1医院就诊服务系统排队模型分析【摘要】 构建了医院就诊服务系统排队模型，并主要分析了两级串联开排队服务系统模型，其中采用递推方式给出了马尔可夫过程的转移矩阵，并利用矩阵分析方法进行求解，得到了该系统的稳态概率解及其它相关指标 【关键词】 串联排队; 稳态解; 转移密度矩阵医院是一个由许多科室部门组成的复杂的系统，病人就医必须经历挂号、就诊、划价和取药每一个机构，由于每个部门科室坐诊的医生是有限的，当病人达到一定数量时，就会出现排队就医现象，就诊病人的数量和每个病人就诊的时间都是随机的，当诊室不多，而患者过多时，就会出现病人等待时间较长，医生太忙太累，影响诊断效果以及病人的情绪，降低了病人对医院的满意度，对医院造成了不良的影响排队论是研究服务系统中排队现象随机规律的学科，专门研究由于随机因素影响而产生拥挤现象的科学，它是运筹学的一个重要分支，主要研究由于顾客的到达和离开以及服务台的工作和休假，而引起的队伍的积累和消散问题2医院的就诊系统如下:如果把前来就诊的病人看作是“顾客” ，把每一个科室看作是“服务台” ，就可以为医院就诊系统构建一个串并联混合的排队模型，即：而针对同一类病的病人或同一类病的科室，又可以构建一个两级串联的子排队系统，即：因而，由于科室之间的独立性，对于医院就诊整个串并联混合系统就可以分解为一些两级的串联系统。
本研究就以这两级串联系统为研究对象1 系统模型以天为时间单位，给出就诊服务系统模型① 系统由两个服务台串联而成，两个服务台的容量都为 k ，0② 顾客按 possion 流到达，均值为 λ0 ，由第一级服务台进入系统，以医院的挂号制度为约束条件，当第一级服务台容量 k 3满时，即挂号窗口关闭后，外来顾客离开此系统(如，进入急诊等其它系统等)，不再返回③ 顾客在系统中从第一级服务台开始，依次接受服务，服务完后从第二级服务台离开④ 第一、二级服务台的服务时间独立同分布，服务时间的分布假定服从负指数分布，均值为 λi ，λi>0, i=1,2 ⑤ 以医院的挂号制度为约束条件，在正常挂号时间内，第二级服务台容量为 k ，当第二级的队长小于 k ，第一级服务台处于可工作状态，一旦当第一级服务完的顾客进入第二级服务台，使它的队长达到 k ，(即正常挂号结束时间到了)，第一级服务台立即停止工作(如有病人必须进入急诊等)⑥ 所有顾客到达的时间间隔，彼此相互独立2 状态描述设 Li(t) 表示时刻 t 系统中第 i 级服务台的队长(包括正在接受服务台服务的顾客)，i=1,2 则由它们所构成的随机过程{L2(t),L1(t)} 是一个 维的 Markov 随机过程，各状态按字典序排列，为4便于应用分析，给出状态空间的递推表达形式如下：E1={ (0),(1),(2),…,(k)},E2=(0,0)(0,1)(0,2)………(0,k)(1,0)(1,1)(1,2)……(1,k-1)(2,0)(2,1)(2,2)…(2,k-2)(k-1,0)(k-1,1)(k,0)定理 1 对于两级服务台的串联服务系统，其 2 维马尔可夫过程的状态转移密度矩阵为Q2=5H00H01H10H11H12H20H22H23H(k-1)(k-2)H(k-1)(k-1)H(k-1)kHk(k-1)Hkk其中H00=-λ0λ0-(λ0+λ1)λ0-(λ0+λ1)λ06-(λ0+λ1)λ0-λ1若记H01=P010λ10λ100λ10λ1(k+1-0)×(k-0)7则H12=P11, H23=P21,…,H(i-1)×i=Pi-11, (i=1,2,…,k)。
其中H(i-1)×i=Pi-11=0λ10λ100λ10λ1(k+1-(i-1))×(k-(i-1))8当 i=k 时，即H(k-1)×k=0λ1若记H10=P02=λ2 (E,0)(k-0)×(k+1-0)则H21=P12, H32=P22,…,Hi×(i-1)=Pi-12, (i=1,2,…,k)其中Hi×(i-1)=Pi-12=λ2 (E,0)(k-(i-1))×(k+1-(i-1))当 i=k 时，即Hk×(k-1)=λ2 (1,0)9若记H11=P03 (-λ2)=-λ0λ0-(λ0+λ1)λ0-(λ0+λ1)λ0-(λ0+λ1)λ0-λ1(k-0)×(k-0) (-λ2)则H22=P13 (-λ2),H33=P23 (-λ2),…,Hii=Pi-13 (-λ2),(i=1,2,…,k-1)其中10Hii=Pi-13 (-λ2)=-λ0λ0-(λ0+λ1)λ0-(λ0+λ1)λ0-(λ0+λ1)λ0-λ1(k-(i-1))×(k-(i-1)) (-λ2)当 i=k-1 时，即H(k-1)×(k-1)=Pk-23 (-λ2)=-λ0λ00λ1 (-λ2)而 Hkk=-λ2113 平稳队长分布及其算法定理 2 设 Y=(Y0，Y1，Y2，… ，Yk ，Yi∈Rk2+3k2,是两级串联开排队系统的状态稳态概率解，Yi=Y0Ri, 1≤i≤k,而 Y0 是由下列线性非齐次方程组UT1UT2VT=0(k2+3k2)×11 确定。
其中U1=H00+RH10U2=Ri-1H(i-1)i+R1Hii+Ri+1H(i+1)i,(1≤i≤k-1)V=e0+ ki=1Rie1 ，(e0,e1 分别是与 Y0,Y1 维数相同的全121 列向量)证明：由平稳条件知YQ2=0,Ye=1即满足下列的非齐次线性方程组：Y0H00+Y1H10=0 (1)Y0H01+Y1H11+Y2H21=0 (2)Yi-1H(i-1)i+YiHii+Yi+1H(i+1)i=0,(2≤i≤k-1) (3)Yk-1H(k-1)k+YkHkk=0(4)且Y0e0+ ki=1Yie1=1 (5)由(4)式得13Yk=-Yk-1Hk-1kHkk-1=Yk-10λ1λ2令 R=0λ1λ2 ，即 Yk=Yk-1R(6)把(6)式代入到(1)、(2) 、(3)、(5)得Y0(H00+RH10)=0 (7)Y0(H01+RH11+R2H21)=0 (8)Y0(Ri-1H(i-1)i+RiHii+Ri+1H(i+1)i=0,(2≤i≤k-1) (9)Y0(e0+ ki=1Rie1)=1 (10)由(8)、(9) 式得Y0(Ri-1H(i-1)i+RiHii+Ri+1H(i+1)i)=0,(1≤i≤k-1) (11)14由(7)、(10) 、 (11) 式可得，令U1=H00+RH10U2=Ri-1H(i-1)i+RiHii+Ri+1H(i+1)i,(1≤i≤k-1)V=e0+ ki=1Rie1定理得证。
系统状态的稳态概率解，给出了系统稳态时的状态联合分布，由联合分布与边际分布之间的关系，可得以下有用的推论：推论 1 两级串联开排队网络系统两级队长的稳态概率联合分布为：P∩2i=1{ Li=li } ξ∈ELYξ, li=0,1,…,k (i=1,2)其中：EL={ (l2,l1),li=0,1,…,k(i=1,2) }15推论 2 该排队系统的第一级队长 L(t) 分布为：P(L(t)=l)=Y0Rle(k+1)(k+2)2 (其中，e(k+1)(k+2)2 为与 Rl 维数相同的全1 列向量)推论 3 该排队系统的第一级平均队长为： E(L)=X0R(I-R)-2 e(k+1)(k+2)24 忙期长度的分布定义：两级串联开排队网络系统忙期是指:从第一个顾客进入第一级服务台，忙期开始，直到此后各级队长首次全部为零，即各级服务台顾客数为零，忙期结束定理：两级串联开排队网络系统忙期长度的分布是 PH 分布，它有(MN-1)阶表示(ηN,TN) ,其中 ηN=(1,01×MN-2), TN 是由 MN 阶方阵 Q2 去掉第一行和第一列上所有的元素而得到 MN-1 阶的方阵，其中 MN=(k+1)(k+2)2 。
证明：将 EN 中各级队长全为零的状态作为吸收态，而各级队长全为零，就是 EN 中的第一个状态，由 PH 分布的定义和生成即可得证165 结束语利用排队论对医院门诊、诊室的排队系统的结构和行为进行科学和系统的研究，结合现代先进的数学软件，处理分析数据，可以为更合理的安排门诊医生的数量，优化医院人员配置，提高医务人员工作效率以及医院的满意度提供参考价值参考文献】1 周家良，贾波.有阻塞的多级串联排队分析. 系统科学与数学,1998，18(1):96～100.2 徐光辉，袁学明.有限容量两极串联排队系统的平稳性态.系统科学与数学，1992，12(4)：317～325.3 贾波，周家良.PH 型 N 级串联反馈开排队网络系统分析.运筹学杂志，1996，15(1):28～36.4 周家良，贾波 . 具有 N 个有限容量服务节点的 Jackson 排队网络. 西安交通大学学报,1998,32(6).5 聂盼红，刘立维. 串联开排队网络系统 河北理工大学学报，2007，11(4)：126～ 128.176 孙荣恒，李建平. 排队论基础.科学出版社，北京， 2002.7 田乃硕. 休假随机服务系统 .北京大学出版社，北京， 2001.8 林元烈. 应用随机过程 .清华大学出版社，北京， 2002.。