三.高考物理中的数学问题 (一）问题概述实验措施和数学措施是学习、研究高中物理的两种重要措施．唯有数学才干以最后的、精确和便于讲授的简要形式体现物理概念和规律,并应用于错综复杂的物理过程中．作为选拔性的全国高考,考生必须具有良好的数学思维品质和灵活解决问题的能力，才干在高考考场中游刃有余，稳操胜券．在高考物理中浮现数理结合的问题有助于选拔人才，这不仅符合高考命题的原则,同步对考察考生各方面的能力，使考生真正体会数学的应用价值能起到不可替代的作用.因此,在高考物理复习中渗入数学思想,归纳总结解决物理问题的数学措施和技巧，引导考生运用灵活多变的数学工具求解数学问题是很有必要，并且是很有益的．一． 渗入代数思想代数措施是高中物理中数学措施的核心．其实质是把物理问题“翻译”成数学方程.代数知识内容十分丰富，在中学物理中的应用极其广泛．物理题目众多且千变万化,但总的看来大体有两类.一类是以跟踪物理过程为重要手段的过程分析类；其二是理清物理状态为重要手段的代数计算类．代数计算类尽管最先被应用,但是将数学代数赋予一定的物理意义就显得有些模棱两可，有时不免出错.因此在物理中渗入代数思想就显得极有必要.（一）运用一元二次方程鉴别式求解一元二次方程aｘ2+ｂx+ｃ=0,若方程有实数解，则鉴别式∆=b2−４ac0，若方程无实数解,则∆<0．求解物理问题时，如果列出方程数少于未知量，而经联立整顿后是有关某一未知量的二次方程，则可根据该物理量与否存在实数解,运用鉴别式应满足的条件,列出一种新的关系式进行求解，使方程式的性质得到巧妙的应用．图3－3－1例1 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和Ｂ,质量分别为m和２m，当两球心间的距离不小于l（l比２r大得多）时,两球之间无互相作用力．当两球心间的距离等于或不不小于l时,两球间存在互相作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向本来静止的Ｂ球运动,如图３－３－1所示．欲使两球不发生接触,ｖ0必须满足什么条件?分析和解 A球向B球接近至Ａ、Ｂ间的距离不不小于l之后,Ａ球的速度逐渐减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐渐减小.当Ａ、B的速度相等时，两球间的距离最小.设从两球心间的距离等于ｌ开始通过时间t后,A、Ｂ两球的位移分别为s1、s2,则，，两球刚好接触， ｓ2－s1=ｌ-2r.3个方程中有s２、s1、ｖ0、t4个未知量，由上述三个公式可整顿成t的一元二次方程，要两球不发生接触,则t无实数解，有∆<0，则.图3－3－2例2 如图３－3－2所示,用细线把质量为M的圆环挂起来,环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动．若两个小环同步从大环顶部由静止开始向两边滑下,要使大环升起,其质量M应当多大?图3－3－3 分析和解 设大圆环的半径为Ｒ,并设当小环滑到与竖直方向的夹角为θ时的瞬时速度为ｖ,此时大环对小环的弹力为Ｎ,如图３－３-3所示．隔离右环，有解得:Ｎ = mg(2-3cｏsθ），图3－3－4对于大环，受力状况如图３－3-4所示.要大环有上升的趋势，须满足 ２Ncｏsθ ≥ Mg．得2mg(2－3ｃoｓθ）cｏsθMg,将上式取等式极限状况，并整顿得6m coｓ2θ-4m cosθ＋M＝0,上式有关cｏｓθ的二次方程应有实数解,则∆0,即（-4m)2-23Mm0，得. (二)运用不等式的性质求解不等式的性质诸多，常用到的重要性质是x１＋ x２ …xｎ≥(xｉ>0)．且当x１＝ ｘ２＝…=xn时等式成立．对于求解极值的物理问题，若最后得出的式子中具有无法直接消去的未知量，可考虑运用不等式的上述性质,变求和式为求积式,或变求积式为求和式．若新的式子中未知量可以消解，难以解决的消元问题便迎刃而解了.例3 一种质量为m的粒子与一种质量为M的初始的粒子正碰,碰撞后有一定的能量E被贮藏在M粒子中.问m粒子必须具有多大的初速度v0？分析和解 设碰撞后，M、m两粒子的速度分别为v1、v2,则有mｖ0＝mv１＋Mv２,，列出的两个方程中有v0、v1、ｖ23个未知量，由上述二式消去v1可得，即m具有的最小速度应为.例4 如图３-3－5所示，两带电量均为+q的点电荷相距２r，求两电荷连线的中垂线上上场强的最大值及最大场强的位置． 分析和解 在两电荷连线的中垂线上取一点P,由图3-３－5可知E1＝E2,因此有)θPE2EE1θ(qrOrq图3－3－5上述两戒有EP、E１、θ三个未知量,联立得显然,当时,EＰ有极大值，此时(三）运用配方措施求解配措施求极值是数学中常用的技巧之一，即将两数式中的自变量进行配方整顿,化成与一常量差的平方，只要使自变量等于该常量，使能得到函数的极值．对于物理极值问题，当得出的式子中具有物理变量的二次方时,运用配措施既可消元,同步又可求出了物理极值．图3－3－6例5 如图3-3-6所示，一根一端封闭的玻璃管，长l=1.0０m，内有一段长ｈ1=0.20m的水银柱．当温度为ｔ1=27℃,开口端竖直向上时，封闭空气柱h２=0.５0ｍ．问温度至少升到多高时,水银柱才干从管中所有溢出?(外界大气压等于76cｍＨｇ） 分析和解 水银溢出的过程，同步是管内气体的减压膨胀过程，这一过程并非总是升温的过程，因此气体的最高温度并不在水银刚好所有从管中溢出时的末状态．x图3－3－7 设气体温度为T时，管内残留的水银柱高为x,如图3－3－7所示,将已知数据代入状态方程得.列出的方程中有x、T两个未知量,整顿得（Ｋ），当T＝４8４K时，ｘ＝12cm,即水银溢出的过程中，只有使管内气体的温度不低于x＝12cm时所需要的温度48４Ｋ，才干使管内的水银所有溢出．（四）运用比例措施求解比例法的最大特点是不需要许多复杂的数学知识，而只规定从基本概念出发，弄清物理量之间的关系或掌握基本物理规律，它是一种重要的代数措施．高中物理中的公式大多是单项式，这就为我们运用比例法简洁求解物理问题提供了基本.图3－3－8例6 高度不同的三颗人造卫星，某一瞬时的位置正好与地心在同始终线上，如图3-3-8所示.若此时它们的飞行方向相似，角速度分别ω1、ω2、ω３,线速度分别为v１、ｖ2、v３,周期分别为T１、T2、T3.则（ ）Ａ. ω1>ω2>ω3 B. v１T３ 分析和解 因三颗卫星都绕地球运营，则由可得答案为BＤ．例7 小滑块沿固定在水平地面的斜面底端的10０J的动能冲上斜面，滑至某一点时，动能减少了8０J，重力势能增长了６0J，继续上滑一段距离后又返回底端,求返回时的动能．图3－3－9分析和解 设A到B动能减少了80Ｊ，重力势能增长了△EPAB=６0J，由此可知这一过程中,滑块克服摩擦力做功WfＡB=fＳAB=20Ｊ，滑块运动到Ｃ点速度为0.由图3-３－9可知，直角三角形△ABＤ和△BCE相似，则 上式分子和分母分别乘以f和mg有: .经B点时滑块尚有动能2０J，故它从Ｂ运动到Ｃ的过程中以按1：３的比例转化能量,即增长势能△EPBＣ＝EKB=15J,故滑块上升过程中需克服摩擦力做功WｆＡＣ=2５J，返回A的过程中,滑块受到的摩擦力大小不变，方向沿斜面向上，仍需克服摩擦力做功25J,因此由A到Ｃ再返回A的全过程，Wf总=50J，返回A点滑块尚有动能50J.(五)运用指数、对数措施求解在某些持续的物理过程中,某些物理量是按指数或对数规律变化的，这时要用指数、对数及数列的知识加以分析、体现和求解.例8 在一种容积为Ｖ0的密闭容器中，装有压强为p０的某种气体,用活塞式抽气机抽其中的气体．在活塞来回运动中，抽气机气室的最小容积可视为零,最大容积为ΔV，且假设抽气过程中气体温度保持不变,则向n次后,密闭容器中气体的压强多大?分析和解 每抽一次，密闭容器中的气体体积由V0变为Ｖ0+ΔＶ,压强由p0变为pn+１，注意到此变化过程中气体质量保持不变，且温度也不变，故可用玻意耳定律，，.抽第二次时，，．由此可知抽n次后气体压强为.如果题意所规定的是，为使容器中的气体压强减为1０-4p0,需要抽气几次？则需运用对数知识进行具体计算.二.渗入函数思想 对于物理规律的描写有两种措施：其一为物理描写法;二为数学描写法.所谓物理描写就是对物理概念、物理定理、物理规律的文字阐明;所谓数学描写法就是对物理概念、物理定理、物理规律的数学体现,即函数描写．函数是数学的一种重要的内容,函数措施是描述、分析、讨论物理量变化规律的重要措施.高中物理中所用到的函数重要有正比函数,反比函数,一次函数，二次函数和三角函数、指数函数等. 变量在物理问题的研究中，虽然可以取不同的数值,但是它的取值范畴往往有一定的限制,也就是说函数的定义域受物理条件的制约．因此,与之相应的函数值域往往也有一定限制.OmgN图3－3－10例9 如图3-3－10所示.一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下,且小车始终保持静止状态,试分析:当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?分析和解 设圆弧半径为R，当小球运动到重力ｍg与半径夹角为θ时,速度为v,根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有:解得小球对小车的压力为：N＝3mgｃosθ,其水平分量为：Nx＝３ｍgｓinθcoｓθ=根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右,大小为：f= Ｎｘ=．可以看出:当siｎ2θ=1，即θ=4５º时,地面对小车的静摩擦力最大,其值为：fmax=.图3－3－11例10 如图3-3－11所示，质量为m的物体正好能在倾角为α的斜面上匀速下滑,如在物体上施加一种力F使物体沿斜面匀速上滑，为了使得力F取最小值，这个力与斜面的倾斜角θ为多大?这个力的最小值是多少?如果规定力把物体从斜面的底端拉到最高点做功至少，求拉力的方向和所做的最小的功.(设斜面长l）分析和解 物体从斜面的上端正好能匀速下滑,由平衡条件得mgsinα=μmgcｏsα，μ＝tgα.在F的作用下物体向斜面上运动的过程中,Ｆ的沿斜面分量及物体与斜面间的滑动摩擦力均与θ角的大小有关,在力F拉物体沿斜面匀速上升时，根据物体的平衡条件得（选沿斜面向上方向为ｘ轴正方向，垂直于斜面向上为y轴正方向):Fcosθ-mgsinα-f＝０， ①Ｆｓinθ+ N–ｍg cos α＝0， ②其中Ｎ为斜面对物体的支持力,且ｆ＝μN＝ｔgαN.由①、②两式可以解得,上式中分子（siｎα+μco α）mg是一种拟定值，F的大小随分母变化．分母coｓθ+μｓinθ＝ ＝ｓｉn（φ＋θ）,当ｓｉn(φ＋θ)=1,即φ+θ＝9０°时，分母最大F最小.由于φ=arcｔg，因此θ＝9０°-φ＝arctgμ时F取小值.物体从底到最高点力做功至少必须满足两个条件:其一是物体不受斜面的摩擦力，由于没有摩擦时物体在运动到最高点的过程中不需要克服摩擦力做功．其二是物体沿斜面的向上应当是匀速的，在匀速向上运动时,F所做的功不需要增长物体的动能，由以上两点可得两式相比，当tanθ＝ctｇα，θ=-α时F做功至少，根据Fｓinθ=mｇcosα，得Wｍin=Fcoｓθl=mglsiｎα．图3－3－12E 例11 如图３－３－12所示，已知电源电动势E=6.3V，内电阻ｒ=0.5Ω,固定电阻R1＝２Ω、R2=３Ω．R３是阻值为5Ω的滑动变阻器.按下开关Ｋ，调节滑动变阻器的触点，求。