单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,湖南商学院,#,1,5.1.2,简单迭代法,已知根 的存在区间,a,b,自然可取中点,c,作为根 的精略近似值,x,0,为求逐次逼近 的近似值,x,1,x,2,自然希望使用相同公式,x,k+1,=(x,k,),k=0,1,2,(5-3),利用此式求根近似值的方法称为简单迭代法X,k,称为迭代序列，,(x),称为迭代函数，上式称为迭代格式显然，如果迭代序列收敛于,且,(x),连续，则,2,=,（）,=,即根 满足方程,x=(x)(5-4),因此，为保证迭代序列逐次逼近方程,f(x)=0,的根，应当选取迭代函数,(x),使方程,(5-4),与,(5-1),同解例,5-1,用简单迭代法求区间,(2,3),内方程,x,3,-2x-5=0,的根,解一 将方程两边同加,2x+5,再开三次方，得式,(5-4),型同解方程,x=,作迭代格式,x,k+1,=,k=0,1,取,x,0,=2.5,迭代得,x,1,=2.154434690,x,2,=2.103612029,x,3,=2.095927410,3,X,4,=2.094760545,x,5,=2.094583250,x,6,=2.094556309,X,7,=2.094552215,x,8,=2.094551593,x,9,=2.094551498,X,10,=2.094551484,x,11,=2.094551482=x,12,由于,x,12,=x,11,再迭代已无变化，可见,x,11,解二 将方程,x,3,-2x-5=0,两边同加,2x,3,+5,再同除,3x,2,-2,得同解方程,x=(2x,3,+5)/(3x,2,-2),作迭代格式,x,k+1,=(2x,k,3,+5)/(3x,k,2,-2),取,x,0,=2.5,得迭代序列,:x,1,=2.164179104,x,2,=2.097135356,x,3,=2.094555232,X,4,=2.094551482=x,5,故,x,4,4,作迭代格式,x,k+1,=(x,k,3,-5)/2,令,x,0,=2.5,得迭代序列,:x,1,=5.3125,x,2,=72.46643066,X,3,=190272.0118,x,4,=3.444250536 10,16,x,5,=2.042933398 10,46,计算,x,6,时溢出,简单迭代收敛定理,设迭代函数,(x),满足条件：,1,当,x a,b,时,(x)a,b,2,存在正数,L1,使对任意,x a,b,有,L1,则对任意初值,x,0,a,b,迭代序列,(5-3),收敛于方程,x=(x),在,a,b,上的唯一根,5,证,:,先证,x=(x),在,a,b,上有唯一根。
因 存在,故,(x),连续令,g(x)=x-(x),则,g(x),连续由条件,1,知,g(a)=a-(a)0,g(b)=b-(b)0,故存在,a,b,使,g()=0,即,=(),证明了方程,x=(x),有根假定还有根,则由拉格朗日中值定理及条件,2,得,0 =,即正数 小于其自身这是不可能的这说明方程,(5-4),只有一根最后证明,x,k,收敛于 由条件,2,知,L ,6,=,L L,2,因为,0 L1,可见,k,时，定理中条件,2,最重要实际上，假定在根 的某邻域,上 ，则对此邻域上任意,x,说明,(x),也在此邻域，条件,1,自然成立实际问题中满足条件,2,的区间,a,b,难以求得但若,连续，则在根 邻域 因此，,1,时称称超线性收敛；,p=2,时称平方收敛在迭代函数 充分可导时，由泰勒公式知,11,可见 时线性收敛，,但 时,p,阶收敛对例,5-1,前两种解法，,故解法一迭代序列线性收敛，解法二迭代序列超线性收敛进一步可证,故解法二平方收敛一般收敛阶数,p,越大，迭代序列收敛越快；线性收敛时常数,c(,称渐进常数,),必满足,0c1;,常数,c,越小，收敛也越快。