a a 阿 a a 阿 a a 阿 a a 阿 b a 阿 b a 阿 b a 阿 b a 阿 O 阿 O 阿 O 阿 O 阿 ( A) ( B) ( C) ( D) 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1如果函数的图象与 x 轴有两上交点，则点 （a，b）在 aOb 平面上abxaxy 2 的区域（不包含边界）为 2抛物线的准线方程是 y=2，则 a 的值为（ ） 2 axy ABC8D8 8 1 8 1 3已知（ ）xxx2tan, 5 4 cos), 0 , 2 (则 ABCD 24 7 24 7 7 24 7 24 4设函数则 x0的取值范围是（ ） , 1)( . 0 , , 0, 12 )( 0 2 1 xf xx x xf x 若 A（1，1）B（1，+） C（，2）（0，+）D（，1）（1，+ ） 5O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） ),, 0), |||| ( AC AC AB AB OAOP A外心B内心C重心D垂心 6函数的反函数为（ ）), 1 (, 1 1 ln x x x y AB), 0(, 1 1 x e e y x x ), 0(, 1 1 x e e y x x CD) 0 , (, 1 1 x e e y x x ) 0 , (, 1 1 x e e y x x 7棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） ABCD 3 3 a 4 3 a 6 3 a 12 3 a 8设曲线在点处切线的倾斜角的取值范,)(, 0 2 cbxaxxfa)(xfy ))(,( 00 xfxP 围为，则 P 到曲线对称轴距离的取值范围为（ ） 4 , 0 )(xfy ABCD a 1 , 0 2 1 , 0 a | 2 | , 0 a b | 2 1 | , 0 a b 9已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 0)2)(2( 22 nxxmxx 4 1 |mn|=（ ） A1BCD 4 3 2 1 8 3 10已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（，0）直线 y=x1 与其相交于7 M、N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） 3 2 ABCD1 43 22 yx 1 34 22 yx 1 25 22 yx 1 52 22 yx 11已知长方形四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点 P2、P3和 P4（入射角等于反射角）.设 P4的坐标为（x4，0）.若 1< x4<2，则 tan 的取值范围是（ ） ABCD) 1 , 3 1 () 3 2 , 3 1 () 2 1 , 5 2 () 3 2 , 5 2 ( 12一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2 （ ） A3B4C D633 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，把答案填在题中横线上. 13展开式中 x9的系数是 92 ) 2 1 ( x x 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为 检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的 轿车依次应抽取 ， ， 辆 15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）.现要栽种 4 种不同颜 色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方 法 有 种.（以数字作答） 16对于四面体 ABCD，给出下列四个命题 若 AB=AC，BD=CD，则 BCAD.若 AB=CD，AC=BD，则 BC AD. 若 ABAC，BDCD，则 BCAD.若 ABCD，BD AC，则 BCAD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 C 1 A 1 B 1 步骤. 17（本小题满分 12 分） 有三种产品，合格率分别是 0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001） 18（本小题满分 12 分） 已知函数上 R 上的偶函数，其图象关于点)0 , 0)(sin()(xxf 对称，且在区间上是单调函数，求 和的值.) 0 , 4 3 ( M 2 , 0 19（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90， 侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD 的垂心 G. （）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （）求点 A1到平面 AED 的距离. 20（本小题满分 12 分） 已知常数，向量经过原点 O 以为方向向量的直0a).0 , 1 (),, 0(iacic 线与经过定点 A（0，a）以为方向向量的直线相交于点 P，其中试问：是ci2.R 否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在， 说明理由. 21（本小题满分 12 分）已知为正整数.na, 0 （）设； 1 )(,)( nn axnyaxy证明 （）设).() 1() 1(,,)()( 1 nfnnfanaxxxf nn nn n 证明对任意 22（本小题满分 14 分） 设如图，已知直线及曲线 C：，C 上的点 Q1的横坐标为, 0aaxyl: 2 xy 1 a （）.从 C 上的点 Qn（n1）作直线平行于 x 轴，交直线 l 于点，再aa 1 0 1n P 从点作直线平行于 y 轴，交曲线 C 于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数 1n P 列 . n a （）试求的关系，并求的通项公式； nn aa与 1 n a （）当时，证明； 2 1 , 1 1 aa n k kkk aaa 1 21 32 1 )( （）当 a=1 时，证明 n k kkk aaa 1 21 . 3 1 )( 2003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分. 1C 2B 3D 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10D 11C 12A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分. 13 146,30,10 15120 16 2 21 yl Q 1 Q 2 Q 31 a a1 2 a a2 3 a a3 r 2 r 1 三、解答题 17本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力， 满分 12 分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C. （）， 95. 0)()(,90 . 0 )(CPBPAP.50 . 0 )()(,10. 0)(CPBPAP 因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176. 095 . 0 95. 010. 005 . 0 95 . 0 90 . 0 2 )()()()()()()()()( )()()( CPBPAPCPBPAPCPBPAP CBAPCBAPCBAP 答：恰有一件不合格的概率为 0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 )()()()(CBAPCBAPCBAPCBAP 012 . 0 05 . 0 10 . 0 95 . 0 05 . 0 10 . 0 205 . 0 90 . 0 22 解法二：三件产品都合格的概率为 812. 095 . 0 90 . 0 )()()()( 2 CPBPAPCBAP 由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 .012 . 0 )176 . 0 812 . 0 (1176 . 0 )(1CBAP 答：至少有两件不合的概率为 0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问 题和推理计算能力，满 12 分分 解：由),()(,)(xfxfxf得是偶函数 . 0cos, 0, sincossincos ),sin()sin( 所以得且都成立对任意 所以 即 x xx xx . 2 3 2 , ; 2 , 0) 2 sin()(, 3 10 ,0 ; 2 , 0) 2 2sin()(, 2,1 ; 2 , 0) 23 2 sin()(, 3 2 ,0 ., 2 , 1 , 0),12( 3 2 ,, 3 , 2 , 1, 24 3 , 0, 0 4 3 cos , 4 3 cos) 24 3 sin() 4 3 ( , 4 3 cos) 24 3 sin() 4 3 (, 0 ), 4 3 () 4 3 (,)( . 2 ,0 或综合得所以 上不是单调函数在时当 上是减函数在时当 上是减函数在时当 得又 得取 得对称的图象关于点由 所以解得依题设 xxfk xxfk xxfk kk kk f fx xfxfMxf 19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一：（）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平 面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3, 32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 . 3, 1, 3 1 .,, ,,,, 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED （）连结 A1D，有 EAADAEDA VV 11 ,,,FABEFEFEDABED又 , 设 A1到平面 AED 的距离为 h，ABAED 1 平面 则 EDShS ABAAED 1 . 2 6 2 1 ,2 4 1 2 1 1 11 EDAESABAASS AEDABAAEA 又 . 3 62 . 3 62 2 6 22 1 的距离为到平面即AEDAh 解法二 ：（）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a， 则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) . 3 7 arccos . 3 7 21 3 1 32 3/14 |||| cos ). 3 1 , 3 4 , 3 2 (),2 , 2, 2( . 1 . 0 3 2 3 2 ).1 ,2, 0(), 3 2 , 3 , 3 ( ). 3 1 , 3 2 , 3 2 (),1 ,,(),2 , 0 ,2( 1 1 1 1 1 2 。