北京四中中考模拟1 9 ） 一个圆形花圃的面积为3 00 n m2,你估计它的半径为（ 误差小于0. 1 m ） 答案1 7 . 3 或1 7 . 4 ;2 、( 2 01 1 年北京四中中考模拟1 9 )在平面直角坐标系中，圆心的坐标为( - 3 , 4 ) , 以半径r在坐标平面内作圆，( 1 ) 当二时，圆与坐标轴有1 个交点；( 2 ) 当「时 、 圆 与坐标轴有2 个交点；( 3 ) 当r时，圆 与坐标轴有3 个交点；( 4 ) 当r时，圆 与坐标轴有4个交点；答 案 ( 1 ) r = 3 ； ( 2 ) 3 < r < 4 ； ( 3 ) r = 4 或 5 ； ( 4 ) r > 4 且 r #5 ；3 . ( 2 01 1 年黄冈市海水县中考调研试题)在半径为5 的。
O 中，有两平行弦AB . C D ,且AB = 6 , C D = 8 , 则玄AC的长为.答案：拉或5 / 或4 . ( 2 0 1 1 年北京四中中考全真模拟1 5 )一个圆弧形拱桥的跨度为6 c m,桥的拱高为1 c m,那么拱桥的半径是 o答案：5 c m5 . ( 2 0 1 1 年北京四中中考全真模拟1 6 )圆的一条弦分圆成5 ： 7 两部分，则此弦所对的圆周角等于.答 案 : 7 5 °或 1 0 5 °6 . ( 2 0 1 1 年北京四中中考全真模拟1 7 )圆内接四边形AB C D 的内角NA: ZB : ZC = 2 ： 3 ： 4 , 则ND=°答案：9 07 . ( 2 0 1 1 年北京四中中考全真模拟1 7 )如图， 在 中， 若已知N B AC = 4 8 ,则 ZB O C = .答案：9 68 . （ 2 0 1 1年北京四中中考全真模拟1 7 ）若圆的一条弦长为6 c m,其弦心距等于4 c m,则该圆的半径等于 c m.答案：59 .（ 2 0 1 1浙江省杭州市8模） 如图，在A/ L B C中，A 8为的直径，ZB = 5 0 \ ZC = 7 0sin ZODB =1 0 . （ 2 0 1 1年江苏省东台市联考试卷） 如图，A 8是。
0的弦，0 C L A8于C ,若A6 = 2 6 c m ， O C = 1 c m ，则 O 的 半 径 长 为答案：2 ! 八 \1 1 .钟表的轴心到分针针尖的长为5 c m,那么经过4 0 高一分成针尖转过 的 弧长是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _c m.1 2、（ 2 0 H浙江杭州模拟1 4 ）如图，力8是 的直径,C 、I是圆上的两点（ 不与4、 方重合） ， 已知B C = 2 , t a n/ LA D C = 1 ,则A B =^ / 彳 \ .答案：2 &1 3、（ 2 0 1 1年浙江杭州二模）如图，已知0 B是QO曲 | 笺 ，点C、D在0 上，N D C B =第 14给C1 O 答案：5 0 °1 4 、（ 2 0 1 1 年浙江杭州二模）如图，在半圆0中，直径AE = 1 0 ,四边形 AB C D 是平行四边形，且顶点A、B 、C在半圆上，点 D在直径AE上，连接C E ,若 AD = 8 ,则C E 长为.答案：V 1 01 5 、（ 2 0 1 1 年浙江杭州三模）如图，。
的半径为2 , 弦 AB 垂直平分半径0 C 与D , 贝 IJ 弦 AB的长为答案：2 陋1 6 . （ 2 0 1 1 年浙江杭州三模） 如图，0的半的内接等边三角形，径为百，A A B C 是0将AAB C 折叠，使点儿落在0 上，折痕E F平行B C ,则E F长为答案：21 7 （ 2 0 1 1 年浙江杭州六模） 两圆的半径分别为3 和 5 , 若两圆的公共点不超过1 个，圆心距” 的取值范围是答案：0 < J < 2 ^,d > 8B组1 . （ 2 0 1 1 年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆 弧 （ 图 中 的 居 弧 ，点 是这段弧的圆心，册 1 2 0 m, 是4 5 弧上一点，OC LA B 于 D ,0 2 0 m,则该弯路的半径为答案：1 0 0 2. （ 2011浙江慈吉模拟）如图，AABC内接于O,NB=42°， 则 /OCA=---------------•答案：48^B3. （ 2011年杭州市西湖区模拟）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10,加 ，测得钢珠顶端离笋 丁弋、. .为 8 n m ,如图所示，则这个小孔的宽口 A8是,丽. （'）答案：8J一一4一”一. 一第3题4. 如图，。
4=10cvn,弦A3=16c7n, P 为AB上一动点，则点P到圆心0的最短距离为c m .答案：6,5. （ 2011深圳市中考模拟五）4A B C 是O 的内接三角形，ZBAC=60°, D 是的中点，AD= a , 则四边形ABDC的 A面积为. （/l\\（ 第 5 题）答案：& D46. （ 2011深圳市全真中考模拟一）若圆周角a 所对弦长为s in a ,贝 耻 匕圆的半径r 为答案：!27 . （ 浙江杭州金山学校2011模拟）（ 根据黄冈市2010年秋期末考试九年级数学模拟试题改编） 一条弦把圆分成2:3两部分， 那么这条弦所对的圆周角的度数为 A—. 答案：7 2 °或 108°8 . （ 浙江杭州进化2011—模）如图，AB是的直径，C、D是圆上的 两 点 （ 不 与 A、B 重合） ，已 知 BC = 2, tanZADC = l , 则 A B =答案：2垃 .9 . （ 河南新乡2011模拟）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心则折痕A6的长为.答案：2百cmA10 .（ 2 0 1 1深圳市模四）如图，4A B C 内接于圆O, B ~ O 到 BC的距离OH的长为1, 自工则圆O 的半径为, s i nA=o第题图答案：5得11 .（ 2 0 1 1湖北省崇阳县城关中学模拟）如图，已知0B是。
0 的半径, 不0 上，ZDCB=40° ,贝 Ij/OBD=▲度. [ f答案：50c12、（ 北京四中2011中考模拟12） 如图1, 直径切与弦力 夕 （ 非直径）交 于 点 "添加一个条件：_ _ _ _ _ _ ,就可得到点" 是4夕的中点 答案：C D J_ A B 或弧 A C = M B C 或弧 A D = M B D1 3、（ 北京四中2 0 1 1中考模拟1 4 ）在半径为1的中， 弦A B = 1 ,则弧A B的长为.答案：； 〃；1 4、（ 2 0 1 1年北京四中33模）如图，已知AB是的直径，BC是弦，ZA B C = 30 ° ,过圆心O作O DLBC交BC于点D,连接DC,则Z D C B =0答案：30 °1 5、（ 2 0 1 1年北京四中34模）如图，0中，弧M 4 N的度数为32 0 ,则圆周角Z MAN=.答案：2 01 6 . （ 2 0 1 1年杭州市模拟）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口， 假设钢珠的直径是 （.1 0〃 向，测得钢珠顶端离零件表面的距离- - - - - - - --为8 m i n ，如图所示, 则这个小孔的宽口 A B答案：81 7 . （ 2 0 1 1年浙江省杭州市模2 ）如图， 在半圆0中，直径A E = 1 0 ,四边形A B C D是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上 点D在直径A E上， 连接C E ,若A D = 8 ,A n n P甯 17则C E长为. 答案：Vio18. (2011年浙江省杭州市模2 )如图, 已知0B是。
0的半径，点C、D 在0 上，ZDCB=40° ，贝i」 /OBD=度 .. 答案:50三、解答题1、(20H杭州模拟26)如图，0是RtAABC的外接圆，NABC=90° ,点P是圆外一点，PA切0于点A ,且PA=PB.(1)求证：PB是的切线；(2)已知P A = g, BC=1,求的半径.(1)证明：连结0B.V OA=OB, .*.ZOAB=ZOBA.VPA=PB, A ZPAB=ZPBA.二 . Z OAB+ZPAB= ZOB A+ ZPBA ， 即ZPAO=ZPBO...................................2 分又是O 的切线，.,.ZPAO=90° ,：. ZPBO=90 ° , . 二 OB ±PB. ..............................................................................................4 分又； OB 是 O 半径，PB 是 O 的 切线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5分(2)解：连结O P ,交AB于点D.•••PA=PB, . . . 点P段AB的垂直平分线上. V OA=OB, . . . 点O段AB的垂直平分线上./. OP 垂 直 平 分 线 段AB. ..............................................................................................7 分，ZPAO= ZPDA=900 • / A( o- )^>p又•.•NAPO=/DPA, .,.AAPO^ADPA. kA p pc 、 C — B. . . 丝= 2 ，.♦.Ap2=po.DP.DP PA又 VOD--BC=-, PO (PO-OD) =AP22 2即：PO2 --PO=(V3)2,解得 PO=2. ...................................................92分在 RtAAPO 中，OA=VPO2-PA2= 1 ,即。
O 的半径为 1.................10分2. （ 2011年黄冈市潘水县中考调研试题）某商场为了迎接“ 六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“ 不倒翁” 小灵对“ 不倒翁”很感兴趣，原 来 “ 不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（ 即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子， 在杆子上作些装饰， 在重力和杠杆的作用下， “ 不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点0 ,过点0的木杆C D长为260 cm, 0 4、0 B为圆弧的半径长为90 cm （ 作为木杆的支架） ，且 4、0 B关于C D对称，弧A B的长为30万cm当木杆C D向右摆动使点B落在地面上（ 即圆弧与直线/ 相切于点B ）时，木杆的顶端点D到直线I的距离如是多少cm? 答案：解：由弧A B的长可得，ZAOB=QO° , 仄而/ B O E = N C O B= 3 0 ° , V 0 B = 9 0 c m , 0 E = 6 0 73 cm, / . D E = 1 70 + 6 0 73 cm, / . D F= 1 80 + 85 73 cm3 . （ 2 0 1 1 . 河北廊坊安次区一模）如图9,。
的半径为2 ,直径8经过弦A8的中点G , ZAD C = 75 ° .( 1 )填空：cos ZACB =；（ 2 ）求 G的长.4 . （ 2 0 1 1 年浙江仙居）（ 1 0 分）如图，点 的直径A3 的延长线上，点 上，AC = CD, N4CO = 120 ,( 1 )求证：C O 是的切线;( 2 )若 的半径为2 , 求图中阴影部分的面积.( 1 )证明：连结 C .1 分7 AC = CD, 4 4 c o = 120°,/. N4 = ZD = 30°.2分. OA = OC,N2 = NA = 30".3分 ZOC D = ZA C D - N 2 = 90 ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4分二 .C D 是 的 切线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分( 2 ) 解： •. •/ A= 3 0 " , A Zl = 2 ZA = 6 0 \. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6分6 0 % x 2 ? In 7‘ 扇 形 咏 =下— = ? " •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .分在 R t △ 0 C D 中， * . * — = tan 6 0 ° ,OCC D = 2 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分/ . SA r ii-izv /-/ = -2O C xC £ > = - x2 x2 73 = 2 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9分. . . 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为2 V 3 - — .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 0 分35 . ( 2 0 i i 武 汉 调 考 模 拟 ) 如图， 在aAB C 中， AB = AC ,以AB 为直径的。
0与B C c交于D , 与边AC 交于E , 过 D作 D F _L AC 于 F . ⑴求证：D F 为的切线；⑵ 若 D E 哼，AB = | ,求 AE 的长. //.⑴连 AD , 0 D ,可得N B AD = N C AD = N AD 0 A7O 7/ . 0 D / / AC V D F ±AC / . 0 D ±D F , AD F 为 O o 切线.⑵ 连 B E 交 0 D 于 G . 则 B G = E G ,四边形D G E F 为矩形.由 D E = B D = C D =旦, AD = d A B ? - BD?=旧， 由2 SAAC D = 1CD • AD = - AC • D F . AD F = l. . . . E G = D F = 1 = LBE , . . . B E = 22 2 2/ . AE = 7/ lB2- fi E2 = -26 . ( 1 2分)( 2 on武 汉 调 考 模 拟 ) 如图直角坐标系中，以M ( 3 , 0)为圆心的0M交x轴负半轴于A ,交x轴正半轴于B ,交y轴于C , D( 1 )若C点坐标为( 0 , 4 ) ,求点A坐标( 2 )在( 1 )的条件下，在。
M上，是否存在点P ,使N C PM= 4 5 ° ,若存在，求出满足条件的点P⑶ 过C作M的切线C E ,过A作AN ±C E于F ,交M于N,当M的半径大小发生变化时.A N的长度是否变化？若变彳求变化范围，若不变，证明并求值./ 、( l) A( - 2 , 0 ) ( 2 ) P. ( 7,3 ) ,P2( - l,- 3 ) . J *⑶ 答 :A N的长不变为6 .连 C M,作 MH ±AN 于 H ,则 AH = N H ,证△AMH之△MC O ,. \AH = M0 = 3 . AAN = 2 AH = 6 .化,Vi7、（ 2 0 1 1年浙江杭州三模）如图，C D切于点B,过点B作弦AB _L O D ,点E为垂足，1 0 , si n ZC 0 D = - .5求（ 1 ）弦A B的长；（ 2 ） C D的长；答案：（ 1 ） V A B 1 O D ： . AB = 2 fi £ ,si n ZCOD = —0B ・ ・ ・4B E = 1 0 x- = 8,. \ AB = 1 65 … • • •⑵ 〈C D 切。
于 D , CD 1OD： .si n NCOD 不妨设 C O = 4k ，则 CO = 5k,OD = 3kOC 5/ . 3 4 = 1 0 ,Z = W3 •• • …/ . co = 4 % = "3 • • • • • •8、（ 2 0 1 1年浙江杭州五模） 如图，A 3为的直径，点一r的 ⑴求NA 的度数；⑵若点尸在上，C F 1 A B ,垂足为E , CF = 4 73 ,求图中阴影部分的面积.答案：解：⑴连结O C , 〈C D 切于点C , Z0 C D = 90 ° . VV Z D = 3 0 ° ， ： . ZC 0 D = 6 0 ° . 1 ' -V O A= O C , .,. ZA = ZAC 0 = 3 0 ° . V⑵•. •6 F _L 直径力H 6 F = 4 V 3 , . . . C E = 2 百 ，r. •. 在 R tZX O C E 中，0 E = 2 , 0 C = 4 . 1 '6 0 ^- x422 V 3 rB组1 . ( 2 0 1 1 年重庆江津区七校联考) 已知：如图直线PA交。
于A, E两点，PA的垂线D C 切0于点C , 过A 点作0 呼直径妙 1 ) 求证：AC 平分N D AB 〜 、⑵ 若 D C = 4 , D A = 2 , 求0的直径答案：⑴ 连 结0 C：D C切 于C. \O C 1 D C又 「PAL D C. . . O C 〃PAZPAC = Z0 C A又 O C = O A/ . Z0 C A= Z0 AC/ . ZPAC = Z0 AC，AC 平分 N D AB( 2 )作O F L AE于F ,设 的 半 径 为R XV PA1DC0C1DC. . . 四边形0CDF为矩形.*.0F=CD=4 且 DF=0C=R又 DA=2, /.AF=DF-AD=R-2在 RtAOAF 中，OF2+AF2=OA2.♦.42+(R-2)2=R2 解 得 :R=5，0的直径：2R=102. （ 2011北京四中一模）（ 本题9分）如图，在AABC中，以AB为直径的O交BC于点D ,, 连结A D ,请你添加一个条件，使△A BD gA A CD ,并说明全等的理由.你添加的条件是证明:答案：本题答案不唯一，添加的条件可以是( DA B=A C, ②NB=NC, ③B D=D C ( 或 D 是 B C 幅) ,④NBAD=NCAD （ 或 AD 平分NBAC）等.3. （ 2011北京四中二模）（ 本题满分8分 ）如图，在。
O中，AB是直径，半径为R ,弧AC=^R.3求（ 1） ZA O C的度数.（ 2）若D为 劣 弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点. 试探求AAEC之时，D点的位置.答案：.（ 1） NAOC=60°（ 2） D的位置，只要满足NDOB=60或AC〃OD或劣弧BC的中点其中一条.4. （ 2011浙江杭州义蓬一模）（ 本小题满分8分） 如图，在一块三角形的地块中间建一个圆形花坛，要使它与三边都相切 ( 1 ) 用尺规作图法画出这个圆( 保留作图痕迹，不写作法) ；( 2 ) 设三角形的面积为S ,周长为L , 内切圆半径为r , 则 S = ； Lr ,请说明理由ABC一、 答案：作图正确，保留痕迹3 分，结 论 1 分二、 设圆心为设 切点分别为D , E , F 连接A O , B O . C O , D O , E O , F 0S = - A B X r + - B C X r + - A C X r2 2 21 , 、= — r( A B + B C + A C )25 . ( 2 01 1 湖北武汉调考模拟二) 已知：如图8 , A D 是A A B C 外接圆。
0 的直径，A E 是4 A B C 的边B C 上的高，D F 1 B C , F为垂足.( 1 ) 求证: B F = E C ;( 2 ) 若 C点是A D 的中点，且 D F = 3 A E = 3 . ,求B C 的长.. ( 第 5 题)答案： ( 1 ) 证明：过 0 作 O H _ LB C 于N , B H = C H ,V A E ±B C , D F ±B C , O H ±B C ,. •. A E / / O H / / D F ,而 O A = O D , •••O H是梯形A E F D的中位线,则 E H = F H ,，B E = C F , . . . B F = E C ;( 2 )解：连D C ,则4 A C D是等腰直角三角形，•. •N A B E = N A D C = 45 ° ,/ . A E = B E = 1 ,. •. △A E C g / W C , . . . E C = D F = 3 , . . . B C = 2 .6. ( 2 01 1湖北武汉调考一模) 如图，0 0是AABC的外接圆，A D是0的直径，D E J _ B C 于 E , A F J _ B C 于 F⑴求证B E = C F ;( 2 )作 O G _ LB C 于 G,若 D E = B F = 3 , 0G = l ,求弦 A C 的长.答案：( 1 )证明：延长D E交。
于B ,连接A H、B H .则四边形A H E F为矩形，. * . A F = E H , A H / / E F , ZH A B = ZA B C ,/ . B H = A C , A R tA B E H ^R tA C F A ,. / . B E = C F ;⑵ 解 ：连接C D ,连接F 0并延长交D E于P点 . 则 A A F O g / X D P O , . \ A F = D P , O F = O P ,. ,. O G = -P E , . \ P E = 2 , r . A F = D P = l2,. ,D E = B F = C E , / . ZB C D = 45 °又N A C D = 9 0° , ZA C B = 45 ° .. \ A C = V 27 . ( 安徽芜湖2 01 1 模拟) ( 本题满分1 0分) 如图， 在aA B C 中， A B = A C ,以A B 为直径的 交 A C 与E , 交B C 与D . 求证：( 1 ) D是B C 的中点;( 2 ) A B E C ^A A D C ；( 3 ) B C2= 2 A B -C E .答案：( 1 ) 证明：• 「 A B 是。
0 的直径，,•. N A D B = 9 0 ,即A D 是底边B C 上的高. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分又：A B = A C , A A A B C 是等腰三角形，. * . D 是B C 的中点; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分( 2 ) 证明：•. •N C B E 与N C A D 是同弧所对的圆周角, .,.ZCBE=ZCAD. ....................................................................................................5 分XVZBCE=ZACD,A ABEC^AADC； ...................................................................................................6 分( 3 )证明：由△B E C saA D C ,知 乌 = 空 ，AC BC即 CD • BC=AC - CE. ...................................................................................................8分是 BC 的中点，： . C D =-B C .2又 二 飞13=人 （ ； ,A CD • BC=AC - CE=1BC ・ BC=AB • CE2即 BC2=2AB・C E .........................................................................................................10分8 .（ 浙江杭州金山学校2011模拟）（ 根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编）已知：直角梯形0ABC中，BC〃0A, ZA0C=90°,以AB为直径的圆M 交 0C 于 D. E ,连结 AD、BD、BE。
1）在不添加其他字母和线的前提下， 直接写出图1中的两对相似三角形9 -O（2）直角梯形0ABC中，以0为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（ 如图2）,若抛物线＞ = 加 _2办-3心＜0）经过点A. B. D,且B为抛物线的顶点①写出顶点B的坐标（ 用a的代数式表示）o②求抛物线的解析式 ③在X 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ： 过点P做P N J Lx轴于N , 使得4P A N 与A O A D 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由答 案： ( 1 )△O A D ^A C D B . A A D B ^A E C B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分( 2 ) ①( l ,—4a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1分②•. •△O A D sR D B型 = 色 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分OA OD, ：ax2 - 2 ax - 3 a= 0， 可 得 A ( 3 ,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分又 0C = -4a, 0D = -3 a, C D = -a, C B = 1 ,故抛物线的解析式为 y = -x2 + 2 x + 32分③存在，设 P (x, - x2+2x+3)APAN与AOAD相似，且AOAD为等腰三角形APN=AN当 x<0 (x< —1 )时，—x+3=— (―x2+2x+3), X i=-2, X2=3(舍去) ，P ( — 2 , 一5) ..............................................................................................................2分当 x>0 (x > 3 )时 ,x—3= (―x2+2x+3), Xi=0, X2=3(都不合题意舍去） . . . . . . .1 分符合条件的点 P 为 （一 25） ....................................................................... 1 分9 . （ 2011年海宁市盐官片一模）如图，4 B是 ® 0 的直径，点 C在 8 A的延C 。
与◎ 0相切于点F _ L 48于点E,线段C O = 10, 连接8 D ；（ 1）求证：Z C D E = N D 0 C = 2 N B ；（ 2）若 B D ： AB= 6 2 ,求O的半径及答案：⑴证明：〈CD 切O.、ODJLCDXVDFIAD.*. ZCDE=ZDOCV OD=OB A ZB=ZOBDZCOD=ZB+ZOBD.,.ZCDE=ZCOD=2ZB⑵连 AD,设 BD=gR,则 AB=2k ：AB 为直径，ZADB=90° A A D = ^ )2- ( ^ )2 =k.•.AB=2AD,NB=30°ZCOD=60° , ZC=30°.•.BD=CD=10, DE=5直径 AB1DF.\DF=2DE=1OBD=V 3k=10, /.k = 谑，3.•.AB二.，. •. 半径 为 虚33八给S的10. （ 2011年浙江省杭州市模2 ）（ 本小题满分6分）如图，CD切0于点D ,连结0 C ,交0于点B ,过点B作弦ABJL0D,点E为垂足，已知G径为10,求（1）sinZC0D=-.5弦AB的长；(2) CD的长；答案:(1) ••• AB 1OD ：. AB = 2BE,sin ZCOD =—OB4 ,BE = W x- = S,：. AB = 16(2) V CD WOO ^ D , CD 1 OD二 . sin ZCOD =—=- , 不妨设 C0 = 4A ,则 CO = 5k,OO = 3左OC 5二 . OD=3k =10,k =—3/. CO = 4Z =竺3单元测试一、基础过关训练1 . 如图，四边形ABCD是。
O 的内接正方形，点 P 是CO上不同于 点C 的任意一点，则NBPC的度数是（ ）A. 45°B. 60℃. 75°D. 90°（ 第 1题） （ 第 2 题） （ 第 3 题）2 . 如图，MN是的直径，M N=2,点A 在O 上，ZAMN=30°,B 为AN的中点，P 是直径MN上一动点，则 PA+PB的最小值为（ ）A. 2挺 B. V 2C. 1D. 23 . 如图， AB为的直径， AB=AC, BC交O 于点D, AC交O于 点 E, ZBAC=45°,给出以下五个结论：①NEBC=22.5 ；②BD=DC；③AE=2EC；④AE的长是OE的 2 倍；⑤AE=BC.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 .4 . 如图， AB是O 的直径，BC是弦， OD_LBC于点E , 交8 c于点D.（ 1）请写出四个不同类型的正确结论；（ 2）连结C D ,设/CDB=a, NABC=〃，写出a 与尸之间的一种关系式，并给予证明. 二、能力提升训练5 . 如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O 交于点G, B, F, E,GB=8cm, AG=lcm, DE=2cm, 求 EF 的长.6 . 在。
O 的内接4ABC 中， AB+AC=12, ADLBC 于点 D ,且 AD=3,设的半径为y, AB的长为x.( 1 ) 求 y 与 x 的函数关系式；( 2 ) 当AB的长等于多少时，的面积最大？并求出最大值.7 . 如图，B C 是O 的直径，点 A 在O 上，且 AB=AC=4, P 为AB上一点，过点P 作 PE LA B分别交BC, OA于点E, F.( 1 ) 设 A P=1,求aO E F的面积.( 2 ) 设 AP=a (0
，即a -£ = 9 0 .能力提升训练5 . 解：过点O 作 OH_LEF于点H ,则 HE=HF」 EF.2又四边形ABCD为矩形，A ZA=ZD=90°.，四边形AOHD为矩形，.\AO=DH. XVGB=8cm, AG=lcm,.*.OA=5cm, /.DH=5cm.又 DE=2cm, /.EH=DH-DE=3cm.:.EF=2EH=6cm.6 . 解(1 ) 连结OA, O B ,过 O 作 OEJ_AB于点E.贝 ！jAE’AB’x, ZAOE=1ZAOB.2 2 2XVZACB=1ZAOB, AZAOE=ZACB.2VAD±BC 于点 D, :, ZADC=ZAEO=90°,AAA O E^AACD ,. ・ . 吆= 任，/ 3 = AC>AE AO 1 y—x )VAB+AC=12, AAC=12-AB=12-x,• ・• 一3 = -1-2---xX y2.*.y=--X2+2X.6(2) y=—— X2+2X=—— (x—6) 2+6,6 6・• . 当x=6时，ymax= 6 ,即当AB长为6 时，半径取得最大值为6 , 此时 S ° o=乃 X62=36 n .7 . 解（1） TBC 是。
O 的直径，r.ZBAC=90°.XVAB=AC,/.ZB=ZC=45°, OA±BC, ZB=ZOAB=45°.VPE±AB,.\ZOAB=ZAFP=45°, ZOEF=ZOFE=45°.AAAPF, ZkOEF和aO A B均为等腰直角三角形.VAP=L AB=4. AAF=V2 , OA=2 亿 OE=OF=V2 .SAOEF= ；,OE,OF=^x V2 xV2=l.( 2 )①PF=AP=a, Si=1a2KAF= V2a, OE=OF=2V2 — V2a=V2 (2—a)..*.S2=OEOF= (2 -a ) 2,VS^Sz，A 1a2= (2 -a ) 2, ，a=4±4血.0