初中数学几何难题及答案 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 经典难题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点． 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N分别是 AB、CD的中点，AD、BC 的延长线交 MN于 E、F． A P C D B A F G C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 N F E C D 求证：∠DEN＝∠F． 经 典 难 题（二） 1、已知：△ABC 中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且 OM⊥BC 于 M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 2、设 MN是圆 O外一直线，过 O作 OA⊥MN于 A，自 A引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB及 CD分别交 MN 于 P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN是圆 O的弦，过 MN的中点 A任作两弦 BC、DE，设 CD、EB分别交 MN于 P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A P C G F B Q A D E 4、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG，点 P 是 EF的中点． 求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半．（初二） 经 典 难 题（三） 1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与 CD 相交于 F． 求证：CE＝CF．（初二） 2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE∥AC，且 CE＝CA，直线 EC 交 DA延长线于 F． 求证：AE＝AF．（初二） 3、设 P 是正方形 ABCD一边 BC 上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） D A F D E C B E D A C B F F A 4、如图，PC 切圆 O于 C，AC 为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线 PO相交于 B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） 经 典 难 题（四） 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二） 2、设 P 是平行四边形 ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） O D B F A E C P A P C B P A D C B 3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三） 4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F分别是 BC、AB上的一点，AE 与 CF相交于 P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） 经 典 难 题（五） 1、设 P 是边长为 1 的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2． 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB＋PC的最小值． C B D A F P D E C B A A P C B A C B P D 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长． 4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是 AB、AC 上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数． 经 典 难 题（一） 1.如下图做 GH⊥AB,连接 EO。
由于 GOFE 四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF得证 2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形 A C B P D E D C B A 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点， 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点， 由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F 经 典 难 题（二） 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB，OC,既得∠BOC=1200， 从而可得∠BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证 3.作 OF⊥CD，OG⊥BE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ 由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG， 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE 又因为 PFOA与 QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得 AP=AQ 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH可得 PQ=2EGFH 由△EGA≌△AIC，可得 EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得 FH=BI。
从而可得 PQ= 2AIBI= 2AB，从而得证 经 典 难 题（三） 1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接 CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB 推出 AE=AG=AC=GC，可得△AGC 为等边三角形 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF 2.连接 BD 作 CH⊥DE，可得四边形 CGDH是正方形 由 AC=CE=2GC=2CH， 可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150， 又∠FAE=900+450+150=1500， 从而可知道∠F=150，从而得出 AE=AF 3.作 FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出 GFEC 为正方形 令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZYXZ，可得 YZ=XY-X2+XZ， 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到 PA＝PF ，得证 。
经 典 难 题（四） 1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接 PQ ，则△PBQ是正三角形 可得△PQC 是直角三角形 所以∠APB=1500 2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得： AEBP 共圆（一边所对两角相等） 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证 3.在 BD 取一点 E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得： BEBC=ADAC，即 AD?BC=BE?AC， ① 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得 ABAC=DEDC，即 AB?CD=DE?AC， ② 由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证 4.过 D 作 AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得： 2AE PQ=2AE PQ，由 AE=FC 可得 DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理） 经 典 难 题（五） 1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小 L= ； （2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F 由于∠APD>∠ATP=∠ADP， 推出 AD>AP ① 又 BP+DP>BP ② 和 PF+FC>PC ③ 又 DF=AF ④ 由①②③④可得：最大 L< 2 ； 由（1）和（2）既得：≤L＜2 2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF 既得 AF=213(1)42 = 23= 42 32 = 2( 31)2 = 2( 31)2 = 622 3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长 L = 2222(2)()22a = 52 2 a 。
4.在 AB 上找一点 F，使∠BCF=600 ， 连接 EF，DG，既得△BGC 为等边三角形， 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到 BE=CF ， FG=GE 推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ， 既得：∠DFG=400 ① 又 BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。