循环小数中的数字出现的统计规律——神奇的 142857摘要：循环小数一直都是令人着迷的主题，它那暗藏无限玄机的奥妙与不可言说的神奇规律和巧合，让无数人都“前仆后继” ，废寝忘食地探讨......关键词：循环小数 循环节 质数前言：在看了《数学探究与欣赏》中的有关循环小数的部分后，我深深地被循环小数诸多的巧合及规律深深地吸引住了，尤其是《对循环小数问题再探》一篇最末的循环小数中的数字出现的统计规律，因此我的这篇论文主要就是探讨：若一个分数 1/p(p 为质数)的循环节有（p-1）位，且循环节长度大于 6，那么出现 1,4,2,8,5,7 的频数和 0,3,6,9 的频数是多少正文：在研究之前，我想先引入来自金字塔内的一组神奇数——1428571/7=0.142857142857......2/7=0.285714285714......3/7=0.428571428571......4/7=0.571428571428......5/7=0.714285714285......6/7=0.857142857142......将以上各式的循环节中的奇位数和偶位数都分别相加，和都是 8 和 19。
而且，7/7=1=0.9999......(后面的等式很容易证明) 142857 X 1 = 142857142857 X 2 = 285714142857 X 3 = 428571142857 X 4 = 571428142857 X 5 = 714285142857 X 6 = 857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现而且，142857 X 7 = 999999142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 991+4+2+8+5+7=27=2+7=9142857 X142857=20408122449 将其积分为前五位数字和后六位数字，相加得20408 + 122449 = 142857真是美妙绝伦！好了，言归正传首先，100 以内的质数中，这样的 p 共有 9 个，分别是7、17、19、23、29、47、59、61、971/7 的循环节是 142857数字 1,4,2,8,5,7 各出现 1 次；0,9 出现 0 次；3,6出现 0 次 1/17 的循环节是 0588235294117647数字 1,4,2,8,5,7 各出现 2 次；0,9出现 1 次；3,6 出现 1 次。
1/19 的循环节是 052631578947368421数字 1,4,2,8,5,7 各出现 2 次；0,9 出现 1 次；3,6 出现 1 次1/23 的循环节是 0434782608695652173913数字 1,4,2,8,5,7 各出现 2 次；0,9 出现 2 次；3,6 出现 3 次······在这类循环小数中，循环节里的 1,4,2,8,5,7 有相同的个数，0 和 9，3 和6 的个数也分别相同由于 p 是质数，所以我们可以把 p 分为四种类型，即p=10n+1,p=10n+3,p=10n+7,p=10n+9经过不断的计算，可以得出下表的规律：p 的类型 1、4、2、8、5、7 的个数 0、9 的个数 3、6 的个数p=10n+1 n n np=10n+3 n n n+1p=10n+7 n+1 n np=10n+9 n+1 n n+1因为当 p=10n+1 时，p 最小为 61，验证起来较为繁琐，所以下面只证明p=10n+3 的结论，其它三种类型证法相同从表中可以看出，当 p=10n+3 时，1、4、2、8、5、7 的个数为 n，0、9 的个数也为 n，而 3、6 的个数为 n+1。
证明如下：由 1/p 的循环节长度为（p-1）可知，利用长除法求 1/p 时，余数会出现1～（p-1） ，所以可以做以下分类讨论：当余数为１～n 时，随后的商必为 0，因为 10n/(10n+3)＜1,而从 1 到 n 共有 n 个自然数，所以循环节 0 的个数为 n当余数为 n+1～2n 时，随后的商必为 1，这是因为 10(n+1)/(10n+3)=10n+10/(10n+3)＞1,10×(2n)/ (10n+3)=20n/(10n+3)＜2而从 n+1 到 2n 共有 n 个自然数，所以循环节中 1 的个数为 n当余数为 2n+1～3n 时，随后的商必为 2，这是因为 10(2n+1)/(10n+3)=20n+10/(10n+3)＞2,10×(3n)/ (10n+3)=30n/(10n+3)＜3而从 2n+1 到 3n 共有 n 个自然数，所以循环节中 2 的个数为 n当余数为 3n+1～4n+1 时，随后的商必为 3，这是因为 10(3n+1)/(10n+3)=30n+10/(10n+3)＞3,10×(4n+1)/ (10n+3)=40n+10/(10n+3)＜4而从 3n+1到 4n+1 共有 n+1 个自然数，所以循环节中 3 的个数为 n+1。
当余数为 4n+2～5n+1 时，随后的商必为 4，这是因为 10(4n+2)/(10n+3)=40n+20/(10n+3)＞4,10×(5n+1)/ (10n+3)=50n+10/(10n+3)＜5而从 4n+2到 5n+1 共有 n 个自然数，所以循环节中 4 的个数为 n当余数为 5n+2～6n+1 时，随后的商必为 5，这是因为 10(5n+2)/(10n+3)=50n+20/(10n+3)＞5,10×(6n+1)/ (10n+3)=60n+10/(10n+3)＜6而从 5n+2到 6n+1 共有 n 个自然数，所以循环节中 5 的个数为 n当余数为 6n+2～7n+2 时，随后的商必为 6，这是因为 10(6n+2)/(10n+3)=60n+20/(10n+3)＞6,10×(7n+2)/ (10n+3)=70n+20/(10n+3)＜7而从 6n+2到 7n+2 共有 n+1 个自然数，所以循环节中 6 的个数为 n+1当余数为 7n+3～8n+2 时，随后的商必为 7，这是因为 10(7n+3)/(10n+3)=70n+30/(10n+3)＞7,10×(8n+2)/ (10n+3)=80n+20/(10n+3)＜8。
而从 7n+3到 8n+2 共有 n 个自然数，所以循环节中 7 的个数为 n当余数为 8n+3～9n+2 时，随后的商必为 8，这是因为 10(8n+3)/(10n+3)=80n+30/(10n+3)＞8,10×(9n+2)/ (10n+3)=90n+20/(10n+3)＜9而从 8n+3到 9n+2 共有 n 个自然数，所以循环节中 8 的个数为 n当余数为 9n+3～10n+2 时，随后的商必为 9，这是因为 10(9n+3)/(10n+3)=90n+30/(10n+3)＞9,10×(10n+2)/ (10n+3)=100n+20/(10n+3)＜10而从 9n+3 到 10n+2 共有 n个自然数，所以循环节中 9 的个数为 n其实分数 n/p 也有同样的性质，并不只是 1/p 有这样的性质回归到开头那组神奇数既然 1/7 有这样的神奇规律，而它又属于刚才所讨论的那一类分数，那么同类中的其它数会不会也有同样神奇的奥妙呢？果然，具有“142857”这样特征的分数不止它一个，所有循环节为（p-1）位的分数 1/p(p 为质数)均有这个特征如：1/17=0.05882352941176470588235294117647......2/17=0.11764705882352941176470588235294......3/17=0.17647058823529411764705882352941......4/17=0.05882352941176470588235294117647......5/17=0.29411764705882352941176470588235......6/17=0.03529411764705882352941176475882......7/17=0.41176470588235294117647058823529......8/17=0.47058823529411764705882352941176......9/17=0.29411764705882352941176470588235......10/17=0.58823529411764705882352941176470......11/17=0.64705882352941176470588235294117......12/17=0.70588235294117647058823529411764......13/17=0.76470588235294117647058823529411......14/17=0.82352941176470588235294117647058......15/17=0.88235294117647058823529411764705......16/17=0.94117647058823529411764705882352......将以上各式的循环节中的奇位数和偶位数都分别相加，和都是 36 和 36。
17/17=1=0.9999......1 X 0588235294117647 = 0588 2352 9411 7647 2 X 0588235294117647 = 1176 4705 8823 5294 3 X 0588235294117647 = 1764 7058 8235 2941 4 X 0588235294117647 = 2352 9411 7647 0588 5 X 0588235294117647 = 2941 1764 7058 8235 6 X 0588235294117647 = 3529 4117 6470 5882 7 X 0588235294117647 = 4117 6470 5882 3529 8 X 0588235294117647 = 4705 8823 5294 1176 9 X 0588235294117647 = 5294 1176 4705 8823 10 X 0588235294117647 = 5882 3529 4117 6470 11 X 0588235294117647 = 6470 5882 3529 4117 12 X 0588235294117647 = 7058 8235 2941 1764 13 X 0588235294117647 = 7647 0588 2352 9411 14 X 0588235294117647 = 8235 2941 1764 7058 15 X 0588235294117647 = 8823 5294 1176 4705 16 X 0588235294117647 = 9411 7647 0588 2352 17 X 0588235294117647 = 9999 9999 9999 999905882352 + 94117647 = 99999999······循环小数真是一个布满谜团的数学秘境，吸引着人们去探索，去欣赏。
我想，这篇文章只是揭开了它层层迷雾的其中之一，还有更多的奇妙性质等着我们去挖掘......后记：在打了这么长的一篇论文后觉得自己所讲的只是冰山一角，于是又查了许多有关循环小数的资料，无意中发现了一篇很好的文章 ——《用超级画板探究循环小数与二次曲线的联系》 虽然我不会用超级画板，但把循环小数与二次曲线联系起来是很特别的一个角度，所以参考文献也附上网址链接参考文献：1、。