在棣莫弗-拉普拉斯定理形成的过程中，首先 解决的是，在n重伯努利试验中，事件 A出现的次数卩n等于k的概率pn (k) 二P(卩n= k)渐近于正态密度的问题，即所谓棣莫弗-拉普拉斯局部极限定理：在任给的有限区间］c，d］中，对于满足的k, 一致地成立，是标准正态密b+Nk(N=O, 土 1，,)的独立随机变量1948 年 B . B .50年代■' ，式中’ —'''-T" ”度函数这一结论的推广就是讨论取值为 序列｛Xk｝的相应问题，即格点极限定理对于独立同分布情形， 格涅坚科给出了相当简明的充分必要条件；对于独立非同分布情形，于 也给出了充分条件当独立随机变量序列｛ xk ｝的标准化部分和■的密度函数Pn(X)存在时，讨论Pn(X)向标准正态密度函数r(X)收敛的问题称为局部极限定 理格涅坚科也于1953年对独立同分布情形给出了十分简洁的充分必要条件， 即：当且仅当存在某N,使PN( x)有界时，成立、—一「："：1--对于 独立非同分布情形，也在一定假设下由 B. B .彼得罗夫给出了充分必要条件相依随机变量的中心极限定理这一问题至今仍是许多概率论学者所注意的课题，其中讨论得较多且获得实 际应用的有m相依随机变量序列、强平稳随机变量序列、 鞅、马尔可夫过程及其他泛函，以及各种类型的统计量序列。
对于这些序列在附加一定条件时， 中心 极限定理也成立这便使得许多实际问题中的随机变量或随机过程可视为正态 的收敛速度的估计为了讨论向正态分布收敛的速度，20世纪40年代，先后由A.C.贝里及C.G. 埃森给出了下述著名的埃森不等式：对于独立随机变量序列｛Xn｝，记其标准化部 分和•■的分布函数为Fn(x)，当一—-丄上八J(k=l，2，,)时，便有 沙&)-玲淞必其中 a是常数，几F召聊小这一不等式给出了向正态分布收敛时误差的精确估计这方面的研究已相当深入大偏差定理2 2对于独立同分布的随机变量序列｛Xn｝，若」，则对标准化部分和 E 及任意的M>Q当0WX< M时，一致地成立:lim血 s)—1@(一兀)如果X的上界M随着n的增大而单调趋于无穷，则与上述结果类似的定理称为大偏差定理这类结果在诸如重对数律（见大数律）的研究中是很重要的确切地说,li m A/* = co设M随n单调上升，且“ 如果成立：lim并一sup1-为&)1 = 0,limn->»sup05%-1 = 0,则称对Mn大偏差定理成立1938年，H.克拉默在渐近展开的基础上证明，若存 在正常数H,使当| t |
a-L 1以后，!0 . B .林尼克等又给出了对■■■■ - ' （其中b）为正常数，大偏差定理成立的充分必要条件大偏差定理还有种种重要的推广，正吸引着一 些概率论学者的注意普遍极限定理早在20世纪30年代，就开始注意到如下普遍极限问题： 考察在每一行内独（ \ =乞*诞伍=12…），立的随机变量阵列1? ' ' ' ■■■-的行和* 对于适当选取的常数An,随机变量Sn-An的极限分布有哪些？收敛的充分必要条件是什么？ 这是独立随机变量和的极限定理的最一般提法，到 40年代中期，已获得较完满的解决可以证明，在适当条件下，这一类极限分布是无穷可分分布 记分布函数F（x）的特征函数为？（t），若对任一正整数n，有特征函数？ n（x）使得？ （t）=[ ? n（t）]n ，就称分布函数F（x）（对应地，特征函数？⑴）为无穷可分的单点分布、 泊松分布、正态分布、柯西分布（见 概率分布）等都是无穷可分分布无穷可分 的特征函数？（t）有著名的莱维一辛钦表示式中参数y是实数，G(u)是满足G(- s)=0的有界非降函数，称为？(t)的莱维- 辛钦谱函数t)的另一表示是2此公式称为莱维表示若对随机变量xnk不加任何限制，则任一分布都可作为某个阵列的行和 Sn的极限分布。
按照物理学的启示，在 30年代就提出了无穷小条件的概念，这一 条件要求S的每一个别加项xnk，当n很大时，所起的作用都很微小：即对任何£ > 0, limmax1“隔刃.辛钦于1937年证明，满足无穷小条件的独立随机变量阵列｛xnk｝的行和Sn,对于适当的常数A, S-An的可能的极限分布 的全体，就是无穷可分分布族随后，1944年格涅坚科利用莱维-辛钦表示，给 出了 Sn的分布函数收敛于无穷可分分布函数 F(x)的充分必要条件是：①百匚歆曲叫」亠曲叹二叶严込耳丘⑺)二尸(AeW尤)n是任给的常数;y及G (x)分别是F(x)的特征函数的莱维一辛钦表示式中的参数及谱函数, 是指在 G(x)的一切连续点上 Fn(x) -G (x)，且 Fn( + s) - G(+s)，Fn( — s) f G(—s) o 1947独立随机变量阵列的行和依分布收敛于某无穷可分分布的充分必要条件由普遍极限定理，可列出向正态分布、泊松分布及退化分布收敛的最一般条 件例如，满足无穷小条件的独立阵列的行和向正态分布 N( a，Z 2)收敛的充分必要条件是：①对任给£>0, lim |>r)= 0,2^=1②存在£ >0,使lim左*k=lM诫㈤―「|半瓷怒％㈤③存在£ >0,使这是中心极限定理的最一般结果。
林德伯格-费勒定理等都可由它推出在讨论普遍极限定理的同时，辛钦于 1936年考虑了限于独立随机变量序列 ｛xn｝的“普遍极限问题”，就是讨论对适当选取的常数 B>0与A,S：二丄E耳-心的极限分布族及依分布收敛的条件在无穷小条件的限制下，这类'的极限分布族是无穷可分分布族的一个子族， 叫做L族莱维在1946年运用无穷可分特征函数的莱维表示给出了 F(x)属于L族的充分必要条件随后，格涅坚科等又给出了 '的分布向L族某分布收敛的充分必要条件当随机变量序列｛Xn｝限于独立且同分布时，的极限分布族就称为稳定律 族B,显然9是L族的子族莱维与辛钦于1936年通过特征函数的另一种特定 的表示给出了分布函数F (X)为稳定律的充分必要条件莱维、辛钦与费勒又 各自独立地给出了独立同分布为 Fo(x)的随机变量序列｛xn｝服从中心极限定理 的充分必要条件是=0格涅坚科和W多布林还各自独立地给出了收敛于某稳定律的充分必要条件极限定理是概率论的重要内容， 也是数理统计的基石之一，其理论成果也比 较完美长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法， 影响着概率 论的发展同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。