分数裂项计算分数裂项计算 教学教学目目标标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高 知识点拨知识点拨 分数裂项 一、 “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 ab 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab， 那么有 1111 () abba ab (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)nnn ， 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的，我们有： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值 二、 “裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） 11abab abababba （2） 2222 ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的 例题精讲例题精讲 【例 1】【例 1】 11111 1 223344556 【考点】分数裂项【难度】2 星【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】【解析】原式 111111115 122356166 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 1111 1 33 55779 ，计算过程就要变为： 1111111 1 33 55779192 【答案】 5 6 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 111 . 10 1111 125960 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【解析】【解析】原式 111111111 ()().() 101111125960106012 【答案】 1 12 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 2222 1099 85443 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【解析】【解析】原式 11111111 2 910894534 11 2 310 7 15 【答案】 7 15 【例 2】【例 2】 1111 11212312100 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单 的项开始入手，通过公式的运算寻找规律从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的 代入有 112 (1 1) 1 11 2 2 ， 112 (12)2 1223 2 ， 原式 2222120099 2(1)1 1 22334100 101101101101 【答案】 99 1101 【例 3】【例 3】 1111 1 33 55799 101 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【解析】【解析】 111111111150 (1 1 33 55799 101233599101101 ） 【答案】 50 101 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 1111 25 1 33 5572325 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】迎春杯，初赛，六年级 【解析】【解析】原式 111111 251 23352325 11 251 225 2524 225 12 【答案】12 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 251251251251251 4 88 1212 162000200420042008 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛 【解析】【解析】原式 25111111 161 22334500501501 502 2511111111 1 1622334501502 25150150121 15 165023232 【答案】 21 15 32 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 3245671 25577 1111 161622222929 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】原式 1111111111111 255771111161622222929 1 2 【答案】 1 2 【例 4】【例 4】 计算：计算： 11111111 () 128 8244880120168224288 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】101 中学 【解析】【解析】原式 1111 128 24466 816 18 （） 1111111 128 224461618 （） 11 64 218 （） 4 28 9 【答案】 4 28 9 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 11111111 612203042567290 _ 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】【解析】根据裂项性质进行拆分为： 11111111 612203042567290 11111111 2334455667788 99 10 112 = 2105 【答案】 2 5 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 111111 1 3610152128 【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】原式 1111 1 1212312341234567 222 1 233478 1111111 2 2233478 1 21 8 7 4 【答案】 7 4 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 111111111 2612203042567290 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】原式 111111111 () 22334455667788 99 10 1111111 () 22334910 111 () 2210 1 10 【答案】 1 10 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 11111 104088154238 。
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】原式 11111 255 88 1111 1414 17 11111111111 3255881111141417 1115 321734 【答案】 5 34 【例 5】 计算：【例 5】 计算： 1111 1 3 53 575792001 20032005 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】原式 1111111 41 33 53 5572001 200320032005 1111004003 41 32003200512048045 【答案】 1004003 12048045 【例 6】【例 6】 7 4.50.16 1111 18 1 3153563 133.75 3.2 3 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】【解析】原式 79161 1111 18290 1 1 33 55779 133 1.2540.8 3 71 111111 46 1 1 233579 1312 3 46318 24429 23 = 36 【答案】 23 36 【例 7】【例 7】 计算：计算： 11111 123420 261220420 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】小数报，初赛 【解析】【解析】原式 11111 12320 261220420 11111 210 1 22334452021 1111111 2101 223342021 120 2101210 2121 【答案】 20 210 21 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 11111 20082009201020112012 1854108180270 =。
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试 【解析】【解析】原式 11111 20082009201020112012 3 6699 1212 1515 18 1111111 20105 9122356 5 10050 54 【答案】 5 10050 54 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 11224 26153577 _ 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】原式 1325375117 26153577 111111111 2233557711 110 1 1111 【答案】 10 11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 1111111 315356399143195 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为： 2 3211 3 ， 2 15413 5 ， 2 19514113 15 ， 所以原式 1111111 1 33 557799 1111 1313 15 111111111 21323521315 111 2115 7 15 【答案】 7 15 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 1511192997019899 2612203097029900 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】四中 【解析】【解析】原式 1111 1111 26129900 111 99 1 22399 100 11111 991 22399100 1 991 100 1 98100 【答案】 1 98100 【例 8】【例 8】 111 1 2323478 9 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】首先分析出 111111 11211211 nn nnnnnnnnnn 原式 111111111 21 22323346778788 9 111 21 28 9 35 144 【答案】 35 144 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 111 1 2323498 99 100 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】原式 11111111 () 21 22323343498 9999 100 111149494949 () 21 299 1002990019800 【答案】 4949 19800 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 1111 1 3 52463 57202224 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 3 5 1 3 57 + 1 1921 23 + 1 246 + 1 202224 1 4 ( 1 1 3 1 21 23 ) 1 4 ( 1 24 1 2224 ) 40 483 65 2112 28160 340032 10465 340032 38625 340032 【答案】 38625 340032 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 4444 . 1 3 53 5793 95 9795 9799 【考点】分数裂项【难。