单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3 图解法的灵敏度分析,线性规划的标准形式为：,目标函数：,约束条件：,（或 ）,其中 为第 个决策变量 的系数；,为第 个约束条件中的第,个决策变量 的系数；,为第 个约束条件的常数项，,且,1,3 图解法的灵敏度分析线性规划的标准形式为：目标函数：约束,所谓,灵敏度分析,就是在建立数学模型和求得最优解之后，,究线性规划的一些系数 变化时，,对最优解有什么影响？,研,3.1 目标函数中的系数 的灵敏度分析,设目标函数为:,改写为:,显然,目标函数等直线的斜率为:,对于前面的例 1,如左图:,100,200,300,400,100,200,300,400,直线,E,(,设备台时约束条件),直线,G,(,原料,A,的约束条件),直线,F,(,原料,B,的约束条件),目标函数直线,A,B,C,D,P16,2,所谓灵敏度分析就是在建立数学模型和求得最优解之后，究线性规划,2）当 时，,BC,上任一点都是其最优解3)当 时,AB,上任意一点都是最优解.,1）当 时,仍是最优解B,点，即,为了计算出 在什么范围内变化时顶点,B,仍是其最优解，,单位产品的利润为100元不变，,假设,即,则有,解不等式得,即单位产品的利润为100元，单位产品的利润在0与100元之间,变化时，,仍是最优解。
3,2）当 时，BC上任一点都是,即,要计算出 在什么范围内变化时顶点,B,仍是其最优解，,单位产品的利润为50元不变，,假设,则有,解不等式得,且,即,也即单位产品的利润为50元，单位产品的利润只要大于等于,50元时，,仍是最优解同样，在 和 中一个值确定不变时，,可以求出另一个值,的变化范围，,使其最优解在,C,点（或在,D,点，或在,A,点）若 和 都变化时，可通过目标函数的斜率 判断,B,点、,C,点、,D,点或,A,点为最优解4,即要计算出 在什么范围内变化时顶点B仍是其最优解，单,3.2 约束条件中右边系数 的灵敏度分析,当约束条件右边系数 发生变化时,线性规划的可行域也将,发生变化，,就可能引起最优解的变化将例1中的约束条件,改为,最优解为 点，,解,得,最优解,即增加了10个台时的设备100,200,300,400,100,200,300,400,A,B,C,D,100,200,300,400,100,200,300,400,A,B,C,D,5,3.2 约束条件中右边系数 的灵敏度分析当约束条件右边系,此时的最大利润为：,比原来增加了：,这主要是由于,增加了10个设备台时,而获得的。
即每增加一个台时的设备就可多获得,的利润对偶价格：,在约束条件右边常数增加一个单位，,而使最优目标函,值得到改进的数量，,称为,这个约束条件的对偶价格,约束条件：,的对偶价格若将例1中的原料,A,增加10千克，,改为,则约束条件,6,此时的最大利润为：比原来增加了：这主要是由于增加了10个设备,最优解仍为 点，,100,200,300,400,100,200,300,400,A,B,C,D,100,200,300,400,100,200,300,400,A,B,C,D,最优值还是27500元原料,A,的对偶价格为：,即最优解仍为：,即原料,A,增加10千克，只增加了库存，,没有转化为利润原因：,原料,A,只用了：,还有：,没用7,最优解仍为 点，1002003004001002003,约束条件,(,设备台时的限制条件),(,原料,A,的限制条件),(,原料,B,的限制条件),(,决策变量非负约束条件),目标函数,由此可知：,当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零，,则这个条件的对偶价格为零总结如下，当约束条件右边常数增加一个单位时：,1）如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值变得更好，即,求最大值时，变得更大；求最小值是变得更小。
2）如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏，即求最,大值时变小了；求最小值时变大了3）如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变8,约束条件(设备台时的限制条件)(原料A 的限制条件)(原料B,第三章 线性规划问题的计算机求解,输入中注意以下两点：,解决线性规划问题的软件包分两种：,(1),大规模的软件包：可解决包含数千个决策变量和约束条件,的大型线性规划问题2),用于微型计算机的软件包,:,可解决包含数百个决策变量的,线性规划问题1),输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数2),输入前先要合并同类项注：,本软件可解决100个决策变量50个约束方程的线性规划问题.,9,第三章 线性规划问题的计算机求解输入中注意以下两点：解决线,目标函数最优值为:27500,变量,最优解,相差值,约束,松弛/剩余变量,对偶价格,目标函数系数范围:,变量,下限,当前值,上限,常数范围:,约束,下限,当前值,上限,10,目标函数最优值为:27500变量,目标函数最优值为:27500,变量,最优解,相差值,目标函数最优值为:27500,表示:这个问题的最优解可得到利润 27500元;,变量:,即决策变量;,最优解:,使目标函数达到最优值的解:,即生产产品50单位、产品250单位才能使利润达到最大值;,相差值:,表示:相应的决策变量的目标系数需要改进的数量,使该决策,变量有可能取正值,当决策变量已经取正值,则相差值为零.,如 它们的相差值都为零。
如果,的相差值为30，则只有当产品的利润再提高,30元,即达到50+30=80元时,产品才可能生产,即,11,目标函数最优值为:27500变量,约束,松弛/剩余变量,对偶价格,约束1:,表示设备台时的限制.,其剩余量(,松弛变量,)为0,即设备台时数全部用完.,松弛变量,:,没有用完的资源数,剩余变量,:,超出资源数.,对偶价格为50:表示每增加一个设备台时,可使总利润增加50元.,约束2:,是对原料,A,的限制.,其剩余量(,松弛变量,)为50,即原料,A,还有50千克没有使用.,对偶价格为0:因为再增加原料,A,只能增加库存,不能增加利润.,约束3:,是对原料,B,的限制.,其剩余量(,松弛变量,)为0,即原料,B,全部用完.,对偶价格为50:即每增加一千克的原料,B,可使总利润增加50元.,12,约束 松弛/剩余变量,目标函数系数范围:,变量,下限,当前值,上限,常数范围:,约束,下限,当前值,上限,灵敏度分析：,研究目标函数的系数、右端常数及约束方程中的,系数发生变化时，对最优解的影响灵敏度分析所研究的问题：,（,1,）为了保持现有的最优解或最优基不变，找出这些数据变化,的范围；,（,2,）这些数据超出了（,1,）的范围时，如何尽快求出新的最优解,或最优基。
灵敏度分析,13,目标函数系数范围:变量 下限,变量,下限,当前值,上限,当前值:,表示目标函数中决策变量当前的系数:,上限、下限：,指目标函数的决策变量的系数在此范围内变化时，,其线性规划的最优解不变对于此问题：,只要,其最优解不变如：若,其最优解仍为,目标函数,最优值为,优解就要发生变化但若 其最,对于,c,2,有同样的道理如何调整生产计划,?,目标函数系数范围:,TP17,-,对目标函数的系数进行灵敏度分析,14,变量 下限,约束,下限,当前值,上限,当前值:,表示约束条件右边现在的值:,上限、下限：,是指当约束条件在此范围内变化时，则与其对应的,约束条件的对偶价格不变对于此问题：,设备台时在250325之间变化时，其对偶价格都为50元；,原料,A,在350+之间变化时，其对偶价格都为0；,原料,B,在200300之间变化时，其对偶价格都为50元,如：若 而,设备台时的对偶价,格仍为50元，,但设备台时比原来减少了20个台时，利润减少，,此时目标函数的最优值为：27500-2050=26500（元）TP18,常数范围:,-,对右端常数进行灵敏度分析,15,约束 下限,注：,计算机输出的关于目标函数及约束条件的灵敏度分析都是,基于假设：,只有一个系数值发生变化，而其它系数值保持不变。
问题：,若有两个或更多个的系数同时发生变化时，如何进行灵敏,度分析？,百分之一百法则：,以例1为例：,原来产品的利润为每件50元、产品的利润为每件100元，,现在由于市场情况的变化每件产品产品的利润分别变为74元,和78元，最优解发生变化吗？,允许增加值：,对一个目标函数的决策变量系数：,该系数在上限范围内的最大增加量；,允许减少值：,该系数在下限范围内的最大减少量16,注：计算机输出的关于目标函数及约束条件的灵敏度分析都是,对于例1：,c,1,的允许增加量为：上限,当前值=100-50=50；,c,2,的允许减少量为：当前值-下限=100-50=50c,i,允许增加（减少）百分比：,c,1,允许增加百分比为：(74-50)/50=48%;,c,2,允许减少百分比为：(100-78)/50=44%;,c,1,允许增加百分比与,c,2,允许减少百分比之和为:,48%+44%=92%.,此线性规划的最优解不变，仍为：,此时最大利润为：7450+78250=23200（元）TP18,TP14,17,对于例1：c1的允许增加量为：上限 当前值=100-50,目标函数决策变量系数的百分之一百法则:,对于所有变化的目标函数决策变量系数,当其所允许增加百分,比和允许减少百分比之和不超过100%时,最优解不变.,约束条件右边系数的百分之一百法则:,对于所有变化的约束条件的右边常数值,当其所允许增加百分,比和允许减少百分比之和不超过100%时,其对偶价格不变.,对于例1：,若三个约束条件的变化为：,设备台时数：从300台时增加为315台时；,原料,A,：,从400千克减少到390千克；,原料,B,：,从250千克减少到240千克。
它们的允许增加（减少）百分比分别为：,TP15,15/25=60%；10/50=20,%,；10/50=20%允许增加百分比和允许减少百分比之和为：,18,目标函数决策变量系数的百分之一百法则:对于所有变化的目,60%+20%+20%=100%所以此线性规划的对偶价格不变利润的增加值为：5015,-015-5010=250,（元）,利润由原来的27500元增加到27750元使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要注意以下三点：,1）当允许增加量（减少量）为 时，则对于任一个增加量,（减少量），其允许增加（减少）百分比都看成 02）百分之一百法则是判断最优解或对偶价格不变的充分条,件，但不是必要条件即当其允许增加和减少百分比之和超过,百分之一百时，我们不能判断其最优解或对偶价格是否发生变化3）若百分之一百法则不能应用于目标函数决策变量系数和,约束条件右边常数值同时变化的情况，在这种情况下，只能重新,求解19,60%+20%+20%=100%所以此线性规划的对偶价格不,目标函数：,约束条件：,以,P15,例2为例：,20,目标函数：约束条件：以 P15 例2为例：20,目标函数最优值为:800（万元）,变量,最优解,相差值,约束,松弛/剩余变量,对偶价格,目标函数系数范围:,变量,下限,当前值,上限,常数范围:,约束,下限,当前值,上限,21,目标函数最优值为:800（万元）变量,1.购进,A,原料250吨,B,原料100吨时,购进成本最低为800万元。
2.,约束条件,(对所有原料的总需要量)的剩余变量为零;,若把加工时数从600小时增加到,601,小时,总成本将得到改进,价格为-4,约束条件,(对加工时数的限制)的松弛变量值为0.,若把购进原料,A,和,B,的总量从下限350吨增加到351吨,总成本,增加到:800+4=804万元,;,若购进原料总量从350吨减少到349吨,总成本将会得到改进,减少到:800 4=796万元;,约束条件,的剩余变量为125;,其对偶价格为0,若把购。