第二节 复数的概念与运算一、课标考纲规定1.复数的概念（1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）理解复数的代数表达法及其几何意义2.复数的四则运算 （1）会进行复数代数形式的四则运算 （2）理解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基本知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如（）的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.一般用C表达.(2).虚数单位为：①.②和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面: 建立直角坐标系来表达复数的平面叫复平面,轴称为实轴，轴称为虚轴，实轴上的点都表达实数,除原点外,虚轴上的点都表达纯虚数;各象限内的点都表达虚数.(4).复数的几种形式：①.代数形式：（），其中叫实部记作Re(z)，叫虚部记作Im(z)； ②几何形式: 将作为复平面内点的坐标，那么z与复平面唯一一种点相相应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表达, 点称为复数的几何形式.即 ③将(a,b)作为向量的坐标，复数z又相应唯一一种向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表达形式，称为向量形式.即(5).复数的分类：①.实数b = 0,即②.虚数③.纯虚数a = 0且,即(6).共轭复数: 若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数的共轭复数用表达,即（）,则（）(7).两个复数相等的定义：且其中;特别地2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范畴内一致，特别注意:复数的除法运算,运算成果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:; ②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算.(2).运算定律: ①复数的加法满足互换律、结合律;即均有 ②复数的乘法满足互换律、结合律、分派律;即(3)距离:①模:; ②复平面内的两点间距离公式：.3、复数的性质 (1). 共轭复数的性质： ，（a + bi） （） 特别地:; 非零复数是纯虚数注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差也许为零，此时两个复数是相等的](2).模运算的性质; 特别地:(3).复数的乘方：①; ②对任何，及有 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒唐的成果，如若由就会得到的错误结论.(4).绝对值不等式： 设是不等于零的复数，则①.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.4.复数常用的结论：(1).周期为4; 即 ; (2).(3).若是1的立方虚数根，即，则5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才干比较大小.注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充足条件.（当，时，上式成立）(2).在实数集成立的.当为虚数时，，因此复数集内解方程不能采用两边平措施. 即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解有关的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.②当不全为实数时，不能用方程根的状况.③不管为什么复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.三、高考真题预测题型一、复数的概念例1． (·福建理13) 复数的实部是 .【解析】,因此实部是-1【答案】-1例2．(·广东) ．若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则= A. 2 B. C. - D. -2【解析】，而复数是纯虚数，那么由且得b=2，故选A。
答案】A措施总结：求解复数概念方面的题目，核心在于将复数化为代数形式后，运用有关概念，找到充要条件进行求解.过关测试1. （福建卷）设，则复数为实数的充要条件是A. B. C. D. 2.（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数的值为 ．题型二、复数相等例3.（高考江苏3）设，（i为虚数单位），则的值为 ．【解析】由得因此【答案】8例4（辽宁理数）(2)设为实数，若复数，则A． B. C. D. 【解析】由得因此，解得，故选A【答案】A措施总结：复数相等问题核心抓住定义，运用实部与实部相等，虚部与虚部相等，建立方程求得有关参数.复数不能比较大小，当且仅当复数为实数的时候，才干比较大小.过关测试3.（江西理数）1.已知，则实数分别为A. B. C. D. 4.（浙江卷）已知A. B. C. D. 题型三、复数的几何意义例5(高考山东卷理科2)复数(为虚数单位)在复平面内相应的点所在象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】故坐标为，第四象限.【答案】D例6（北京理数）在复平面内，复数相应的点的坐标为 .【解析】故坐标为（-1,1）【答案】（-1,1） 措施总结：复数的三种形式间的转化，代数形式复平面内的点复平面内的向量过关测试5.（北京卷）在复平面内，复数相应的点位于A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6. （·北京文数）在复平面内，复数相应的点分别为若为线段的中点，则点相应的复数是 A. B. C. D.题型四、复数的模例7(高考辽宁卷理科1) 为正实数，为虚数单位，，则=A．2 B. C. D.1【解析】,，故.【答案】： B例8（江苏卷）设复数满足（其中为虚数单位），则的模为_________.【解析】考察复数运算、模的性质；法1：先求，故法2:由复数模的性质由, 与的模相等，得.【答案】：2措施总结：复数的模，常随着着复数的运算，即常规措施是先求出所求复数的代数形式，然后运用复数模计算公式求解.也可以运用复数模的性质，抓不变量，找等量关系进行求解.过关测试7．（·广东）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范畴是A． B． C． D．8.（山东质检）设复数满足关系式，则等于A. B. C. D. 题型五、复数的运算例9（高考真题预测四川理2）复数A． B. C. D.【解析】直接化简为代数形式：.【答案】B例10（高考真题预测山东理1）若复数满足（为虚数单位），则为A. B. C. D.【解析】.故选A.【答案】A例11(高考湖北卷理科1)为虚数单位，则=A. B. C. D.【解析】由于,法1：运用，即；法2：运用是以4为周期的，则有因此选A.【答案】A 措施总结: 复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.③乘方运算时，若次数较低可以直接计算，若次数较高时常常隐含着周期，运用周期进行转化.如：的周期为4.运算成果都必须为复数的代数形式，因此，某些复数问题只需设（）代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.过关测试9.(高考真题预测安徽理1)复数满足：；则A. B. C. D.10.（天津理数）是虚数单位，复数A. B. C. D.11.(·广东理2) 设是复数，表达满足的最小正整数，则对虚数单位， A．8 B．6 C．4 D.2题型六：共轭复数例12(浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=A. B. C. D.【解析】 故选A【答案】 A例13（山东）设z的共轭复数是，且z+=4,z·＝8，则等于A．1 B. C. D 【解析】本题考察共轭复数的概念、复数的运算，可设出复数的代数形式，由z+=4则，由得，则，【答案】D措施总结：法1：运用共轭复数的定义，常先计算出的形式，再用定义得到，最后直接计算有关问题，法2：共轭复数的性质解题过关测试12.(高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是A. B. C. D.13.(高考江西卷理科1)若，则复数A. B. C. D. 题型七、复数与其他知识的综合例14(高考真题预测新课标理3)下面是有关复数的四个命题：其中的真命题为 的共轭复数为 的虚部为 A. B. C. D.【解析】由于，因此，，共轭复数为的虚部为，因此证明题为，故选C.【答案】C例15(高考真题预测陕西理3)设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A.充足不必要条件 B. 必要不充足条件 C. 充足必要条件 D. 既不充足也不必要条件【解析】或，而复数是纯虚数，是纯虚数，故选B.【答案】B措施总结：复数与其他知识的综合问题在于抓住复数为背景，运用其他章节的知识来来解决.核心在于知识的综合性和关联性.过关测试14.(山东)若（为虚数单位），则使的值也许是A. B. C. D. 15.(。