第二章_离散信号频谱的窗谱校正方法.txt41 滴水能穿石，只因为它永远打击同一点42 火柴如果躲避燃烧的痛苦，它的一生都将黯淡无光华中理工大学博士学位论文 第二章离散信号频谱的窗谱校正方法 ----基本理论 §2.1 引言利用 DFT 可以对离散信号进行频谱分析，但是计算工作量相当大，因此，在快速算法没用发明之前，DFT 并没用多大的实际意义直到 1965 年，Cooley-Tukey 在《计算数学》杂志上首先提出 FFT 算法之后， DFT 才得到广泛的应用这一快速算法的出现对数字信号分析领域的发展起到了极大的推动作用从此以后，它作为频谱分析的基础得到了广泛的应用[75,76,77,78]由于计算机只能对信号的有限多个样本进行计算，信号的 FFT 谱分析也只能在时域信号的有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断(加矩形窗)而产生泄漏[61]，使谱峰值减小，精度降低，求得的信号相位更是面目全非在数字信号处理中，由 DFT或 FFT 得到的幅值谱是离散谱，是信号与窗函数频谱卷积后，按频率分辨率 Δfs = fs / N ( fs 为信号采样频率，N 为分析信号样本长度)等间隔频域抽样的结果（如图 21所示）[78]。
A 幅值f图 2-1 频谱抽样的离散谱线如果周期信号的频率正好表 2-1 离散频谱幅值、相位和频率误差表落在某一谱线上，经 FFT 后得矩形窗 Hanning 窗 Hamming窗幅值误差（％） 0--36.4 0--15.3 0--18.3 相位误差（0） ±90 ±90 ±90频率误差（Hz） ±05Δfs. ±05Δfs. ±05Δfs. 到的频率、幅值和相位是准确的在一般情况下，信号频率落于两条相邻谱线之间，由于谱线不在主瓣中心，由峰值谱线反映的频率和幅值都不准10华中理工大学博士学位论文 确，相位误差更大从理论上分析，加矩形窗时，最大误差可达 36 4.%，即使加其他窗时，也不能完全消除这一影响，在加 Hanning 窗时，只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍高达 15 3.%，相位误差将更大，表 2-1 是离散频谱只进行幅值恢复，不进行其他处理时幅值、相位和频率误差[141] §2.2 单频谐波的频谱分析误差产生原因无限长信号 x()t（如振动信号、噪声信号等）的频谱分析所采用的方法为对信号进行截取，然后再对截取得到的有限长度信号进行频谱分析窗函数 wt()的作用就相当于对无限长的信号开一窗口，从窗口中取出一段数据，从而完成信号的截取。
窗函数都是选择实偶函数，并在时域上将窗函数的中心放于被分析的那段信号的中心加窗信号的傅氏变换为： Fx. ()] ()() 2π dt.............................................................(2.1) [ () twtxtwteTTjft=....∫(∞) .∞其中，wtT()由对称窗 wt()在时间上平移 T/2 得到，即 T() t.T/) wt=w( 2 ................................................................................................(2.2) 设 wt()的傅氏变换（如图 2-2a） Fwt =W( f[( )] ) ......................................................................................................(2.3) 根据傅氏变换的奇偶性质，当 wt()是实偶函数时，Wf()此时也为实偶函数。
又由傅氏变换的时移特性可知（如图 2-2b） ， Fw t =Wfe () jfT π[ T( )] ...........................................................................................(2.4) 设有一周期信号 x()t=ACos(2π.f0 .t+.),则其傅氏变换结果为（如图 2-2c）： A .j. Aj.() 0 .f0 ) ...............................................................(2.5) Xf =.e .δ(f +f) +.e .δ(f 22 根据卷积定理，加窗后的谐波信号 x()twt.T()的傅氏变换可表示为(图 2-2d)： Xf () =Fxt w t T( )] =Fxt [()] Fw t ( )] T [() ..[ T （这里“*”表示卷积） AA.jj . .. π.. j fT ={ .e .δ( + ) +.e .δ( ..Wfe ff ff )}{ () }0022 A.... + )+.] Aj[πTf f 0).j[πTf f .... . (0 (]=.Wf fe + ) +. ( . )( Wf fe . ...............(2.6) 0022 由此可知，在加窗信号的傅氏分析中，当 f≠f0 时，将存在泄漏情况。
此时的幅值及相位分别为： AY=.Wf f ( . 0 ) ....................................................................................................(2.7) 2 Φ=.. . Tf( .f +.......................................................................................(2.8) π 0) 11华中理工大学博士学位论文 对窗长度 T = N /fs 作归一化处理，则 T = 1，且令 Δf = f . f0 代入上面两式可得： A (. ) Φ=.π.Δf +. ......................................................................................................(2.10) Y = 2 .Wf ...........................................................................................................(2.9) W ( f )w () Ttt f-T/2 T/2 1.1/Τ0.2/Τ2/Τ1/Τ时域波形窗谱模函数 (a)对称矩形窗函数的时域波形和频谱模函数 wtT ()1 t 0T T .2/Τ.1/Τ0 2/Τ1/ΤW()fTf时域波形窗谱模函数 (b)实际窗函数的时域波形和频谱模函数 T0 Ax(t) t X ( f )A/2A/2 f -f 0 f00 时域波形傅里叶变换模函数 (c)单频率谐波的时域波形和频谱模函数 A xtT( ) 0 T t Y n yKyK.1 k k+2k+1k-1k-2 f00 时域波形离散频谱模函数 (d)单频率谐波离散频谱模函数图 2-2 单频率谐波离散频谱的误差产生原因12华中理工大学博士学位论文 显然，当 f=f0 时，Y= A ，Φ=.不存在泄漏情况，得到的幅值、相位和频率都是2准确无误差的。
在大多数情况下，当 f≠f0 时由加窗信号的傅氏分析得到的频率 f、幅值 Y 和相位 Φ 并不是真实值，且有旁瓣产生，这就是所谓的离散频谱的栅栏效应、梳状效应、能量泄漏和假频等（如图 2-2d 所示） 当信号真实频率位于两个相邻离散谱线中间时，即 fK.1 =f0 .Δfs/2 ， fK =f0 +Δfs/2 （这里 Δfs 为频率分辩率）时，求得的信号幅值、相位和频率的误差最大 §2.3 离散频谱信号的窗谱校正方法假设加窗信号的频谱主瓣中心为 f（即为信号的真实频率） ，信号幅值为 A0；加窗信号 FFT 结果的频谱中，最高的频谱频率(0) 为 f，高度为 Y；次高谱线频率为 f2，高度为 Y2显然， f 和 f 相差仅为一个频率分辨率(1) ，对此归(1) 一化后，即有 f1 =f2 ±1当 f1 >f2 时取“+(1) ”号(2) ；当 f1 >1 时，简化式(2.29)可得下面的近似式子：16华中理工大学博士学位论文 yΔx = 2 ............................................................................................................(2.30) y1 +y2 如果信号中有一频率分量，则可看为将窗谱平移至如图 2-7 所示的位置，此时的 Δx 和 Δx.1 点变为 K，K-1 点，则信号的实际频率为： yx =K .Δx =K . 2 .....................................................................................(2.31) 0 y1 +y2 0 k-1yyxy1 2 ΔxΔx-1)( K( ) f0图 2-7 信号将窗谱平移图形将式(2.30)代入式(2.27)可得这一频率分量的幅值为： y ..ΔxπA0 = 1 ...............................................................................................(2.32) NSin (π.Δx. ) 相应相位的校正结果为： N .12π N .12π N .1.=. ..x =. ..(K .Δx) =. +π. .Δx ..........(2.33) 00 K2 N 2 NN 因此对于矩形窗可用式(2.30)(2.31)(2.32)(2.33)分别对频率、相应的幅值及相应的相位进行校正。
2、Hanning 窗 Hanning 窗的定义[78]为： 12π()1 201 ... ....................................(2.34) Wn = [ +Cos( .nn)], =. N /,. ,, , N /22 N 其频谱函数为： 1 12π 12πW() = D() + D(ω. ) + Dωω (ω+ ) ...............................................(2.35) 24 N 4 N NωSin ω 式中 D()=ω 2 ej 2，为了简化推算，在 N>>1 时，我们忽略三项之间的相位差ω Sin 2 2Nπ，则 W()ω 的模可近似为三项模函数之和使用类似于上面矩形窗的讨论方法可得：17 华中理工大学博士学位论文 Sinπ.x 1 Sin[(x .)] 1 Sin[(x +)] Sinπ.x1 π 1 π 11Wx =. +.=. 2() +..x 4 π(x .1) 4 π(x +1) π.x ( .x2 π 21 ) ...................................................................................................................................(2.36) 其函数图形如图 2-8 所示： yxyy12ΔxΔx-1图 2-8 汉宁窗频谱模图形与其校正方法由图 2-8 可知通常在频谱的主瓣内有四条谱线，且主瓣中心处于两个连续的最高谱线之间。