第08讲 一元二次方程的实际应用适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国课时时长〔分钟120分钟知识点1. 一元二次方程解应用题的步骤 2. 增长率问题公式3. 面积问题4. 利润问题5. "每每"问题6. 储蓄问题教学目标1. 掌握列方程解应用题的步骤和关键2. 经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程 解实际问题的重要性3. 通过探究性学习,抓住问题的关键,揭示它的规律性,展示解题的简洁性的数学美.教学重点1. 列一元二次方程解决实际问题2. 审题,从文字语言中挖掘有价值的信息.教学难点找出实际问题中的等量关系教学过程一、复习预习 我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法,下面我们一块来复习一下：1. 用直接开平方法解方程,得方程的根为〔 A. B. C. D. 2. 方程的根是〔 A．0 B．1 C．0,－1 D．0,1 3. 设的两根为,且＞,则＝4. 已知关于的方程的一个根是－2,那么＝5.＝ 今天我们将继续学习列方程解应用题。
大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下: 解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为 <40－x>元,但每天可多销出2x件,每天可卖<20+2x>件,根据题意可列方程: <40－x><20+2x>=1200 x2－30x+200=0 解得:x2=20 x2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗? 当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件,所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。
二、知识讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是： "审、设、列、解、答"． <1>"审"指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础； <2>"设"是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； <3>"列"是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式,即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键； <4>"解"就是求出所列方程的解； <5>"答"就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度 不能为负数,降低率不能大于100%等等．因此,解出方程的根后,一定要进行检验．2.数与数字的关系: 两位数=<十位数字>×10＋个位数字 三位数=<百位数字>×100＋<十位数字>×10＋个位数字 3.翻一番 翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍．4.增长率问题 <1>增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率 实际数=基数＋增长数 <2>两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×<1＋增长率>增长期数=后来的 m<1+x>2＝n . 如果是下降率则为：原来的×<1－增长率>下降期数=后来的 m<1－x>2＝n . 5.经济问题常用的公式： 〔1利润=售价-进价； 〔2售价=标价×折扣； 〔3利润率=利润÷进价×100%. 6.列方程解应用题的关键 <1>审题是设未知数、列方程的基础,所谓审题,就是要善于理解题意,弄清题中的已知量和未知数,分清它们之间的数量关系,寻求隐含的相等关系； <2>设未知数分直接设未知数和间接设未知数,这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数． 考点/易错点1 要充分利用题设中的已知条件,善于分析题中隐含的条件,挖掘其隐含关系.考点/易错点2由于一元二次方程通常有两个根,为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符,并将不符合题意和实际意义的.三、例题精析[例题1][题干]恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.[答案]解:设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200<1－20%><1+x>2＝193.6, 即<1+x>2＝1.21,解这个方程,得x1＝0.1,x2＝－2.1〔舍去. 答:这两个月的平均增长率是10%.[解析]这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m<1+x>2＝n求解,其中m＜n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m<1－x>2＝n即可求解,其中m＞n.[变式练习][题干]某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60 000kg,求南瓜亩产量的增长率．[答案]解：设南瓜亩产量的增长率为,则种植面积的增长率为．根据题意,得． 解这个方程,得,〔不合题意,舍去． 答：南瓜亩产量的增长率为．[解析]根据增长后的产量=增长前的产量〔1+增长率,设南瓜亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率为2x,列出方程求解．[例题2][题干]益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出〔350－10a件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？[答案]解:根据题意,得<350－10a>＝400,整理,得a2－56a+775＝0, 解这个方程,得a1＝25,a2＝31. 因为21×<1+20%>＝25.2,所以a2=31不合题意,舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100〔件. 答:需要进货100件,每件商品应定价25元.[解析]商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点,根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中,每件盈利=每件售价-每件进价,建立等量关系.[例题3][题干]王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入"少儿银行",到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给"希望工程",剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.〔假设不计利息税[答案]解:设第一次存款时的年利率为x,则根据题意,得 [1000<1+x>－500]<1+0.9x>＝530.整理,得90x2+145x－3＝0. 解这个方程,得x1≈0.0204＝2.04%,x2≈－1.63. 由于存款利率不能为负数,所以将x2≈－1.63舍去. 答:第一次存款的年利率约是2.04%.[解析]储蓄问题关键是掌握公式：本息和=本金×〔1+利率×期数,这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.[例题4][题干]某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?[答案]解：设每张贺年卡应降价x元 则〔0.3-x〔500+=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元．[解析]本题是"每每问题",得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点,根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键． [变式练习][题干]商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件．据此规律,请回答：〔1当每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？〔2在上述条件不变、商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元？〔提示：盈利＝售价－进价[答案]解：〔1当每件商品售价为170元时,比每件商品售价130元高出40元,即〔元, 则每天可销售商品30件,即〔件商场可获日盈利为〔元 〔2设商场日盈利达到1600元时,每件商品售价为元,则每件商品比130元高出元,每件可盈利元,每日销售商品为〔件 依题意得方程整理,得 即解得 答：每件商品售价为160元时,商场日盈利达到1600元．[解析]解与变化率有关的实际问题时：〔1注意变化率所依据的变化规律,找出所含明显或隐含的等量关系；〔2可直接套公式：原有量×〔1+增长率n=现有量,n表示增长的次数．[例题5][题干]如图,有一块长80cm,宽60cm的硬纸片,在四个角各剪去一个同样的小正方形,用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.[答案]解：设截去的小正方形的边长为cm,则 整理,得 解得 因为,所以不合题意,舍去 所以 答：截去的小正方形的边长为15cm[解析]用到的知识点是长方形的面积公式、解一元二次方程,注意把不合题意的解舍去．[例题6][题干]一个两位数,十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数。
[答案]23或32[解析]解：设原两位数的十位数字为,则个位数字为. 根据题意,得 整理后,得解方程,得 当时,,两位数为23；当时,,两位数为32 答：原来的两位数为23或32四、课堂运用[基础]1.为执行"两免一补"政策,某地区2006年投入教育经费2500万元,预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为,则下列方程正确的是〔 A． B．C． D．[答案]B[解析]。