第八章 微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映， 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究， 因此寻找变量之间的函数关系，在实践中具有重要的意义然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但是可以根据问题所提供的条件， 比较容易建立起这些变量及其导数 （微分） 之间的关系式或有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式， 数学上把这种关系式叫做微分方程 对建立的微分方程进行研究， 找出未知函数来，这就是解微分方程基本内容：基本概念： 微分方程、可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程基本运算 ：可分离变量微分方程、可降价微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程的解法基本理论 ：常数变易法、欧拉指数法具体应用： 用微分方程解决实际的应用问题本章重点 ：微分方程的概念、 变量可分离的微分方程、 一阶线性微分方程、 二阶线性微分方程课标导航1．了解微分方程与微分方程的阶、 解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念；2．掌握可分离变量微分方程的概念与解法； 掌握齐次微分方程与可化为齐次微分方程的概念与解法；3．了解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶齐次线性微分方程的解法及通解公式y CeP( x) dx 、一阶非齐次线性微分方程的解法、通解公式P ( x) dxP ( x) dxy e[ Q( x)edx C ] 及其通解的结构；4．会用变量代换解伯努利方程；掌握可降价微分方程 y( n ) f (x) 、 y f (x, y ) 、 y f ( y, y ) 的解法5．掌握求二阶常系数齐次微分方程的通解的方法 （欧拉指数法） ，了解二阶常系数非齐次微分方程解的结构，并会用待定系数法求自由项形如f ( x)pm (x )e x 与 f (x) e x [ pn (x)cos x pm (x) sin x] 的二阶常系数非齐次微分方程的特解和通解；6．会用叠加原理求自由项f ( x)f1( x) f2 (x) 的二阶常系数非齐次微分方程的特解。
一、知识梳理与链接（一）基本概念定义 1 凡含有自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程称为微分方程注意】微分方程中自变量及未知函数可能含有也可能不含有，但必须含有未知函数的导数或微分定义 2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶注意】微分方程的阶数一定是正整数定义 3 微分方程的阶数是几阶的， 微分方程就称为几阶微分方程定义 4 能使微分方程成立的函数，称为微分方程的解132定义 5 若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解定义 6 满足某个特定条件的解，称为微分方程的特解这个特定条件称为微分方程的初始条件定义 7 如果一个一阶微分方程能化成 g ( y)dy f ( x) dx 形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程定义 8如果一个一阶微分方程能化成dy( y ) 形式，那么就称原方程为齐次方程dxx定义 9形如 dyP (x) y Q(x) 的方程，称为一阶线性微分方程dx当 Q( x )0 时，称 dyP(x) y0为一阶齐次线性微分方程；当Q( x) 0 时，称 dyP(x) y Q( x) 为一阶非齐次dxdx线性微分方程。
其中：P( x) 、Q(x) 是已知的函数定义 10形如 dyP(x)yQ( x) yn(n 0,1)的一阶微分方程， 称为伯努利方程dx定义 11形如 ypyqy0① 的二阶微分方程（其中p 、 q 为常数）称为二阶常系数线性齐次微分方程定义 12形如ypyqyf (x)②的二阶微分方程（其中p 、 q 为常数 f (x) 为已知函数）称为二阶常系数线性非齐次微分方程二）定理、解法及公式1．可分离变量微分方程的解法对可分离变量微分方程g (y)dyf (x)dx 的等式两端同时积分g( y)dyf (x)dx . 设 g( y) 、f ( x) 的原函数分别为G(y) 和 F (x) ，则方程的解为 G(y)F (x)C .2．齐次方程的解法设y，有ydyu xdu ， 则齐次方程可化为可分离变量的微分方程，原方程化为du(u)，即uux,dxu xxdxdxx du(u)u ，分离变量得duudx两端积分得dudx ， 求出积分后，再用y 代替 u 便得齐次方dx(u)x(u) uxx程的通解3．一阶线性方程解法dyP(x) y0通过可分离变量微分方程求其通解为yP (x ) dx.dxCedyP(x) yQ( x) 的通解可通过常数变易法求得。
其方法是：设y C (x)eP ( x) dx是它的解，代入方程得dxP( x) dxP( x )dx[ Q(x)eP( x ) dxC ]C (x)Q(x)edx C .则其通解为 y edx4．伯努利方程解法作变换 zy1 n 将方程化为一阶线性微分方程即 yP(x)yQ(x) y n 化为 dz(1n)P(x)z (1 n)Q( x) .dx5．可降阶的微分方程方程的形式与特点解法（降阶法）y(n ) f ( x)y (n) f ( x) 两边连续积分 n 次，即得方程的133特点：左端是未知函数 y 的 n 阶导数，右端是 x 的已知函数y f (x, y )特点：左端是未知函数 y 的二阶导数，右端不含有 y .y f (y, y )特点：左端是未知函数 y 的二阶导数，右端不含有 x通解设 yz(x) ，原方程为 zf (x, z) ，是一阶线性微分方程，即可求其解设 yz( y) ，原方程为 z dzf ( y, z) ，是dy一阶线性微分方程，即可求其解6．方程解的结构的基本定理定理 1设 y1、 y2是方程①的解，则y c1 y1c2 y2 也是方程的解。
定理 2设 y1、 y2是①方程的两个线性无关的解，则yc1 y1c2 y2 是方程的通解定理 3设 Y 是方程①的通解， y是方程②的一个特解，则 yY y 是方程②的通解定理 4设 y1、 y2分别是方程 ypyqyf1 (x) 与 ypy qyf 2 ( x)的解则 yc1 y1c2 y2 是方程 y pyqyf 1( x)f 2 (x ) 的解7．二阶常系数线性齐次微分方程ypyqy0 的解法⑴依方程 ypyqy 0 写出特征方程 r 2prq0 ；⑵求出特征根r1 、 r2 ；⑶由特征根写出方程的通解方程 ypyqy 0 的通解形式如下表情况特征方程 r 2prq0的根微分方程 ypyqy 0 的通解形式1两个不相等的实根r1 、 r2y c1er1 xc2 er2 x2重根 r1 = r2y (c1c2 x)er1 x3一对共扼复数根r1,2iy e x (c1 cosx c2 sin x)【注意】以上求解的方法称为欧拉指数法8．二阶常系数线性非齐次微分方程解法（ 1）求二阶常系数线性非齐次微分方程y py qy p m ( x)e x ③ （其中： pm (x) 是 x 的 m 次多项式， 为常数）的通解写出方程③对应的齐次微分方程①的通解Y ，求出方程③的特解求方程③的特解的方法是情况常数与特征根的关系微分方程③特解的形式1不是特征方程 r 2prq0的根y( a0 x ma1 xm 1a m ) e xQ m ( x) e x2是特征方程 r 2prq0的一个单根ymm 1xxx (a 0 xa1xam )exQ m (x )e3是特征方程 r 2prq0的根重根yx 2 ( a0 xma1 x m 1a m )e xx 2Q m ( x )e x得方程 ypy qy pm ( x )e x 的通解 yY y（ 2）求二阶常系数线性非齐次微分方程n 次、 m 次多项式， 、 为常数）的通解写出方程④对应的齐次微分方程①的通解求方程④特解的方法是情 常（复）数 i 与特况 征根的关系y py qy e x④[ pn (x)cos x pm (x) sin x] （其中： pn (x) 、 pm (x) 分别是 x 的Y ，求出方程④的特解微分方程④特解的形式134iye x[( a0 xka1xk 1ak ) cosx(b0 xkb1xk 1bk )sinx]1不是特征方程r2prq0的根e x [ R (1)( x。