人教版高一数学函数高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点：有关映射与函数的概念,要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质;对数运算与指数运算的关系,对数式与指数式的互化;对数性质和运算法则；难点:映射的概念；幂函数的应用;用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间;反函数的求法;利用指数函数的性质,结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题;对数概念与各名称的意义的理解;注意法则应用的条件和推导三、知识点解析1、函数：(1）定义:1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量,并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确定的值和它对应,那么就是的函数,记为;2）近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射 ;上述两个定义实质上是一致的,只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同,函数实质上是从集合A到集合Ｂ的一个特殊的映射,其特殊性在于集合Ａ、B都是非空数集自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域。
这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说Ｃ是Ｂ的一个子集;（２）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射２、函数的单调性：（１）定义：对于给定区间上的函数，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；2)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当，都有，那么就说在这个区间上是减函数;（2)证明函数单调性的方法：1)用定义;２）利用已知函数的单调性;3)利用函数的图像；4)依据符合函数单调性有关结论；5）为增函数,为减函数; (3）函数的周期性：对于函数,如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时,都成立，那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何,式子都成立，而不能是“一个”或“某些”;2）一个函数是周期函数,它并不一定就有最小正周期,如:（是常数)，显然,对任何一个正数Ｔ,都有；这就是说,任何一个正数都是的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数不存在最小正周期。
③设是的周期，那么且)也一定是的周期3、反函数(1）反函数的意义：一般地，式子表示是自变量的函数,设它的定义域为Ａ,值域为Ｂ、我们从式子中解出，得到式子如果对于在中的任何一个值,通过式子，在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数,叫做函数的反函数，记作，即,在函数式中,表示自变量,表示函数习惯上,一般用表示自变量,用表示函数.为此对调函数式中的字母，把它改写成１)与具有四性：A、互换性;B、对称性;C、奇偶性;D、单调性；2）和互为反函数,即或；３)求反函数的步骤:A、解出 ;B、交换,得;C、解出反函数的定义域(即原函数值域);4)互为反函数的两个函数图像关于直线对称；(2）反函数存在的条件:并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义,只有原象具有唯一性的函数,即对任意的，能推断出成立的函数才具有反函数;（3)反函数与原函数的关系：１）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2)与互为反函数，设的定义域为A，值域为C，则有，;（4)反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数,其步骤为：1)由解出；2)交换，得;3)根据的值域,写出的定义域。
4、幂函数、指数函数、对数函数(1)幂、指数、对数式1)同底数幂的运算性质:①，②,③；2)根式的运算性质:①,②当是偶数时,当是奇数时；3)分数指数幂与根式的关系规定：①正分数指数幂,②正分数指数幂;4)对数及对数的运算性质:①定义：如果且)，则数叫做以为底N的对数,记作，②对数恒等式:(a＞０且a≠1,Ｎ>0），③对数的性质：(ⅰ)负数和零没有对数,（ⅱ）,(ⅲ)；④对数的运算法则:(ⅰ）,（ⅱ）,（ⅲ),(ⅳ)； ⑤换底公式:(ⅰ),（ⅱ）,（ⅲ）;（2)幂函数1)定义：形如(是常数）的函数叫幂函数;2)幂函数的图像见图:3）幂函数的性质：①都过点(１,１);②除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数都不过第四象限；③时,幂函数图像过（0,0)且在(0,+∞）上是增函数;时,幂函数图像不过(0,0)且在(0,＋∞）上是减函数；④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除（1，1）,(0，０),(-1，１)外,其它任何一点都不是两个幂函数的公共点;（3）指数函数1）定义：形如(且)的函数叫指数函数；2)指数函数的图像见图:3）指数函数的性质①都过（0，1）点；②定义域为，值域为;③时，在(-∞,＋∞)上是增函数；时，在(－∞，+∞)上是减函数；④时，；时，。
4）对数函数1）定义：形如(且）的函数叫对数函数；2）对数函数图像见图对数函数图像和指数函数图像关于直线对称(互为反函数）；3）对数函数的性质：①都过(1，0）点；②定义域为,值域为；③时,在（0，+∞)上是增函数；时,在（０,＋∞)上是减函数；④时,;时,四、例题1、函数例１ 审查下面四个命题:(ⅰ)是函数；(ⅱ）函数是其定义域到值域的映射；(ⅲ)和表示同一函数;（ⅳ)和表示同一函数;其中正确的有 ［ ] Ａ、1个 B、2个 C、3个 Ｄ、4个解 Ｂ注 高中数学中的函数是通过映射来定义的例2 函数的图像是［ ］ 解 D 函数可化为例３ 设ak>０，bｃ＜0,在同一坐标系中y＝ax２＋c与ｙ＝kｘ+ｂ的图象应是 [ ]解 Ｂ 由同号排除D;由ｂ,c异号排除A,C例4 已知函数满足，则c的 [ ]Ａ、３ Ｂ、-３ C、３或-３ D、不存在解 B 。
对任何成立，所以，即而,故所求例５ 函数的定义域是 [ ] A、 B、 C、 D、无法确定解 B 解不等式组得，此即所求定义域例6 已知函数,则的值 [ ］A、2 B、－15 Ｃ、12 D、以上都不对 解 A 因为，所以,所以注 求分段函数的函数值时,首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上例7 如果函数的定义域是，那么函数的定义域是__＿___解 0解不等式,得，所以所求函数定义域为例8 已知,则等于 解 15 令，解得例9 若,则满足等式的的值是____＿_解 －2 因为,所以由题设的 例10 设若的值域也为A，则b的值为＿_＿___解 3 函数的对称轴为，而,故可令,即，解得,舍去例１１ 已知是的函数,，求函数的解析式及其定义域因为，所以,即所以所求函数为；其定义域为。
例１２ 设的值域为,求的值解 设,则因为,所以，即易知是不等式，即的解比较系数,得例13 求下列函数的值域：(１) （2） （3) (4) 解 (1)因为,所以值域为 (2)因为,所以值域为注 此题容易误解为 (３)因为,所以，所以值域为 (４)令,则，从而因为，所以于是,故值域为例14 已知是的二次函数，且，求解 设，则有,又，比较系数,得,所以所求函数为例15 已知，且,求解 令，代入,得又,所以2、函数单调性例１ 下列函数中，属于增函数的是 [ ]A、 B、 C、 D、解 D例2 若一次函数在上是单调递减函数，则点在直角坐标平面的 [ ]Ａ、上半平面 Ｂ、下半平面 Ｃ、左半平面 D、右半平面解 C 因为例3 函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]A、 B、 C、 D、解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为,所以，即例4 已知，如果,那么 ［ ］Ａ、在区间(-1，0)内是减函数 B、在区间(0，1）内是减函数C、在区间(-2,0)内是增函数 Ｄ、在区间(0,2）内是增函数解 A 。
画出草图可知在（－1，0)上是减函数例5 若在上都是减函数,则在(０，+∞）上是_＿_＿＿_函数(选填“增”或“减”)解 减函数 由条件知，所以例6 函数的单调递增区间是 解 [-2,1]已知函数的定义域是设,可知当时,随增大时，也增大但值减小;当时，随增大时，减小,但值增大,此时是的单调增函数,即时,是增函数注 在求函数单调区间时，应先求函数的定义域例7 在定义域上是单调递增函数,且，那么在同一定义域上，是单调 函数;是单调 函数；y=[ｆ(x)］2是单调_____＿函数解 递减；递减；递增例８ 已知,证明是定义域上的减函数,且满足等式的实数值至多只有一个解 设，且,则,所以所以是上的减函数假设使成立的的值有两个,设为，且，则但因为上的减数，故有所以使成立的的值至多有一个例9 定义域为的函数,对任意,都有，其中为常数又知时，该函数为减函数,判断当时，函数的单调状况,证明自己的结论解 当时,函数是增函数因为函数在上是减函数，所以，注意到对任意，都有,可见对于实数，也有,即所以，所以函数在上是增函数。
例10 是定义在上的递增函数，且1)求证;(2)若,且，求的取值范围解(１）因为，所以2)因为,，于是由题设有,解得3、反函数例1 求下列函数的反函数(1） （２) (3）解 (1）由得，原函数的反函数为2)由，得 又∵ ∴，即,所求函数的反函数为 （3）由,得 ,故又当时，,故∴，所求函数的反函数为评注 对于用解析法表示的函数,求其反函数,实际上只要做三件事：①把给出的函数解析式中的自变量当作未知数,因变量当作系数的方程而解之;②求给出函数的值域,③把①②中的互换例2 如果点既在函数的图像上，又在函数的反函数的图象上,那么＿__＿ ___＿分析 确定，只要列出关于的两个方程，而由可得一方程，但直接用则需先。