第2章受压构件的稳定2.1轴心受压构件的稳定轴心压杆就其自身的截面形状和尺寸而言，有较长细的杆，也有较中短的杆, 这可用长细比2 = /0//^表达对于长细比大的长细压杆，可以认为是在弹性范围 内失稳；对于长细比小的中短杆件，则可能是在弹塑性范围内失稳因此，应该 分别按弹性范围和弹塑性范围来分析理想轴心压杆的临界荷载理想轴心压杆的弹性稳定用理想轴心压杆的欧拉荷载七除以杆件的截面积A,可得轴心压杆欧拉临界 应力=强，式中，为回转半径，i =由此可计算出应力值"A (/0/z)222V A为材料比例极限叫时的长细比右，并以此作为长细杆和中短杆的分界；压杆的长 细比大于人“时称为长细杆或大柔度杆，长细比小于人「时称为中短杆或小柔度杆对于理想轴心压杆来说，长细杆是在弹性范围内工作的，所以压杆的稳定分 析为弹性稳定问题通过弹性压杆的静力平衡条件，可以建立理想轴心压杆的平衡 微分方程式，解平衡微分方程则可求得轴心压杆的临界荷载下面来看几个边界 条件不同的理想轴心压杆的弹性稳定分析1) —端固定一端钗接的压杆图2-1 一端固定一端钗接压杆(1)用静力法求解如图2—1所示-•端固定一端饺接的等截面轴心受 压弹性直杆，设其己处于新的曲线平衡形式，则取任 意截面的弯矩为M =-Py+Q(l -x)式中Q为上端支座反力。
由M=-EIy\压杆挠曲线 的平衡微分方程为：Efyn = -Py+Q(l-x)短压杆的稳定分析属非弹性稳定问题2）切线模量理论假设理想轴心压杆失稳时为小变形， 仍用），"代表曲率，且压杆横截面变形后仍 为平面随着轴向荷载的增加，如图2 — 6 所示，当压杆中应力达到叫以后，应力一 应变曲线将不是直线，其斜率为变量，记 作—= Et. &称为切线模量，其值随着 de应力的变化而变化，己经不再是常量图2-6切线模量理论切线模量理论就是假定当轴心压杆的临界应力世超过了 bp时，其弹性模量E应以相应于该的切线模量E来代替于是，压杆截面上的内力矩应用-片如”代 替-邛〃，从而导出非弹性状态的临界荷载，如在两端饺接的轴心压杆中jr2E IP, =—^-（2.32）I2由于式（2.32）中&是一个变量，具体应用时应把式（8.32）写成 （，,），=号=零（2.33）并据此画出0、）-义曲线必须注意，绘制（qj,-2曲线时，由于要利用材料的 应力一应变曲线来确定因此，所得曲线只能适用于某一种特定的材料在轴心压杆中直接应用切线模量公式是困难的，因此，常用熟知的抛物线公 式来模拟说明切线模量理论设抛物线有下列形状acr = a-b^（2.34）cr(2.35)式（2.34）中。
和b是常数，由轴心压杆的实际条件确定显然当人=0时，" 洋％时，JU，于是可以确定常数“和b考虑至则式（2. 34）为这就是轴心压杆非弹性失稳的抛物线公式, 非弹性阶段的柱子曲线3）双模量理论（折算模量理论）双模量理论认为当轴心受压杆件弯 曲失稳时，压杆外凸一侧纤维的应力是 降低的，相当于卸载，故弹性模量应取 E,如图2-7所示；而在压杆内凹一侧纤 维的应力是增加的，此时弹性模量应是 El0由于E和R是不相等的，所以压杆 截面的中性轴将不与形心轴相重合，这 与轴心压杆弹性失稳和切线模量理论的 结论不同折算模量的表达式如下这就是轴心压杆非弹性失稳的抛物线公式, 非弹性阶段的柱子曲线3）双模量理论（折算模量理论）双模量理论认为当轴心受压杆件弯 曲失稳时，压杆外凸一侧纤维的应力是 降低的，相当于卸载，故弹性模量应取 E,如图2-7所示；而在压杆内凹一侧纤 维的应力是增加的，此时弹性模量应是 El0由于E和R是不相等的，所以压杆 截面的中性轴将不与形心轴相重合，这 与轴心压杆弹性失稳和切线模量理论的 结论不同折算模量的表达式如下只要知道材料的E、七,和q即可得到图2-7双模量理论(2. 36)式中：I一为整个压杆截面对形心轴的惯性矩；L和L分别为压杆中性轴以右和以左的截面对中性轴的惯性矩。
在折算模量E『中包含了 E和如 这样临界荷载为临界应力为(%)="堕这个理论就称为双模量理论的大小不仅与压杆材料的应力一应变曲线有关，还与压杆的截面形状有关对于矩形截面折算模量为对于理想工字形截面折算模量为由于E>Er>E,f故PE>Pr>P[O双模量理论曾一度被认为更为完善，但实验证明切线模量理论所得临界荷载R更接近实验结果；“香雷理论”也证明了后者的可靠性2.2初始缺陷对临界荷载的影响工程实际中的压杆，总存在着初弯曲、初偏心或残余应力等初始缺陷，因而 理想轴心受压杆件在工程实际中是不存在的2.2. 1初弯曲的影响如图2-8所示，两端皎接压杆的形心轴在加载之前就己经弯曲，假设其初弯曲的形状为c . 7TX.>o=y()sinY若加载后附加挠度为），，则荷载产生的弯Illi应变应由曲率），”变化引起，而不是由总曲率勇+引起由静力平衡条件，X截面处的内力矩等于外力矩，得由Jo = /osiny和*=$,则），〃 + C = *席sin 苧方程（2.37）的齐次通解为yc = Asin kx+ B cos kxyp = Csin^ + Deos—将式（2.39）代入式（2.37）,合并同类项，可得特解为(2. 37)(2. 38)图2—8初弯曲轴压杆(2. 39)原始形状 变形后形状cos71Xy = 0对于一切X值，仅当正弦项和余弦项前的系数都为零时，上式才能满足。
因此£) = 0 或 k~ =tt2/I2八 八) L Jo nk c ====(-)2-1 生—1 1-1kl P 〃/o式中，i = P/Pe , Pe为欧拉荷载如果取声=勿2/尸，则y的解将局限为4,=/以〃2,不是所要研究的，因此必须D = 0,由此可得y = yc + yp = Asin kx+ Bcoskx+ ?sin 号(2.40)A和B由边界条件确定当工=0时，y = 0,可得当x = l时，y = 0,可得Asin姐=0,应取 A = 0o(2.41)(2.42)y = T-^-/osinYi 一〃 /压杆总的挠度为Z1 " 、£ •心 1 r . 7Di从而压杆中点（x = 〃2处）的总挠度为人 ~\-PIPE上式表明了荷载P与位移5之间的关系图2 — 9是表示这种关系的P—3曲线,从图2-9中可以看到初弯曲降低了轴心压杆的承 载力初弯曲轴压杆的特性是：一旦施加荷载，压杆 即产生弯曲，在P—$曲线图中，曲线的起始点不 在原点初弯曲人越大，压杆中点的挠度5也越大, 承载能力的降低也越显著由于材料不是无限弹性 的，图中曲线只在SV//10时才有效，而且有初弯 曲的轴压杆的承载力总是小于欧拉应力Pe。
2. 2.2初偏心的影响现在讨论具有初始偏心的两端皎接压杆，如图2-10所示，在压杆任意截面 处，使抵抗力矩-％，”和相应的外力矩Py相等，可得-Ely" = PyP令炉=2_,则E1)，〃 + * = ()其通解为y = Asm 奴 + Bcoskx由压杆边界条件：工=干〃2时，），*o可得A=0, B =coskl/2y = —————cos奴=乌、sec—cos奴cosA〃2°2在压杆中点x = 0处）4 =时与=妒吒瞻）由上式可得压杆中点的最大挠度为-1S =为期(2. 45)(2.43)(2. 44)y图2—10初偏心轴压杆上式表明了荷载P与位移$之间的关系 图2-11是表示这种关系的P—3曲线，从图 2-11中可以看到初偏心降低了轴心压杆的 承载力这与初弯曲情况相近，图中曲线②的 初偏心e（）大于曲线①的初偏心e（）o2. 2.3残余应力的影响钢质杆件在制造和加工过程中，由于局部的塑性变形、不均匀冷却和冷加工 等的影响，在未受到荷载作用之前，杆件截面上已残留有自相平衡的应力，这种 应力称为残余应力残余应力可以通过实际测量获得，热轧型钢中残余应力的 分布主要取决于截面的儿何形状和各部分尺寸的比例。
图2-12示出了工字形截 面翼缘的残余应力残余应力的存在对压杆的临界荷载有影响，当压杆失稳时的平均应力 P/A = cr小于有效比例极限b,时，压杆为弹性状态，其临界应力与无残余应力时 的相同而当平均应力b大于有效比例极限时，压杆截面将出现塑性区，此时 压杆能抵抗弯曲变形的只是杆件截面弹性区的材料以图2-12中工字形截面压■)0图2-12工字形截面翼缘的残余应力杆为例，由于翼缘出现了塑性区，截面的有效惯性矩将只是截面弹性区的惯性矩L，此时压杆的临界荷裁为临界应力为(2. 46)2(2. 47)式中：Ie/I-为压杆临界荷载的折减系数，下面讨论工字形截面轴压杆件残余应力对压杆临界荷载的影响，首先计算折减系数当压杆失稳时，假设压杆绕强轴(X轴)弯曲时绕强轴(X轴)弯曲时2beth2 /242bt/r/2 = T = f(2. 48)绕弱轴(y轴)弯曲时绕弱轴(y轴)弯曲时仙4*(2.49)式中：A一为压杆截面积；1—为压杆弹性部分的截面积于是压杆的临界应力为绕强轴弯曲时绕弱轴弯曲时绕弱轴弯曲时£e 3aer = ~T由于r
丁是的函数，丁与之间的关系为(2. 50)(2. 50)务(1 ■冬)? %将式(8. 50)代入式(8. 48)和式(8. 49),则绕强轴弯曲时绕强轴弯曲时7r2E\ a务(1_£^L)(2.51a)绕弱轴弯曲时acr =△(1_冬(rr(2. 51b)根据式(2.51)即可用试算法确定计入残余应力影响时轴压杆的临界应力通过上面的分析可知，残余应力将降低压杆的刚度，其原因是由于残余应力 的存在，压杆的部分翼缘提前屈服，使压杆截面只有弹性部分能够继续承载残 余应力也将降低承载力，压杆的承载力降低多少取决于〃比值的大小残余应 力的影响与杆件的截面形状、弹塑性区各部尺寸的比值、残余应力模式及峰值、 失稳的方向等有关，长细比较小的钢质压杆应该考虑残余应力的影响2.3轴心压杆的扭转失稳上面所讨论的都是轴心压杆的弯曲失稳问题，即当轴心压杆失稳后只出现弯 曲变形一般对于双轴对称界面的轴心压杆，失稳时可能绕截面的两个对称轴发 生弯曲屈曲，但是有些抗扭刚度和抗翘曲刚度较弱的轴心压杆，除了有可能发生 绕对称轴x或y的弯曲失稳外，还有可能发生绕截面纵轴z转动的扭转失稳对于单轴对称截面的轴心压杆，除了可能发生绕截面的非对称轴x发生弯曲 失稳外，还可能在绕截面的对称轴y弯曲的同时，又绕通过截面剪心s的纵轴扭 转而发生弯扭失稳。
对于截面不具有对称轴的轴心压杆，因为截面的形心和剪心 不重合，则只可能发生弯扭失稳因此，在分析轴心压杆的稳定问题时，除了要 研究其弯曲失稳之外，还必须考虑压杆有无发生扭转失稳和弯扭失稳的可能性2. 3. 1截面的剪力中心截面的形心c与剪心s是杆件截面上的两个点剪心即剪力中心，它是内力剪力在截面上通过的点，即主扇性极点剪心的位置与截面的对称轴有关，截 *3 面有对称轴时，剪切内力通过对称轴，因此截面的剪心必然在对称轴上双轴对称图 2-12截面的杆件，剪心在两对称轴的交。