1第第1章 建立数学模型章 建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型原型和模型原型和模型 原型(prototype) 在现实世界里人们关心、 研究或从事生产、管理的实际对象. 如机械系统， 生态系统，钢铁冶炼过程，污染扩散过程等. 模型(model) 为了某个特定的目的将原型的 某一部分信息简缩、提炼而构成的原型的替代物. 2分类分类物质模型(形象模型)： 直观模型，物理模型(如风洞，核爆 炸反应模拟设备)等.理想模型(抽象模型)： 思维模型(掷骰子，袋中摸球)，符 号模型(电路图)，数学模型等.3数学模型数学模型 由数字、字母或其它数学符 号组成的、描述现实对象数量规律的数学 公式、图形或算法. 与数学模型有密切关系的有: 数学模 拟，计算机模拟，数学实验等. 数学模型可描述为: 对现实世界的一个 特定对象, 为了一个特定的目的, 根据特有 的内在规律, 做出一些必要的简化假设, 运 用适当的数学工具, 得到的一个数学结构.4为什么需要建立数学模型？分析， 预报，决策，控制等. 如火炮的仰角与射 程的关系，可用数学公式得到解决，不必 通过实物试验. 在对数学模型的研究中，重点：讨 论建立数学模型的全过程，即如何建立数 学模型.建立数学模型的全过程：表述，求解， 解释，验证51.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义•在一般工程技术领域，数学建模仍然大有 用武之地. •在高新技术领域，数学建模几乎是必不可 少的工具. •数学迅速进入一些新领域，为数学建模开 拓了许多新的处女地. 数学建模的应用： 分析与设计，预报与决策，控制与优化， 规划与管理等等. 61.3 建模示例之一建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？模型假设模型假设 1. 椅子四条腿的端点视为四个点，且为正 方形的四个顶点. 2. 地面高度连续变化. 3. 对椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面 相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只 脚同时着地.7模型构成模型构成如图，椅子的位 置可用θ表示. 设A、 C与地面距离之和为 f(θ)，B、C与地面距 离之和为g(θ). 由于 至少有三条腿着地， 故有f(θ) ≥ 0, g(θ) ≥ 0, f(θ)g(θ) ≥ 0，且f(θ)、 g(θ)为连续函数. 8模型求解模型求解设h(θ) = f(θ) − g(θ). 对θ = 0和θ = π/2，A、 C的位置与B、D的位置互换，故有h(π/2) = −h(0). 若h(0) ≠ 0，则h(0)与h(π/2)异号，由连续函数的 性质，必有θ0∈(0, π/2)，使h(θ0) = 0. 又f(θ0)与g(θ0) 中至少有一个为零，故f(θ0) = g(θ0) = 0，即这时 椅子四脚着地. 注: “至少三脚着地”和“f, g都非负”的假设可 不要, 仍可证明存在θ0∈(0, π/2)，使h(θ0) = 0. 这 时A , B, C, E 四点在地面的投影共面,椅子可放稳.9例例(习题p22, 4.)若ABCD为矩形但非 正方形, 设OA与OB之间夹 角为α, 仍用上面所设的函 数, 则有f(θ + α) = g(θ), 且f 与g都是周期为π的函数, 因此f与g有相同的最大、 最小值. 设f(θ1) = max, f(θ2) = min, 则f(θ1) ≥ g(θ1), f(θ2) ≤ g(θ2). 由函数的连续性, 在θ1与θ2之间至少有一点 θ0使f(θ0) = g(θ0). 101.4 建模示例之二建模示例之二 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河三名商人各带一个随从乘船渡河. 现只有一只小船且只能容纳2人，由他们自 己划行. 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦 随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是如 何乘船渡河须由商人安排. 那么商人应怎 样安排才能安全渡河 ?11模型构成 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随 从人数为yk, k = 1, 2, …，xk, yk= 0, 1, 2 ,3. 将二维向量sk= (xk, yk)定义为状态. 安全渡 河条件下的状态集合称为允许状态集合， 记作S. 不难写出 S = {(x, y)|x = 0, y = 0, 1, 2, 3; x = 3, y = 0, 1, 2, 3; x = y = 1, 2}. 记第k次渡船上商人数为uk，随从数为 vk，二维向量dk= (uk, vk)定义为决策. 允许 决策集合D = {(u, v)|u+v = 1, 2}，且 sk+1=sk+(−1)kdk(状态转移律)12于是制定安全渡河 方案归结为如下多步决策 问题： 求决策dk∈D (k = 1, 2, …, n)，使sk∈S按照状 态转移律，由初始状态s1 = (3, 3)经有限的n步到达 状态sn+1= (0, 0).13模型求解模型求解 状态(x, y)如右图. 当k为奇数，渡船从 此岸到彼岸，uk, vk不增， 且至少有一个要减小. 状 态转移方向为左下(图中 实线箭头). 当k为偶数，渡船从 彼岸到此岸，uk, vk不减， 且至少有一个要增加. 状 态转移方向为右上(图中 虚线箭头). 策略如图，不唯一， 课本上为另一策略. 商人过河状态图14例例(习题p22, 5.) 人猫鸡米过河，人每次只能带一件，人 不在时猫吃鸡，鸡吃米. 求可行的过河策略. 人猫鸡米分别用a, b, c, d表示，则此岸 的可行状态s为 {(abcd), (abc), (abd), (acd), (ac), (bd), (b), (c), (d), (Φ)}. 决策d为每次渡船上的乘客，可行决策集 合D = {(a), (ab), (ac), (ad)}. 求决策dk∈D (k = 1, 2, …, n)，使sk∈S按照状态转移律sk+1= sk+ (−1)kdk，由初始状态s1= (abcd)经有限的n步到 达状态sn+1= (Φ). 15可行状态之间的关系如右图，线段相连 的状态间可相互转移. 图中可见有两条路线 可从状态(abcd)到达(Φ).人猫鸡米过河的可行状态关系图161.5 建模示例之三 如何预报人口的增长建模示例之三 如何预报人口的增长记今年人口为x0, 年增长率为r, 则k年后人口预报 为xk= x0(1+r)k, 前提是r不变. 指数增长模型指数增长模型(马尔萨斯) x(t+∆t) − x(t) = rx(t)∆t, x(0) = x0. 有dx/dt = rx, x(0) = x0，解得 x(t) = x0ert. 通常 r << 1, er≈ 1+r , 故 x(t) = x0(1+r)t, 其图形见右图. 但人口增长到一定数量后，增 长率会下降. 17阻滞增长模型阻滞增长模型 (Logistic模型) 增长率r与人口数x有关: r(x) = r(1−x/xm), 其中xm为最大人口容量, 得. dx/dt = r(1−x/xm)x, x(0) = x0. 解得 x(t) = . dx/dt和x(t)的图形见右图. rtmmexxx−−+) 1(10181.6 建立数学模型的方法和步骤作业: p22. 4. 5. 7.。