机械制图及AutoCAD绘图第3章机械制图投影基础课件

u学习目标学习目标 Ø掌握平行投影的基本性质掌握平行投影的基本性质Ø理解三视图的形成原理和投影规律理解三视图的形成原理和投影规律  Ø掌握点、直线和平面的投影规律掌握点、直线和平面的投影规律3.1 3.1 投影法的基本知识投影法的基本知识3.1.1 3.1.1 投影法的基本知识投影法的基本知识如图如图3-13-1（（a a）所示，表示灯光照射空间物体的）所示，表示灯光照射空间物体的投影情况投影情况点点S S称为投影中心，称为投影中心，SASA、、SBSB、、SCSC、、SDSD称为投影称为投影线，平面线，平面P P称为投影面延长称为投影面延长SASA、、SBSB、、SCSC、、SDSD与投影面与投影面P P相交，其交点相交，其交点a a、、b b、、c c、、d d称为点称为点A A、、B B、、C C、、D D在投影面在投影面P P上的投影上的投影这种用投影线将物体投影在投影面上得到物体这种用投影线将物体投影在投影面上得到物体投影的方法，称为投影法投影的方法，称为投影法1 1．中心投影法．中心投影法投影线都是从一点发出的投影方法称为中心投影线都是从一点发出的投影方法称为中心投影法，如图投影法，如图3-13-1（（a a）所示。

所示用这种方法所得到的投影，称为中心投影用这种方法所得到的投影，称为中心投影图图3-1 两种投影法两种投影法2 2．平行投影法．平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法，如投影线相互平行的投影法称为平行投影法，如图图3-13-1（（b b）所示用平行投影法得到的投影，）所示用平行投影法得到的投影，称为平行投影称为平行投影根据投影方向与投影面是否垂直，平行投影法根据投影方向与投影面是否垂直，平行投影法又分为斜投影法和正投影法又分为斜投影法和正投影法斜投影法斜投影法————投影线与投影面相倾斜的平行投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图投影法，如图3-23-2（（a a）所示正投影法正投影法————投影线垂直于投影面的平行投投影线垂直于投影面的平行投影法，如图影法，如图3-23-2（（b b）所示图图3-2 平行投影法平行投影法3.1.2 3.1.2 正投影的基本性质正投影的基本性质如图如图3-33-3、图、图3-43-4和图和图3-53-5所示，直线或平面所示，直线或平面与投影面有平行、垂直和倾斜与投影面有平行、垂直和倾斜3 3种相对位置种相对位置关系，它们的投影分别具有如下特性。

关系，它们的投影分别具有如下特性1 1．真实性．真实性2 2．积聚性．积聚性3 3．类似性．类似性图图3-3 正投影的真实性正投影的真实性图图3-5 正投影的类似性正投影的类似性3.2 3.2 三视图的形成及投影规律三视图的形成及投影规律三视图是多面投影，是将物体向三个相互垂直的三视图是多面投影，是将物体向三个相互垂直的投影面作正投影所得到的一组图形投影面作正投影所得到的一组图形3.2.1 3.2.1 三视图的形成三视图的形成在三投影面体系中可得到物体的在三投影面体系中可得到物体的3 3个视图，即正个视图，即正面投影称为主视图、水平面投影称为俯视图、侧面投影称为主视图、水平面投影称为俯视图、侧面投影称为左视图，如图面投影称为左视图，如图3-63-6所示图图3-4 正投影的积聚性正投影的积聚性面体系中，三投影面分别称为正立投影面面体系中，三投影面分别称为正立投影面（简称正面，用字母（简称正面，用字母V V表示），水平投影面表示），水平投影面（简称水平面，用字母（简称水平面，用字母H H表示）、侧立投影表示）、侧立投影面（简称侧面，用字母面（简称侧面，用字母W W表示）。

表示）两投影面的交线称为投影轴，两投影面的交线称为投影轴，V V面与面与H H面的交面的交线为线为X X投影轴，投影轴，W W面与面与H H面的交线为面的交线为Y Y投影轴，投影轴，V V面与面与W W面的交线为面的交线为Z Z投影轴三根投影轴线的交点称为原点，用字母三根投影轴线的交点称为原点，用字母O O表表示国家标准规定：国家标准规定：V V面必须保持不动，面必须保持不动，H H面绕面绕X X轴轴向下旋转向下旋转9090°°，，W W面绕面绕Z Z轴向右旋转轴向右旋转9090°°，如，如图图3-63-6（（b b）所示，从而将三视图摊在一个平）所示，从而将三视图摊在一个平面上，如图面上，如图3-63-6（（c c）所示去掉投影面边框线，规定投影轴不画，从而去掉投影面边框线，规定投影轴不画，从而得到物体的三视图，如图得到物体的三视图，如图3-63-6（（d d）所示图图3-6 三视图的形成三视图的形成3.2.2 3.2.2 三视图的投影规律三视图的投影规律1 1．三视图的配置关系．三视图的配置关系以主视图为基准，俯视图放在主视图的正下以主视图为基准，俯视图放在主视图的正下方，左视图放在主视图的正右方。

如图方，左视图放在主视图的正右方如图3-3-6 6（（d d）所示2 2．物体的方位与三视图的对应关系．物体的方位与三视图的对应关系物体都有上下、左右、前后物体都有上下、左右、前后6 6个方位，物体的个方位，物体的三视图及投影规律如图三视图及投影规律如图3-73-7所示从图从图3-83-8可看出，主视图反映物体的上、下、可看出，主视图反映物体的上、下、左、右；俯视图反映物体的左、右、前、后；左、右；俯视图反映物体的左、右、前、后；左视图反映物体的前、后、上、下左视图反映物体的前、后、上、下3 3．投影规律．投影规律三视图反映了物体三视图反映了物体3 3个视图之间的度量关系，个视图之间的度量关系，其中，主视图和俯视图的长度相等；主视图和其中，主视图和俯视图的长度相等；主视图和左视图的高度相等；俯视图和左视图的宽度相左视图的高度相等；俯视图和左视图的宽度相等这就是三视图的投影规律，画图时要符合这就是三视图的投影规律，画图时要符合““长长对正、高平齐、宽相等对正、高平齐、宽相等””的投影规律的投影规律图图3-7 物体的三视图及投影规律物体的三视图及投影规律  图图3-8 三视图的位置方位关系三视图的位置方位关系 【例【例3-13-1】】 画出图画出图3-93-9所示的三视图。

所示的三视图  解：解： 物体是由一块右端上面切去了一个角物体是由一块右端上面切去了一个角的弯板和一个三棱柱叠加而成为能清楚地的弯板和一个三棱柱叠加而成为能清楚地表达物体的形状和结构，尽可能避免使用虚表达物体的形状和结构，尽可能避免使用虚线，选用图线，选用图3-93-9所示方向为主视图的投影方所示方向为主视图的投影方向图图3-9 轴测图轴测图根据三等关系，画弯板的三视图，如图根据三等关系，画弯板的三视图，如图3-103-10（（a a））所示；根据三等关系，画三棱柱的三视图，如图所示；根据三等关系，画三棱柱的三视图，如图3-103-10（（b b）所示；先从左视图入手，画切角的三面）所示；先从左视图入手，画切角的三面投影，注意三等关系，如图投影，注意三等关系，如图3-113-11（（a a）所示；检查、）所示；检查、整理图线、加深粗实线，完成全图，如图整理图线、加深粗实线，完成全图，如图3-113-11（（b b））所示图图3-10 三视图的作图方法和步骤三视图的作图方法和步骤图图3-11 三视图的作图方法和步骤三视图的作图方法和步骤3.3 3.3 点点 的的 投投 影影3.3.1 3.3.1 点的投影特点点的投影特点空间点的投影仍为一个点。

空间点的投影仍为一个点如图如图3-123-12所示，将点所示，将点A A置于三投影面体系中置于三投影面体系中分别向投影面分别向投影面V V、、H H、、W W作正投影，就是过作正投影，就是过A A点点分别向投影面分别向投影面V V、、H H、、W W作垂线所得到的垂足，作垂线所得到的垂足，如图如图3-123-12（（a a）所示三投影面体系展开后，点的三投影面体系展开后，点的3 3个投影在同一个投影在同一平面内，得到了点的三面投影图应注意的平面内，得到了点的三面投影图应注意的是：投影面展开后，同一是：投影面展开后，同一Y Y轴旋转后出现了轴旋转后出现了两个位置两个位置图图3-12 点的三面投影点的三面投影为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如如A A、、B B、、C C等；水平投影用相应的小写字母表等；水平投影用相应的小写字母表示，如示，如a a、、b b、、c c等；正面投影用相应的小写字等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如母加撇表示，如a a 、、b b 、、c c 等；侧面投影用等；侧面投影用相相应的小写字母加两撇表示，如应的小写字母加两撇表示，如a a 、、b b 、、c c 等。

等3.3.2 3.3.2 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有唯一的投影上有唯一的投影但已知点的一个投影，不能唯一确定点的空但已知点的一个投影，不能唯一确定点的空间位置，至少需要两个投影间位置，至少需要两个投影如图如图3-133-13（（a a）所示，在由）所示，在由V V、、H H两互相垂直两互相垂直的投影面形成的两面体系中，过空间点的投影面形成的两面体系中，过空间点A A作作投影线分别垂直于投影线分别垂直于V V、、H H两面，得出点两面，得出点A A的的V V面面投影投影a a  和和H H面投影面投影a a投影线AaAa  和和AaAa所所决定的平面与决定的平面与V V面和面和H H面垂直相交，交线分别面垂直相交，交线分别是是a a a ax x和和aaaax x，因此，因此∠∠a a a ax xx x= =∠∠aaaax xx x=90=90°°将将V V、、H H两投影面展开后，这两个直角保持不两投影面展开后，这两个直角保持不变，合起来等于变，合起来等于180180°°，即，即a a a ax xa a成为一条成为一条垂直于坐标轴垂直于坐标轴X X的直线，这里把的直线，这里把a a 与与a a的连的连线称为投影连线，如图线称为投影连线，如图3-133-13（（b b）所示。

投）所示投影面的边框对作图没有作用，略去不画，得影面的边框对作图没有作用，略去不画，得到空间点到空间点A A在两投影面体系中的投影，如图在两投影面体系中的投影，如图3-133-13（（c c）所示图图3-13 点在两面投影体系中的投影点在两面投影体系中的投影由上图可知：由上图可知：AaaAaax x a a 组成一长方形，组成一长方形，Aa= Aa= a a  a ax x，，AaAa = = aa aax x 点的两面投影图的投影规律：点的两面投影图的投影规律： （（1 1）点在两个投影面上的投影连线，垂直）点在两个投影面上的投影连线，垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴；于该两投影面的交线，即垂直于投影轴； （（2 2）点的投影到投影轴的距离等于空间点）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离到相应投影面的距离3.3.3 3.3.3 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影将点将点A A放在三投影面体系中分别向放在三投影面体系中分别向3 3个投影面个投影面V V、、H H、、W W作正投影，即过作正投影，即过A A点分别向点分别向V V面、面、H H面、面、W W面作垂线所得到的垂足。

面作垂线所得到的垂足如图如图3-143-14（（a a）所示，）所示，V V面不动，面不动，H H面和面和W W面沿面沿Y Y轴分开，水平面轴分开，水平面H H和水平投影一起绕和水平投影一起绕X X轴往轴往下旋转与正面下旋转与正面V V重合；侧面重合；侧面W W连同侧面投影一连同侧面投影一起绕起绕Z Z轴往右旋转与正面轴往右旋转与正面V V重合得到展开后的重合得到展开后的投影图，如图投影图，如图3-143-14（（b b）所示原有的原有的Y Y轴分成轴分成Y YH H和和Y YW W两轴在点的投影图中一两轴在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称常见的投影图如图常见的投影图如图3-143-14（（c c）所示由上图可知：由上图可知：AaaAaax x a a  a az z a a a ay yO O组成一长方体，组成一长方体，a a  a a⊥⊥OxOx，，a a  a a ⊥⊥OzOz，，aaaaYHYH⊥⊥OYOYH H，，a a a aYWYW⊥⊥OYOYW W，，点点A A的三面投影有下列关系：的三面投影有下列关系：AaAa  = = a a a az z = a= ax xO O= = a a a ay yAaAa = = aa aax x = =a ay yO= aO= a  a az zAaAa= = a a a ax x = = a az zO= aO= a  a ay y图图3-14 点的三面投影点的三面投影综合以上分析可得到点的三面投影图的投影综合以上分析可得到点的三面投影图的投影规律。

规律 （（1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴点的投影连线垂直于相应的投影轴 （（2 2）点的投影到投影轴的距离反映该点到）点的投影到投影轴的距离反映该点到相应投影面的距离相应投影面的距离【例【例3-23-2】】 如图如图3-153-15（（a a）所示，已知点）所示，已知点A A的的V V面投影面投影a a 和和H H面的投影面的投影a a，求，求W W面投影面投影a a 解：解：过原点过原点O O作作4545°°线；过线；过a a作垂直于作垂直于Y YH H轴的直线与轴的直线与4545°°线相交，再过交点作垂直于线相交，再过交点作垂直于Y YW W轴的直线；轴的直线；过过a a 作垂直于作垂直于Z Z轴的直线与垂直于轴的直线与垂直于Y YW W轴的直线轴的直线相交于相交于a a ，即为所求，如图，即为所求，如图3-153-15（（b b）所示图图3-15 已知点的两面投影求第三面投影已知点的两面投影求第三面投影3.3.4 3.3.4 点的三面投影与直角坐标点的三面投影与直角坐标三面投影体系相当于直角坐标体系，以投影面三面投影体系相当于直角坐标体系，以投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，为坐标面，投影轴为坐标轴，O O为坐标原点，为坐标原点，则空间一点则空间一点A A至三个投影面的距离便是至三个投影面的距离便是A A点的坐点的坐标标x x、、y y、、z z，如图，如图3-173-17所示。

因此，点的投影所示因此，点的投影与点的坐标有如下关系：与点的坐标有如下关系：A A点到点到W W面的距离面的距离 点点 的的x x坐标坐标A A点到点到V V面的距离面的距离 点点 的的y y坐标坐标A A点到点到H H面的距离面的距离 点点 的的z z坐标坐标图图3-17 点的投影与直角坐标点的投影与直角坐标由上述关系可知，由上述关系可知，A A点的正面投影点的正面投影a a 由由x x、、z z坐标确定，水平投影坐标确定，水平投影a a由由x x、、y y坐标确定，侧坐标确定，侧面投影面投影a a 则由则由y y、、z z坐标确定，并且点的任坐标确定，并且点的任何两个投影都反映了点的三个坐标值何两个投影都反映了点的三个坐标值因此，若已知点的坐标因此，若已知点的坐标x x、、y y、、z z，便可作出，便可作出该点的投影图；反之，已知点的两个投影图，该点的投影图；反之，已知点的两个投影图，也就唯一地确定了该点的坐标值也就唯一地确定了该点的坐标值。

【例【例3-43-4】】 已知点已知点B B距距V V、、H H、、W W三个投影面的三个投影面的距离分别为距离分别为1010、、2020、、1515，求点，求点B B的三面投影的三面投影图图3-18 已知点的空间位置求点的三面投影已知点的空间位置求点的三面投影解：解：根据空间点位置和坐标关系，可判定根据空间点位置和坐标关系，可判定B B点的坐点的坐标为（标为（1515，，1010，，2020）由点的投影与坐标的）由点的投影与坐标的关系，在关系，在X X轴上向右取轴上向右取x x=15=15，得，得bxbx，如图，如图3-3-1818（（a a）所示；过）所示；过bxbx作作X X轴的垂线，上下分别轴的垂线，上下分别取取z z=20=20、、y y=10=10得得b b 和和b b，如图，如图3-183-18（（b b）所示；）所示；最后根据点的投影规律，作出侧面投影最后根据点的投影规律，作出侧面投影b b ，，如图如图3-183-18（（c c）所示3.3.5 3.3.5 特殊位置点的投影特殊位置点的投影空间点相对于投影面除一般位置点外，还有空间点相对于投影面除一般位置点外，还有以下三种特殊位置的点。

以下三种特殊位置的点 （（1 1）投影面上的点：如图）投影面上的点：如图3-193-19所示的所示的B B点和点和C C点 （（2 2）投影轴上的点：如图）投影轴上的点：如图3-193-19所示的所示的D D点 （（3 3）与原点重合的点：点的三个坐标为零，）与原点重合的点：点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合三个投影都与原点重合图图3-19 特殊位置的点特殊位置的点3.3.6 3.3.6 两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置是指空间两个点的左右、上两点的相对位置是指空间两个点的左右、上下、前后的关系下、前后的关系两点在空间的相对位置由两点的坐标差来确两点在空间的相对位置由两点的坐标差来确定1 1．判断两点相对位置．判断两点相对位置空间两点左右相对位置由正面和水平投影判空间两点左右相对位置由正面和水平投影判断，由断，由X X坐标大小来确定；上下相对位置由正坐标大小来确定；上下相对位置由正面和侧面投影判断，由面和侧面投影判断，由Z Z坐标大小确定；前后坐标大小确定；前后相对位置由水平投影和侧面投影判断，由相对位置由水平投影和侧面投影判断，由Y Y坐坐标大小确定标大小确定。

lΔΔx x（（X X轴方向坐标差）轴方向坐标差）= =x xB B- -x xA A，确定两点左，确定两点左右相对位置；右相对位置；lΔΔy y（（Y Y轴方向坐标差）轴方向坐标差）= =y yB B- -y yA A，确定两点前，确定两点前后相对位置；后相对位置；lΔΔz z（（Z Z轴方向坐标差）轴方向坐标差）= =z zB B- -z zA A，确定两点上，确定两点上下相对位置下相对位置lΔΔx x、、ΔΔy y、、ΔΔz z为正时，点为正时，点B B分别在基准点分别在基准点A A的左方、前方、上方；为负时，点的左方、前方、上方；为负时，点B B分别在分别在基准点基准点A A的右方、后方、下方的右方、后方、下方图图3-20 两点的相对位置两点的相对位置2 2．重影点及可见性判断．重影点及可见性判断如果空间两点位于某一投影面的同一条投影如果空间两点位于某一投影面的同一条投影线上，则这两点在该投影面上的投影就会重线上，则这两点在该投影面上的投影就会重合为一点，称之为对该投影面的重影点合为一点，称之为对该投影面的重影点如图如图3-213-21所示，所示，A A、、B B两点的两点的x x、、y y坐标分别相坐标分别相等，而等，而z z坐标不等，从而它们的水平投影重坐标不等，从而它们的水平投影重合为一点，称之为对合为一点，称之为对H H面的重影点。

面的重影点图图3-21 重影点重影点类似地，也会有类似地，也会有V V面重影点和面重影点和W W面重影点面重影点重影点需判断点的可见性对于某面重影点，重影点需判断点的可见性对于某面重影点，规定距该面距离较远，即坐标值大者为可见；规定距该面距离较远，即坐标值大者为可见；反之，为不可见反之，为不可见如图如图3-213-21所示，因为所示，因为z zA A> >z zB B，故水平投影上，故水平投影上a a可见，可见，b b不可见当需要表明可见性时，应对不可见点的投影当需要表明可见性时，应对不可见点的投影加上括号加上括号3.3.7 3.3.7 综合实例综合实例 【例【例3-53-5】】 如图如图3-223-22（（a a）所示，已知点）所示，已知点A A的三面投影，点的三面投影，点B B在其右方在其右方1414，上方，上方1212，前，前方方8 8，作其投影图作其投影图图图3-22 两点相对位置图两点相对位置图解：解：在在X X轴上自轴上自a ax x往右量往右量1414得点得点b bx x；过；过b bx x作作X X的垂线，的垂线，沿沿OZOZ方向量方向量ΔΔZ Z=12=12，得点，得点b b ；沿；沿Y Y方向量方向量ΔΔY Y=8=8，得点，得点b b，如图，如图3-223-22（（b b）所示。

根据已知点）所示根据已知点b b、、b b 求得求得b b ，如图，如图3-223-22（（c c）所示3.4 3.4 直线的投影直线的投影直线的空间位置由直线上任意两点决定画直直线的空间位置由直线上任意两点决定画直线的投影图时，根据线的投影图时，根据““直线的投影一般仍是直直线的投影一般仍是直线线””的性质，可在直线上任取两点，一般取其的性质，可在直线上任取两点，一般取其两个端点，画出它们的投影，再把它们各组同两个端点，画出它们的投影，再把它们各组同面投影连接起来，即得到直线投影面投影连接起来，即得到直线投影3.4.1 3.4.1 直线的投影特点直线的投影特点直线的投影仍为直线，两点可以唯一确定一直线的投影仍为直线，两点可以唯一确定一直线，所以在绘制直线的投影图时，只要作直线，所以在绘制直线的投影图时，只要作出直线上任意两点的投影，然后连接这两点出直线上任意两点的投影，然后连接这两点的同面投影，即得直线的三面投影的同面投影，即得直线的三面投影直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角其对H H面的倾角用面的倾角用 表示，对表示，对V V面的倾角用面的倾角用 表示，对表示，对W W面的倾角用面的倾角用 表示，如图表示，如图3-243-24所示。

所示图图3-24 直线的投影直线的投影3.4.2 3.4.2 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性在三投影面体系中，按直线与投影面的相对在三投影面体系中，按直线与投影面的相对位置分有特殊位置直线（投影面平行线、投位置分有特殊位置直线（投影面平行线、投影面垂直线）和一般位置直线影面垂直线）和一般位置直线 （（1 1）与某个投影面平行，但与另外两投影面）与某个投影面平行，但与另外两投影面倾斜的直线，称为投影面平行线平行线可倾斜的直线，称为投影面平行线平行线可分为分为3 3种：种：l水平线水平线————平行于平行于H H面，同时与面，同时与V V面、面、W W面倾斜面倾斜的直线；的直线；l正平线正平线————平行于平行于V V面，同时与面，同时与H H面、面、W W面倾斜面倾斜的直线；的直线；l侧平线侧平线————平行于平行于W W面，同时与面，同时与V V面、面、H H面倾斜面倾斜的直线各种投影面平行线的投影特性如表各种投影面平行线的投影特性如表3-13-1所示水水 平平 线线正正 平平 线线侧侧 平平 线线立体图立体图表表3-1投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性水水 平平 线线正正 平平 线线侧侧 平平 线线三视图三视图投影图投影图投影特性投影特性（（1））水水平平投投影影反反映映实实长长，，即即bc=BC（（2））正正面面投投影影b c 平平行行于于X轴，侧轴，侧面投影面投影b c 平行于平行于YW轴轴（（3））水水平平投投影影与与X轴轴的的夹夹角等于该角等于该直直线线对对V面面的的倾倾角角 ，，与与YH轴轴的的夹夹角角等等于于该该直直线线对对W面的倾角面的倾角 （（1））正正面面投投影影反反映映实实长长，，即即a b =AB（（2））水水平平投投影影ab平平行行于于X轴轴，，侧侧面面投投影影a b 平平行行于于Z轴轴（（3））正正面面投投影影与与X轴轴的的夹夹角角等等于于该该直直线线对对H面面的的倾倾角角 ，，与与Z轴轴的的夹夹角角等等于于该该直直线线对对W面的倾角面的倾角 （（1））侧侧面面投投影影反反映映实实长，即长，即a c =AC（（2））水水平平投投影影ac平平行行于于 YH轴轴 ，， 正正 面面 投投 影影a c 平行于平行于Z轴轴（（3））侧侧面面投投影影与与YW轴轴的的夹夹角角等等于于该该直直线线对对H面面的的倾倾角角 ，，与与Z轴轴的的夹夹角角等等于于该该直直线线对对V面面的的倾角倾角 续表续表 （（2 2）与某个投影面垂直的直线，称为投影面垂）与某个投影面垂直的直线，称为投影面垂直线。

直线l铅垂线铅垂线————垂直于垂直于H H面，同时平行于面，同时平行于V V面、面、W W面面的直线；的直线；l正垂线正垂线————垂直于垂直于V V面，同时平行于面，同时平行于H H面、面、W W面面的直线；的直线；l侧垂线侧垂线————垂直于垂直于W W面，同时平行于面，同时平行于V V面、面、H H面面的直线各种投影面垂直线的投影特性如表各种投影面垂直线的投影特性如表3-23-2所示铅铅 垂垂 线线正正 垂垂 线线侧侧 垂垂 线线立体图立体图三视图三视图表表3-2投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性铅铅 垂垂 线线正正 垂垂 线线侧侧 垂垂 线线投影图投影图投影特性投影特性（（1））水水平平投投影影积积聚为一点，即聚为一点，即b(a)（（2））另另外外两两个个投投影影都都垂垂直直于于相相应应的的投投影影轴轴，，且且反反映映线线段段实实长长，，即即a'b'垂垂直直于于X轴轴，，a"b"垂垂直直 于于 YW轴轴 ，，a'b'=a"b"=AB（（1））正正面面投投影影积积聚聚为为一一点，即点，即a'(b') （（2））另另外外两两个个投投影影都都垂垂直直于于相相应应的的投投影影轴轴，，且且反反映映线线段段的的实实长长，，即即ab垂垂直直于于X轴轴，，a"b"垂垂直直于于Z轴轴，，Ab=a"b"=AB（（1））侧侧面面投投影影积积聚聚为为一一点，即点，即a"(b")（（2））另另外外两两个个投投影影都都垂垂直直于于相相应应的的投投影影轴轴，，且且反反映映线线段段的的实实长长，，即即ab垂垂直直于于YH轴轴，，a'b'垂垂直直于于Z轴轴，，ab=a'b'=AB续表续表 （（3 3）与三个投影面都倾斜的直线，称为一）与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。

般位置直线一般位置直线的投影特性如表一般位置直线的投影特性如表3-33-3所示直线的位置直线的位置直直 观观 图图投投 影影 图图一般位置直线一般位置直线投影特性投影特性（（1）三个投影均仍为直线，且都小于线段的实长）三个投影均仍为直线，且都小于线段的实长（（2））三三个个投投影影都都倾倾斜斜于于投投影影轴轴，，且且与与投投影影轴轴的的夹夹角角均均不不反反映映空间直线与投影面倾角的真实大小，如直观图中的空间直线与投影面倾角的真实大小，如直观图中的 1不等于不等于 表表3-3一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性3.4.3 3.4.3 一般位置直线的实长和对投影一般位置直线的实长和对投影面的倾角面的倾角特殊位置直线的投影反映直线的实长和与投特殊位置直线的投影反映直线的实长和与投影面的倾角影面的倾角一般位置直线的投影不能反映直线的真实长一般位置直线的投影不能反映直线的真实长度但是，可根据直线的两面投影求出直线的实但是，可根据直线的两面投影求出直线的实长及对各投影面的倾角下面介绍一种求一长及对各投影面的倾角下面介绍一种求一般位置直线的实长和倾角的方法般位置直线的实长和倾角的方法————直角三直角三角形法。

角形法1 1．直角三角形法的作图原理．直角三角形法的作图原理如图如图3-253-25所示，在四边形所示，在四边形ABbaABba中，过中，过A A点作点作ACAC// // abab，交，交BbBb于于C C，得，得RtRt△△ABCABC此时，ACAC= =abab；；BCBC= = BbBb−AaAa，即，即B B、、A A两端点与两端点与H H面的坐标差；斜边面的坐标差；斜边ABAB即即为实长；为实长；ABAB与与ACAC的夹角，就是的夹角，就是ABAB对对H H面的倾角面的倾角 2 2．直角三角形法的作图方法．直角三角形法的作图方法以以abab为一直角边，为一直角边， Z Z为另一直角边作一直角三角为另一直角边作一直角三角形，则斜边即为形，则斜边即为ABAB的实长，斜边与水平投影的夹的实长，斜边与水平投影的夹角为角为ABAB与与H H面的倾角面的倾角αα图图3-25 直角三角形法直角三角形法如图如图3-263-26所示，可用直角三角形法求直线所示，可用直角三角形法求直线ABAB的实长及直线的实长及直线ABAB与与V V面的倾角面的倾角同样，也可以通过直角三角形法求出直线相同样，也可以通过直角三角形法求出直线相对于对于W W面的倾角。

面的倾角直角三角形法的作图要领可总结如下直角三角形法的作图要领可总结如下图图3-26 直角三角形法求直线实长与倾角直角三角形法求直线实长与倾角 （（1 1）用直线在某一投影面上的投影长作为）用直线在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以直线的两端点对于该投影一条直角边，再以直线的两端点对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为直线的实长，斜边与投影长角形的斜边即为直线的实长，斜边与投影长之间的夹角即为直线与该投影面的夹角之间的夹角即为直线与该投影面的夹角  （（2 2）直角三角形法的四个要素即实长、投）直角三角形法的四个要素即实长、投影长、坐标差和直线对投影面的倾角已知影长、坐标差和直线对投影面的倾角已知四个要素中的任意两个，便可确定另外两个四个要素中的任意两个，便可确定另外两个如图如图3-273-27所示 （（3 3）各投影面直角三角形的四要素如表）各投影面直角三角形的四要素如表3-43-4所示图图3-27 直角三角形法的四要素直角三角形法的四要素直角三角形直角三角形倾倾 角角投投 影影坐坐 标标 差差实实 长长H面面 ab ZABV面面 a b  YABW面面 a b  XAB表表3-4各投影面直角三角形法的四要素各投影面直角三角形法的四要素   【例【例3-83-8】】 如图如图3-293-29（（a a）所示，已知直）所示，已知直线线ABAB的两面投影的两面投影abab和和a a b b ，求直线，求直线ABAB的实的实长及与水平面夹角长及与水平面夹角 的真实大小。

的真实大小图图3-29 直角三角形法的应用（二）直角三角形法的应用（二）分析：分析：以水平投影以水平投影abab和和 Z Z为两直角边构成直角三为两直角边构成直角三角形，其斜边是直线角形，其斜边是直线ABAB的实长，的实长，ΔΔZ Z的对角的对角反映直线与水平面夹角反映直线与水平面夹角 的真实大小，如图的真实大小，如图3-293-29（（b b）所示解：解：过点过点b b作直线作直线bBbB0 0垂直于垂直于abab；在；在bBbB0 0直线上量直线上量取取bBbB0 0= =ΔΔZ Z；连接；连接a a、、B B0 0，则，则aBaB0 0即为直线即为直线ABAB的实长，直角边的实长，直角边bBbB0 0所对的角即为所对的角即为 ，如图，如图3-293-29（（c c）所示3.4.4 3.4.4 直线上点的投影直线上点的投影直线上点的投影有以下特性直线上点的投影有以下特性l从属性从属性————直线上点的投影，必在直线的同直线上点的投影，必在直线的同面投影上；反之如果点的三面投影都在直线面投影上；反之如果点的三面投影都在直线的同面投影上，则该点在直线上的同面投影上，则该点在直线上。

如果点的投影不都在直线的投影上，则该点如果点的投影不都在直线的投影上，则该点一定不在直线上一定不在直线上l定比性定比性————不垂直于投影面的直线上的点，不垂直于投影面的直线上的点，分割直线段之比，在投影后仍保持不变分割直线段之比，在投影后仍保持不变l积聚性积聚性————垂直于投影面的直线上的点，投垂直于投影面的直线上的点，投影后积聚为一点影后积聚为一点如果点的各投影均在直线的各同面投影上，且如果点的各投影均在直线的各同面投影上，且分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在分割直线各投影长度成相同比例，则该点必在此直线上，如图此直线上，如图3-303-30（（a a）所示，点）所示，点C C在直线在直线ABAB上如图3-303-30（（b b）所示，点）所示，点C C不在直线不在直线ABAB上，上，点点D D在直线在直线ABAB上如图3-303-30（（c c）所示，点）所示，点C C在在直线直线ABAB上图图3-30 直线上的点直线上的点 【例【例3-103-10】】 已知直线已知直线ABAB的投影图如图的投影图如图3-3-3232（（a a）所示，试将直线）所示，试将直线abab分成分成2 2∶∶3 3的两段，的两段，求分点求分点C C的投影。

的投影解：解：如图如图3-323-32（（b b）所示，过）所示，过a a点作一直线点作一直线aDaD，并，并在此直线上以任意长度取在此直线上以任意长度取5 5等分，得端点等分，得端点B B，，在在aBaB上取第上取第2 2等分点等分点c c1 1，利用平行定比性质求，利用平行定比性质求得得cccc1 1，从而可求得，从而可求得C C的投影的投影c c 图图3-32 利用定比性确定直线上的点利用定比性确定直线上的点3.4.5 3.4.5 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况三种情况其中，平行、相交的两直线为同面直线，而其中，平行、相交的两直线为同面直线，而交叉两直线为异面直线交叉两直线为异面直线1 1．两直线平行．两直线平行两直线平行的投影特性为两直线的三个同面投影两直线平行的投影特性为两直线的三个同面投影分别相互平行如图分别相互平行如图3-333-33所示，如果所示，如果ABAB////CDCD，则，则abab////cdcd，，a a b b ////c c d d ，，a a b b ////c c d d 。

反之，反之，如果两直线的三个同面投影分别互相平行，则两如果两直线的三个同面投影分别互相平行，则两直线在空间上也一定互相平行直线在空间上也一定互相平行图图3-33 两直线平行两直线平行 【例【例3-123-12】】 如图如图3-363-36（（a a）所示，判断两）所示，判断两直线直线ABAB、、CDCD是否平行是否平行图图3-36 判断直线判断直线AB与与CD是否平行是否平行解：解：l方法一方法一作第三面投影，第三面投影仍平行，则作第三面投影，第三面投影仍平行，则ABAB与与CDCD平行，如图平行，如图3-363-36（（b b）所示l方法二方法二因为因为A A、、C C两点在两面投影中同向，且两点在两面投影中同向，且a a b b ：：c c d d = =abab：：cdcd，所以，所以ABAB与与CDCD平行，如图平行，如图3-363-36（（c c）所示l方法三方法三如图如图3-363-36（（d d）所示，连接）所示，连接ADAD、、BCBC，因为，因为ADAD与与BCBC相交，所以相交，所以A A、、B B、、C C、、D D 四点共面，四点共面，ABAB与与CDCD平行。

平行2 2．两直线相交．两直线相交相交两直线的所有同面投影都相交，其各同面相交两直线的所有同面投影都相交，其各同面投影的交点符合点的投影规律投影的交点符合点的投影规律如图如图3-373-37所示，所示，ABAB、、CDCD两直线相交于点两直线相交于点K K，即，即点点K K为为ABAB、、CDCD的共有点，的共有点，ABAB、、CDCD分别向分别向H H、、V V、、W W面投影时，其投影面投影时，其投影abab和和cdcd、、a a b b 和和c c d d 、、a a b b 和和c c d d 的交点的交点k k、、k k 、、k k 必是交点必是交点K K的的三面投影三面投影图图3-37 两直线相交两直线相交一般情况下，两直线在空间是否相交，根据一般情况下，两直线在空间是否相交，根据其两面投影就可以直接判断，如图其两面投影就可以直接判断，如图3-383-38所示但如果两直线中有一条直线平行于某一投影但如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则要综合其他已知条件加以判断面，则要综合其他已知条件加以判断图图3-38 两一般位置直线相交两一般位置直线相交 【例【例3-133-13】】 如图如图3-393-39（（a a）所示，直线）所示，直线ABAB与与CDCD在在V V面和面和H H面上的同面投影相交，试判断此面上的同面投影相交，试判断此两直线在空间是否相交。

两直线在空间是否相交解：解：l方法一方法一如图如图3-393-39（（b b）所示，求出侧面投影，虽然）所示，求出侧面投影，虽然a a b b 与与c c d d 相交，但交点不符合直线上点相交，但交点不符合直线上点的投影规律，故的投影规律，故ABAB与与CDCD两直线在空间不相交两直线在空间不相交图图3-39 两直线不相交两直线不相交l方法二方法二从投影图上可知，交点从投影图上可知，交点1 1 分线段分线段c c d d 之比不之比不等于交点等于交点1 1分线段分线段cdcd之比，即之比，即c c1 1：：1 1d d≠≠c c 1 1 ：：1 1 d d ，故，故ABAB与与CDCD两直线在空间不相交两直线在空间不相交3 3．两直线交叉．两直线交叉在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线交叉两直线的投影不具备平行或相交两直线交叉两直线的投影不具备平行或相交两直线的投影特性的投影特性如图如图3-403-40所示，交叉两直线的所有同面投影所示，交叉两直线的所有同面投影可能都相交，但它们的交点不符合点的投影可能都相交，但它们的交点不符合点的投影规律。

规律此时，两直线投影的交点实际上是两直线上此时，两直线投影的交点实际上是两直线上对投影面的重影点对投影面的重影点如图如图3-413-41所示，交叉两直线可能有一个或两所示，交叉两直线可能有一个或两个同面投影平行，但不会有个同面投影平行，但不会有3 3个同面投影平个同面投影平行图图3-40 交叉两直线的投影（一）交叉两直线的投影（一）【例【例3-143-14】】 如图如图3-423-42所示，判断直线所示，判断直线ABAB与与CDCD的相对位置的相对位置解：解：在在a a b b 和和c c d d 的相交处，定出的相交处，定出ABAB上的点上的点E E的正面投影的正面投影e e ；由；由a a任作一条直线，在其上任作一条直线，在其上量取量取a a1=1=a a e e 、、12=12=e e b b ；连接；连接2 2和和b b，作，作1 1e e//2//2b b，与，与abab交于交于e e，，e e即为点即为点E E的水平投影的水平投影因为因为e e不在不在abab和和cdcd的交点处，所以的交点处，所以ABAB与与CDCD交交叉图图3-41 交叉两直线的投影（二）交叉两直线的投影（二） 图图3-42 判断判断AB、、CD的相对位置的相对位置3.5 3.5 平面的投影平面的投影3.5.1 3.5.1 平面的投影特点平面的投影特点如图如图3-443-44所示为物体的三视图，每个视图都所示为物体的三视图，每个视图都是构成物体所有表面的投影集合。

是构成物体所有表面的投影集合物体的表面在视图中是一个线框、或是一条物体的表面在视图中是一个线框、或是一条直线三视图就是遵循三面投影规律，通过表达物三视图就是遵循三面投影规律，通过表达物体各表面的形状、彼此的相对位置来反映物体各表面的形状、彼此的相对位置来反映物体空间形状的体空间形状的不属于同一直线的三个点可确定一平面不属于同一直线的三个点可确定一平面一个平面的空间位置可通过不共线的三个点一个平面的空间位置可通过不共线的三个点的两面投影或三面投影来表示的两面投影或三面投影来表示作为物体表面的平面都是以平面图形来表示作为物体表面的平面都是以平面图形来表示的立体上平面的投影是由围成该平面的顶的立体上平面的投影是由围成该平面的顶点和边的投影确定的点和边的投影确定的图图3-44 物体表面的投影和物体三视图作图的关系物体表面的投影和物体三视图作图的关系图图3-44 物体表面的投影和物体三视图作图的关系（续）物体表面的投影和物体三视图作图的关系（续）3.5.2 3.5.2 平面表示法平面表示法在投影图中表示平面的方法有几何元素法和迹在投影图中表示平面的方法有几何元素法和迹线表示法线表示法。

1 1．几何元素法．几何元素法空间一平面可以用确定该平面的几何元素的投空间一平面可以用确定该平面的几何元素的投影来表示，确定平面的条件如下影来表示，确定平面的条件如下 （（1 1）不在同一直线上的三点，如图）不在同一直线上的三点，如图3-453-45（（a a））所示（（2 2）一直线和直线外一点，如图）一直线和直线外一点，如图3-453-45（（b b）所）所示3 3）相交的两条直线，如图）相交的两条直线，如图3-453-45（（c c）所示4 4）平行的两条直线，如图）平行的两条直线，如图3-453-45（（d d）所示（（5 5）任意的平面图形（即平面的有限部分，如）任意的平面图形（即平面的有限部分，如平面上的三角形、圆及其他封闭图形等）平面上的三角形、圆及其他封闭图形等）只要作出上面任意一组元素的投影，即可确定只要作出上面任意一组元素的投影，即可确定平面的投影，如图平面的投影，如图3-453-45（（e e）所示图图3-45 几何元素表示法几何元素表示法2 2．迹线表示法．迹线表示法如图如图3-463-46所示，平面与投影面的交线，称为平所示，平面与投影面的交线，称为平面的迹线，也可用迹线来表示平面。

用迹线表面的迹线，也可用迹线来表示平面用迹线表示的平面称为迹线平面示的平面称为迹线平面平面与平面与V V面、面、H H面、面、W W面的交线，分别称为正面面的交线，分别称为正面迹线（迹线（V V面迹线）、水平迹线（面迹线）、水平迹线（H H面迹线）和侧面迹线）和侧面迹线（面迹线（W W面迹线）面迹线）迹线的符号用平面名称的大写字母附加投影面迹线的符号用平面名称的大写字母附加投影面名称的注脚表示，如图名称的注脚表示，如图3-463-46中的中的P PV V、、P PH H、、P PW W图图3-46 迹线表示法迹线表示法3.5.3 3.5.3 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性图图3-47 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置1 1．一般位置平面．一般位置平面一般位置平面一般位置平面ABCABC对各个投影面都处于倾斜对各个投影面都处于倾斜的位置，所以各个投影面都不会积聚成直线，的位置，所以各个投影面都不会积聚成直线，也不反映平面的实形以及平面对投影面倾斜也不反映平面的实形以及平面对投影面倾斜角度的真实大小，各个投影都是空间原图形角度的真实大小，各个投影都是空间原图形的类似形。

的类似形在物体的投影中，常用几何元素表示物体上在物体的投影中，常用几何元素表示物体上的平面，如图的平面，如图3-483-48所示2 2．投影面垂直面．投影面垂直面平面垂直于一个投影面而对另外两个投影面平面垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜，称为投影面垂直面倾斜，称为投影面垂直面对不同的投影面，垂直面可分为铅垂面（垂对不同的投影面，垂直面可分为铅垂面（垂直于直于H H面）、正垂面（垂直于面）、正垂面（垂直于V V面）及侧垂面面）及侧垂面（垂直于（垂直于W W面）三种面）三种图图3-48 一般位置平面一般位置平面铅铅 垂垂 面面正正 垂垂 面面侧侧 垂垂 面面直直观观图图用用平平面面图图形形表表示示表表3-5投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性铅铅 垂垂 面面正正 垂垂 面面侧侧 垂垂 面面用用迹迹线线表表示示投投影影特特性性PH有积聚性，反映有积聚性，反映 、、  角角PV⊥⊥OX；；PW⊥⊥OYWPV有积聚性，反映有积聚性，反映 、、  角角PH⊥⊥OX；；PW⊥⊥OZPW有积聚性，反映有积聚性，反映 、、 角角PH⊥⊥OYH；；PV⊥⊥OZ续表续表3 3．投影面平行面．投影面平行面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。

面的平面称为投影面平行面对不同的投影面，投影面平行面分为水平面对不同的投影面，投影面平行面分为水平面（平行于（平行于H H面）、正平面（平行于面）、正平面（平行于V V面）及侧面）及侧平面（平行于平面（平行于W W面）三种现以水平面为例，面）三种现以水平面为例，分析其投影特性分析其投影特性水水 平平 面面正正 平平 面面侧侧 平平 面面直直观观图图用用平平面面图图形形表表示示表表3-6投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性水水 平平 面面正正 平平 面面侧侧 平平 面面用用迹迹线线表表示示投投影影特特性性水水平平投投影影反反映映实实形形；；正正面面投投影影和和侧侧面面投投影影有有积积聚聚性性，，且且分别平行于分别平行于OX、、OYW正正面面投投影影反反映映实实形形；；水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影有有积积聚聚性性，，且且分别平行于分别平行于OX、、OZ侧侧面面投投影影反反映映实实形形；；水水平平投投影影和和正正面面投投影影有有积积聚聚性性，，且分别平行于且分别平行于OYH、、OZ续表续表3.5.4 3.5.4 平面上的直线和点平面上的直线和点下面介绍判断直线和点在平面上的方法。

下面介绍判断直线和点在平面上的方法1 1．平面上的直线．平面上的直线由立体几何可知，直线在平面上的几何条件由立体几何可知，直线在平面上的几何条件是：直线通过平面上的两点或通过平面上的是：直线通过平面上的两点或通过平面上的一点并平行于平面上的另一条直线所以，一点并平行于平面上的另一条直线所以，若要在平面内取直线，必须先在平面内的已若要在平面内取直线，必须先在平面内的已知直线上取点知直线上取点图图3-49 直线在平面上的几何条件一直线在平面上的几何条件一图图3-50 直线在平面上的几何条件二直线在平面上的几何条件二 【例【例3-173-17】】 如图如图3-523-52（（a a）所示，已知线）所示，已知线段段ABAB在在△△DEFDEF上，且其正面投影为上，且其正面投影为a a b b ，，求水平投影求水平投影abab 解：解：已知已知ABAB在在△△DEFDEF上，则上，则ABAB直线必通过直线必通过△△DEFDEF平平面上的两点，即面上的两点，即ABAB与与DFDF的交点的交点ⅠⅠ和和ABAB与与EFEF的的交点交点ⅡⅡ所以a a b b 属于属于△△d d e e f f ，，abab属属于于△△defdef。

如图如图3-523-52（（b b）所示，分别过）所示，分别过ⅠⅠ、、ⅡⅡ两点的两点的正面投影正面投影1 1 和和2 2 作作X X轴的垂线与轴的垂线与dfdf和和efef相相交于交于1 1和和2 2，过，过1 1、、2 2两点作直线两点作直线abab，即为，即为ABAB的的水平投影水平投影图图3-52 求平面上直线的水平投影（求平面上直线的水平投影（2））2 2．平面上的点．平面上的点由立体几何可知，点在平面上的几何条件是：由立体几何可知，点在平面上的几何条件是：点必在平面上的一条直线上所以，在平面上点必在平面上的一条直线上所以，在平面上取点，可先在平面上取通过该点的一条线（辅取点，可先在平面上取通过该点的一条线（辅助线），然后在该线上选取符合要求的点助线），然后在该线上选取符合要求的点例【例3-193-19】】 已知平面五边形已知平面五边形ABCDEABCDE的正面投影的正面投影和其中和其中ABAB、、BCBC两边的水平投影，且两边的水平投影，且ABAB////CDCD，如，如图图3-543-54（（a a）所示，试完成该五边形的水平投影所示，试完成该五边形的水平投影。

图图3-54 求五边形水平投影求五边形水平投影解：解：根据题意，五边形两条边根据题意，五边形两条边ABAB和和BCBC两投影都已知，两投影都已知，所以该五边形平面的空间位置已经确定，所以该五边形平面的空间位置已经确定，E E、、D D两两点应在五边形点应在五边形ABCDEABCDE上，因而利用点在平面上的上，因而利用点在平面上的原理以及平面上两直线的投影特性作出点的投影原理以及平面上两直线的投影特性作出点的投影即可如图如图3-543-54（（b b）所示，延长）所示，延长a a e e 交交b b c c 于于f f ，根据，根据F F点在直线点在直线BCBC上，求得上，求得F F点的水平投影点的水平投影f f；；连接连接afaf，根据，根据E E点在点在AFAF上，从而求得上，从而求得E E的水平投影的水平投影e e；作；作cdcd////abab，并由，并由d d 得得d d；依次连接；依次连接c c、、d d、、e e、、a a得平面图形得平面图形ABCDEABCDE的水平投影的水平投影3.6 3.6 换换 面面 法法3.6.1 3.6.1 换面法的基本概念换面法的基本概念将空间几何元素的位置保持不变，用新投影将空间几何元素的位置保持不变，用新投影面代替其中的一个投影面，组成新的两投影面代替其中的一个投影面，组成新的两投影面体系，并使几何元素与新投影面处于有利面体系，并使几何元素与新投影面处于有利解题所需的特殊位置，然后作出该几何元素解题所需的特殊位置，然后作出该几何元素在新投影面上的投影。

在新投影面上的投影这种用新设立投影面来变更投影图的方法称这种用新设立投影面来变更投影图的方法称为换面法为换面法图图3-55 换面法换面法在换面法中，新投影面的设置必须符合以下在换面法中，新投影面的设置必须符合以下两条基本原则两条基本原则 （（1 1）新投影面必须使空间几何元素处于有）新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的特殊位置利解题的特殊位置 （（2 2）新投影面必须垂直于原两投影体系中）新投影面必须垂直于原两投影体系中的一个投影面（因为只有这样，才能应用正的一个投影面（因为只有这样，才能应用正投影原理作图）投影原理作图）3.6.2 3.6.2 点的投影变换点的投影变换1 1．点的一次变换．点的一次变换图图3-563-56（（a a）、（）、（b b）分别为立体图和投影图分别为立体图和投影图通过换通过换V V面可求出点在面可求出点在V V1 1面中的投影面中的投影作图步骤如下作图步骤如下1 1）定出新投影轴）定出新投影轴O O1 1X X1 1；；（（2 2）过点）过点a a作作a a a a1 1' '⊥⊥O O1 1X X1 1；；（（3 3）取）取a a1 1' 'a ax x1 1= =a a' 'a ax x，，a a1 1' '即为所求的新投影。

即为所求的新投影图图3-56 点的一次变换点的一次变换点的换面规律：点的换面规律： （（1 1）点的新投影和保留投影的投影连线垂）点的新投影和保留投影的投影连线垂直于新投影轴；直于新投影轴； （（2 2）点的新投影到新投影轴的距离等于被）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到原投影轴的距离替换的投影到原投影轴的距离2 2．点的二次换面．点的二次换面 （（1 1）新投影体系的建立（见图）新投影体系的建立（见图3-573-57（（a a））））先把先把V V面换成面换成V V1 1面，得到新的投影体系：面，得到新的投影体系：V V1 1/ /H H；；再把再把H H面换成面换成H H2 2面，面，H H2 2⊥⊥V V1 1，得到新投影体系：，得到新投影体系：V V1 1/ /H H2 2 图图3-57 点的二次变换点的二次变换（（2 2）新投影的作图方法（见图）新投影的作图方法（见图3-573-57（（b b））））作图步骤如下作图步骤如下a a）定出新投影轴）定出新投影轴O O1 1X X1 1；；（（b b）根据点的投影规律，求出新投影）根据点的投影规律，求出新投影a a1 1' '；；（（c c）作新投影轴）作新投影轴O O2 2X X2 2；；（（d d）过）过a a1 1' '作作a a1 1' 'a a2 2⊥⊥O O2 2X X2 2，并取，并取a a2 2a ax x2 2= =aaaax x1 1，得，得出出a a2 2，，a a2 2即为变换后的新投影。

即为变换后的新投影3.6.3 3.6.3 换面法的应用换面法的应用1 1．一般位置直线的实长及倾角．一般位置直线的实长及倾角求一般位置直线求一般位置直线ABAB的实长和倾角，应建立新的实长和倾角，应建立新的投影面体系，使直线的投影面体系，使直线ABAB成为新投影面成为新投影面V V1 1的平的平行线，如图行线，如图3-583-58所示图图3-58 求一般位置直线实长及倾角求一般位置直线实长及倾角作图步骤如下作图步骤如下1 1）作）作O O1 1X X1 1//ab//ab；；（（2 2）根据点的换面规律，求出新投影）根据点的换面规律，求出新投影a a1 1' '、、b b1 1' '；；（（3 3）求实长：）求实长：a a1 1' 'b b1 1' '即为直线即为直线ABAB的实长；的实长；（（4 4）求）求   角：角：a a1 1' 'b b1 1' '与与O O1 1X X1 1轴的夹角即为直轴的夹角即为直线线ABAB与与H H面的夹角面的夹角 2 2．投影面平行线变换为投影面垂直线．投影面平行线变换为投影面垂直线主要解决于直线有关的度量问题（两直线间主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。

的距离）和定位问题（求线面交点）图图3-59 投影面平行线变换为投影面垂直线投影面平行线变换为投影面垂直线作图步骤如下作图步骤如下1 1）作）作O O1 1X X1 1⊥⊥a'b'a'b'；；（（2 2）按点的换面规律，求出新投影）按点的换面规律，求出新投影a a1 1、、b b1 1（（a a1 1、、b b1 1重合）3 3．点到直线的距离及其投影．点到直线的距离及其投影已知线段已知线段CDCD和线外一点和线外一点A A的两面投影，求点的两面投影，求点A A到直线到直线CDCD的距离，并作的距离，并作A A点对点对CDCD的垂直线的的垂直线的投影作图步骤如下作图步骤如下1 1）作）作O O1 1X X1 1//cd//cd，把，把CDCD直线换成投影面平行直线换成投影面平行线；线；（（2 2）作）作O O2 2X X2 2⊥⊥c′c′1 1d′d′1 1，把，把CDCD直线换成投影面直线换成投影面垂直线；垂直线；（（3 3））a a2 2d d2 2即为所求的距离即为所求的距离图图3-60 求点到直线的距离求点到直线的距离。