线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理 已知已知: 线段线段AB，直线，直线EF⊥⊥AB，垂足为，垂足为O，，AO=BO，点，点P是是EF上异于点上异于点 O的任意一点．的任意一点．求证：求证：PA=PB．．ABPEFO ∴∴PA=PB 证明：证明：∵∵EF⊥⊥AB(已知已知)，，∴∠∴∠POA=∠∠POB=90°(垂直的定义垂直的定义)在在△△PAO和和△△PBO中，中， AO=BO(已知已知)，，∠∠POA=∠∠POB(已证已证)，， PO=PO(公共边公共边)，，∴△∴△PAO≌△≌△PBO(SAS)ABPEFO 线段垂直平分线性质定理的逆定理线段垂直平分线性质定理的逆定理 已知：如图，已知：如图，P为线段为线段AB外的一点，且外的一点，且PA=PB求证，点求证，点P段段AB的垂直平分线上的垂直平分线上FABPEO ∴∴点点P段段AB的垂直平分线上的垂直平分线上证明：过点证明：过点P作直线作直线EF⊥⊥AB，垂足为，垂足为O，则，则∠∠POA＝＝∠∠POB＝＝90°( )在在Rt△△PAO和和Rt△△PBO中，中，PA＝＝PB( )，，PO＝＝PO( )，，∴∴Rt△△PAO≌ ≌Rt△△PBO ( )。
∴∴AO＝＝BO( )∴∴EF是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线( ) 线段垂直平分线的定义线段垂直平分线的定义 垂直的定义垂直的定义已知已知公共边公共边HL全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等FABPEO 例例1 已知已知:如图如图,在在ΔABC中中,边边AB，，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点点P段段BC的的垂直平分线上垂直平分线上PA=PB点点P段段AB的的垂直平分线上垂直平分线上分析：分析： 已知：在已知：在ΔABCΔABC中，中，ONON是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线 OA=OCOA=OC求证：点求证：点O O在在BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上例2ABCON ∴∴点点O在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
段的垂直平分线上ABCON证明：证明：连结连结OB∵ ∵ ON是是AB的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知） ∴ ∴ OA=OB（线段的垂直平分线（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的上的点和这条线段的两个端点的距离相等距离相等））∵ ∵ OA=OC（已知）（已知） ∴ ∴ OB=OC（等量代换）（等量代换） 例例3 在三角形在三角形ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AB，，AB=8cm，三角形，三角形ACD的周长为的周长为10cm求三角形求三角形ABC的周的周长CAEDB 例例4 如图：在直角三角形如图：在直角三角形ABC中，中，∠∠A=90度，度，DE是是BC边上的垂直平分线，如果边上的垂直平分线，如果CE恰好是恰好是∠∠ACB的平分的平分线，求线，求∠∠B的度数BACED 例例5 如图：三角形如图：三角形ABC中，中，AB=AC，，∠∠A=120度，度，AB的垂直平分交的垂直平分交BC于于D求证：BD=1/2DCBDCAE 浦浦东东新新区区政政府府为为了了方方便便居居民民的的生生活活，，计计划划在在三三个个住住宅宅小小区区A、、B、、C之之间间修修建建一一个个购购物物中中心心，，试试问问，，该该购购物物中中心心应应建建于于何何处处，，才才 能能 使使 得得 它它 到到 三三 个个 小小 区区 的的 距距 离离 相相 等等 。
ABC实际问题实际问题 BAC 线段的垂直平分线线段的垂直平分线求作一点求作一点P，使它和，使它和已已△△ABC的三个顶的三个顶点距离相等点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实实际际问问题题 线段的垂直平分线的作法l已知已知:线段线段AB,如图如图.l求作求作:线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线.l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线. . l1.分别以点分别以点A和和B为圆心为圆心,以大以大于于AB/2长为半径作弧长为半径作弧,两弧交于两弧交于点点C和和D.ABCDl2. 作直线作直线CD.l则直线则直线CD就是线段就是线段AB的垂直平的垂直平分线分线.请你说明请你说明CD为什么是为什么是AB的垂直平的垂直平分线分线,并与同伴进行交流并与同伴进行交流.l作法作法: 。