一、 Dirac δ函数函数 v1°Diracδ函数的定义函数的定义 v2°Diracδ函数可以用一些连续函数的序函数可以用一些连续函数的序列极限来表示列极限来表示 v3°Dirac δ函数的性质函数的性质 v4°复合函数形式的复合函数形式的Diracδ函数函数——δ[h(x)] v5°二维二维Diracδ函数函数 MMI激光脉冲及其它小光源 早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质质质质点点点点、、、、点点点点电电电电荷荷荷荷、、、、点点点点光光光光源源源源及及及及又又又又窄窄窄窄又又又又强强强强的的的的电电电电脉脉脉脉冲冲冲冲等等一类物理量，当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’1947年，英国物理学家在他的著作《Principle of Quantum Mechanics》中正式引入δ(x)，并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’ δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数奇异函数’或‘广义函数广义函数’，原因在于：一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无穷大；二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。
1°°Dirac δ 函数的定义函数的定义 对于自变量为一维的δ函数函数————δ(x)来说，它满足下列条件： (1) 这表明，δ(x)函数在x≠0点处处为零，在x=0点出现无穷大极值，x=0点又称为奇异点但是，尽管δ(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1，即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1，所以δ(x)又叫做单位脉冲函数单位脉冲函数 很显然，等式： (2) 成立f(x)是定义在区间(-∞，∞)上的连续函数 在光学里，δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源点光源，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷大 在(1)和(2)中变换原点，得到： (3) 其中a为任意常数因此用δ(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程，等效于用a代替x的过程 *定义的另外形式： 2°°δ(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示可以用一些连续函数的序列极限来表示 1)、归一化的Gauss分布函数G(x)： (4) 该函数具有如下的性质： (5) 当σ→0时，G(x)就趋向于δ(x)，即： (6) (1) (3) 证明：由(4)式可以看出，当x=0，σ→0时， 而当x≠0，σ→0时， 由公式(5)得： 所以由公式(6)所定义的函数满足δ(x)函数的条件(1)式。
可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示δ(x)函数 2)、函数 的极限 也满足δ(x)函数的条件： (7) 其中α>0 证明：当x=0时， 当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着|αx|的增加而减小所以，当α→∞时，于是有： 当α>0时，查找定积分表可得到： 所以有：的极限 根据上述讨论可知，函数 满足δ(x)函数的条件，可以表示Dirac δ(x)函数，即(7)式成立 3)、函数 的极限 也满足δ(x)函数的条件，即： (8) 其中α>0 证明：当x=0时， 当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着|αx|的增加而减小所以：当α→∞时，sin(αx)/(αx)→0于是有： 查找定积分表可得到： 于是有： 根据上述讨论可知，函数 的极限 可以表示Diracδ(x)函数，即式(8)成立 (8) 4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac δ(x)函数 根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数，也可以用H(x)表示，其定义如下： (9)函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件，即： (10) 很容易看出，当x≠a时， 而当x=a时， 利用分步法计算积分，有： 根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-a)对x的导数可以表示Dirac δ(x)函数，即式(10)成立。
证明： 3°°Dirac函数的性质函数的性质性质性质1)、积分性质、积分性质：δ函数的定义式：即表明了δ函数的积分性质，这个积分也可称之为δ函数的‘强度’性质性质2)、筛选性质、筛选性质：式(2)表明了δ函数的筛选性质则是其推论 (2) 而式(3)中的由此得出推论： 性质性质3)、坐标缩放性质、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零，则有： 推论1： δ(-x)=δ(x) 说明δ函数具有偶对称性 推论2： 性质性质4)、、δ函数的乘法性质函数的乘法性质：如果f(x)在x0点连续，则有： 由此得出推论：xδ(x)=0和 4°°复合函数形式的复合函数形式的δ函数函数————δ[h(x)] 设方程h(x)=0有n个实数根x1，x2，…，xn，则在任意实根xi附近足够小的邻域内有：h(x)= h'(xi)( x-xi)其中h'(xi)是h(x)在x=xi处的一阶导数 如果h' (xi)≠0，则在xi附近可以写出：δ[h(x)]=δ[h'(xi)( x-xi)]= 上式表明，δ[h(x)]是由n个脉冲构成的脉冲系列，各个脉冲位置由方程h(x)=0的n个实根确定，各脉冲的强度则由系数| h' (xi)|-1来确定。
若h' (xi)在n个实根处皆不为零，则有： h' (xi)≠0 推论： 5°°二维函数二维函数δ函数函数 *1、直角坐标系的情况二维δ函数表示为δ(x, y)，它是位于xy平面坐标原点处的一个单位脉冲二维δ函数是可分离变量函数，即有：δ(x, y)= δ(x)·δ(y)二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的情形相同2、极坐标系的情况δ(x，y) → δ(r，θ) ，必须要保证：1)、脉冲位置相同；2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同只有这样，坐标变换才是等价的 直角坐标系(x，y) 极坐标系(r，θ) δ(x，y) δ(r) δ(x-x0，y) δ(r-x0，θ) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(r-x0，θ-π) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0) 几个二维δ函数在两种坐标系中的位置关系 表1 考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维δ函数坐标变换的例子：显然，δ(x，y)和δ(r)的位置相同例1)、可见，脉冲位置和强度都相同，所以坐标变换成立曲面下的体积为：而证明：δ(x，y)曲面下的体积为： 例2)、 其中， 显然，δ(x-x0， y-y0)与δ(r-r0，θ-θ0)的位置是相同的。
而δ(r-r0，θ-θ0)曲面下的体积为： 可见强度也相同，所以坐标变换成立 证明：δ(x-x0， y-y0)曲面下的体积为： 。