第五章第五章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换§1 §1 线性空间的概念线性空间的概念 线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示. 一一. . 数域数域 (1) 0, 1K ; 定义定义5.15.1 设K是一个数集, 如果 (2) a, bK, a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, K是一个数域. 可见, Q, 实数集R, 复数集C.第五章 线性空间与线性变换 数集也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于有理数域. 对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间. 二二. . 线性空间的定义和例子线性空间的定义和例子第五章 线性空间与线性变换 定义定义5.25.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) + = + (加法交换律); (2) ( + )+ = +( + )(加法结合律); (3) V中有零元素0 0, 使 V有 +0 0= ; (4) V, - V, 使 +(+(- )=0, )=0, 称- 为 的负元素; (5) k( + + )= =k + +k , , , , V, kK; (6) (k+l) = =k + +l , , V, k, lK; (7) (kl) = =k(l ) , , V, k, lK; (8) 1 = = , , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.第五章 线性空间与线性变换 线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量.例如: 数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 实系数齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U, 对解向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性空间. 数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n, 对多项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间. 第五章 线性空间与线性变换 线性空间具有下列简单性质: 1. 令向量是唯一的. 0 01=0 01+0 02=0 02 2. 每个向量的负向量是唯一的. - 1=(- 1)+0 0=(- 1)+( +(- 2)) =((- 1)+ )+(- 2)=0 0+(- 2)=- 2 3. 0 =0 0, k0 0=0 0, V, kK 0 + =0 +1 =(0+1) = , 由1.得0 =0 0 . 4. 若k =0 0, 则, k=0或 =0 0. =1 =(1/kk) =1/k(k )=1/k0 0=0 0第五章 线性空间与线性变换 三三. . 子空间子空间 定义定义5.35.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的子空间. 按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它的称为非平凡子空间. , U, kK, 都有 + U, k U 定理定理5.15.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的. 即第五章 线性空间与线性变换例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间. 设 1, 2,… r 是线性空间VK中的一组向量, 则 K[x]n是K[x]的子空间. Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间. L( 1, 2,… r)={k1 1+k2 2+…+kr r|k1,k2,…,krK}是VK的子空间. 称为由 1, 2,… r生成的子空间.第五章 线性空间与线性变换§2 §2 基基 维数维数 坐标坐标 齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有AxAx=0 0的基础解系表示. 这是线性空间的重要性质. 一一. . 基基 维数维数 坐标坐标 定义定义5.45.4 性空间V中, 如果有n个向量 1, 2,…, n线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,…, n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性空间. 仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如K[x]. 性代数中, 只讨论有限维线性空间.第五章 线性空间与线性变换 可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. K[x]n是n维线性空间, 1, x, x2,…,xn-1 是它的一组基.例如 齐次线性方程组AxAx=0 0的基础解系就是方程组解空间U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线性空间. Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为: 向量组 1, 2,… r的一个极大线性无关组, 就是线性空间L( 1, 2,… r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.第五章 线性空间与线性变换 定理定理5.25.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组 1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量 m+m+1, m+m+2,…, n, 使得 1, 2,…, m, m+m+1, m+m+2,…, n是V的一组基. 定义定义5.55.5 设 1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如果 VK可以表示为: 由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示. =x1 1+x2 2+…+xn n则称(x1, x2,…xn)T为向量 在基 1, 2,…, n下的坐标. 可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.第五章 线性空间与线性变换 例例1 1 试求线性空间R3中向量 = =(1, 2, 3)T在基: = =x1 1+x2 2+x3 3 解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则即解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.所以, 向量 在基 1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T. 1= =(1, 1, 1)T, 2= =(1, 1, -1)T, 3= =(1, -1, -1)T下的坐标.第五章 线性空间与线性变换也可以写成:一般地, 向量 在基 1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T,也可表示为:第五章 线性空间与线性变换二二. . 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设 1, 2,…, n和 1, 2,…, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果则合起来就有:第五章 线性空间与线性变换简记为 定义定义5.65.6 矩阵C称为由基 1, 2,…, n到基 1, 2,…, n的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的. 定理定理5.3 5.3 设 1, 2,…, n和 1, 2,…, n是线性空间VK的两组基. 如果向量 在这两组基下的坐标分别为x x=(x1, x2,…, xn)T, y y=(y1, y2,…, yn)T, 则x x=CyCy. 其中C是过渡矩阵.第五章 线性空间与线性变换 证明证明 由于 由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x x=CyCy. 如例1中, = =(1, 2, 3)T在基 1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T, 3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T, 且由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵为( 1, 2, 3), 所以, = =(1, 2, 3)T在基 1, 2, 3下的坐标为: ( 1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T第五章 线性空间与线性变换§3 §3 线线 性性 变变 换换 线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系. 一一. . 定义和例子定义和例子 定义定义5.75.7 设ℱ是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足 , VK, kK都有则称ℱ为VK的一个线性变换. ℱ( + )= ℱ( )+ ℱ( ) ℱ(k )=kℱ( )第五章 线性空间与线性变换例如 A ARnn, 定义ℱ(A A)=A AT, 则ℱ为Rnn的一个线性变换. 取0 0VK, VK, 定义ℱ( )=0 0, 则ℱ为VK的一个线性变换, 称为零变换.(2) ℱ( )= ℱ( ); 线性变换ℱ具有下列简单性质: (1) ℱ(0)=0; 取A ARnn, Rn, 定义ℱ( )=A , 则ℱ为Rn的一个线性变换. VK, 定义ℱ( )= , 则ℱ为VK的一个线性变换, 称为恒等变换或单位变换. (3) ℱ(x1 1+x2 2+…+xm m) =x1ℱ( 1)+x2ℱ( 2)+…+xmℱ( m)第五章 线性空间与线性变换二二. . 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设ℱ为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2,…, n是VK的一组基, VK, 如果 =x1 1+x2 2+…+xn n, 则即, ℱ( )是由ℱ( 1), ℱ( 2),…, ℱ( n)唯一确定的. 由于ℱ( 1), ℱ( 2),…, ℱ( n)VK, 故可由 1, 2,…, n线性表示, 记 ℱ( )=x1ℱ( 1)+x2ℱ( 2)+…+xnℱ( n) ℱ( 1)=a11 1+a21 2+…+an1 n ℱ( 2)=a12 1+a22 2+…+an2 n …………………… ℱ( n)=a1n 1+a2n 2+…+ann n第五章 线性空间与线性变换例如其中 ℱ( 1, 2,…, n)=( 1, 2,…, n)A A矩阵A的第j列为向量ℱ( j)在基 1, 2,…, n下的坐标. 矩阵A称为线性变换ℱ在基 1, 2,…, n下的矩阵.第五章 线性空间与线性变换例如 线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2,…, xn-1下的矩阵为: 零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵. 单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.第五章 线性空间与线性变换 线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2/2,…, xn-1/(n-1)下的矩阵为:第五章 线性空间与线性变换 A AR22, 定义ℱ(A A)=A AT, 则ℱ在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为:第五章 线性空间与线性变换 定理定理5.45.4 设线性变换ℱ在基 1, 2,…, n下的矩阵是A A, 向量 在基 1, 2,…, n下的坐标为x x=(x1, x2,…, xn)T,则ℱ( )在这组基下的坐标是AxAx. 证明证明 因为 =x1 1+x2 2+…+xn n, 所以 =( 1, 2,…, n)TAxAx ℱ( )=x1ℱ( 1)+x2ℱ( 2)+…+xnℱ( n) =(ℱ( 1), ℱ( 2),…, ℱ( n))x x所以, ℱ( )在基 1, 2,…, n下的坐标是AxAx.第五章 线性空间与线性变换 定理定理5.55.5 设ℱ是线性空间V的线性变换, 如果ℱ在两组基 1, 2,…, n和 1, 2,…, n下的矩阵分别为A A和B B, 且由基 1, 2,…, n到基 1, 2,…, n的过渡矩阵为C, 则B B=C C-1ACAC. 证明证明 由于 ℱ( 1, 2,…, n)=( 1, 2,…, n)A A ( 1, 2,…, n)=( 1, 2,…, n)C C于是 ( 1, 2,…, n)B=B=ℱ( 1, 2,…, n)=ℱ[( 1, 2,…, n)C]C] = [ℱ( 1, 2,…, n)]C=C=( 1, 2,…, n)ACAC =( 1, 2,…, n)C C-1ACAC由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C C-1AC.AC.第五章 线性空间与线性变换 例例2 2 设线性空间R3的线性变换ℱ在基 1, 2, 3下的矩阵为 解解 基基 1, 2, 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为求ℱ在基 1= 1, 2=-3 1-2 2+2 3, 3= 1+2 2+2 3下的矩阵.先求C C-1, 由于第五章 线性空间与线性变换所以, ℱ在基 1, 2, 3下的矩阵为:第五章 线性空间与线性变换§4 §4 欧几里得空间欧几里得空间 欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积. 一一. . 定义和例子定义和例子 定义定义5.85.8 设V是实数域R上的一个线性空间, 在V上定义一个二元实函数[ , ], 满足: , , V, kR, 有则称二元实函数[ , ]是V上的内积, 此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间. (1) 对称性: [ , ]=[ , ] (2) 线性性: [ + , ]=[ , ]+[ , , ] [k , ]=k[ , ] (3) 正定性: [ , ]0, 且仅当 =0=0时, [ , ]=0.第五章 线性空间与线性变换例如: 在Rn中, = =(a1, a2,…,an)T, = =(b1, b2,…,bn)TRn, 定义 : [ , ]=a1b1+2a2b2+…+nanbn, 则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间. 在R[x]n中, f(x) , g g(x) R[x]n, 定义内积为: 在Rn中, = =(a1, a2,…,an)T, = =(b1, b2,…,bn)TRn, 定义 : [ , ]=a1b1+a2b2+…+anbn, 则Rn成为Euclid空间.则R[x]n也成为Euclid空间. 利用内积的概念, 可以定义Euclid空间中向量的长度, 向量的夹角等概念.第五章 线性空间与线性变换 向量的长度具体下列性质: 定义定义5.95.9 设V是Euclid空间, V, 非负实数[ , ]1/2称为向量 的长度(或范数, 或模), 记为| |(或 ).还有下面的Cauchy-Schwarz不等式: (1) 非负性: | |0, 且仅当 =0=0时, | |=0 ; (2) 齐次性: |k |=|k|| |; (3) 三角不等式: | + || |+| |. |[ , ] ]|| || |.若| |=1, 称 为单位向量. 若 0 0, 则(1/| |) 是单位向量.第五章 线性空间与线性变换 定义定义5.105.10 在Euclid空间中, 两个非零向量 , 的夹角记为< , >, 规定为: 定义定义5.12 5.12 在Euclid空间中, 一组两两正交的非零向量称为正交向量组, 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.可见, < , >=/2当且仅当[ , ]=0. 定义定义5.115.11 如果[ , ]=0, 则称 与 正交. 可见, 1, 2,…, n为规范正交组[ i, j]=ij . 定理定理5.65.6 正交向量组必线性无关 .第五章 线性空间与线性变换 性空间R3中, 取标准内积[ , ]=x1y1+x2y2+x3y3, 使R3成为一个 Euclid空间.解之得一个解为, =(-2, 1, 1)T, 将 单位化得: 解解 先求与 1, 2都正交的向量 , 记 =(x1, x2, x3)T, 则 [ 1, ]= x1+x2+x3=0, [ 2, ]=x2-x3=0 例例3 3 在Euclid空间R3中, 求一个单位向量 , 使其与两个向量 1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, -1)T 都正交.第五章 线性空间与线性变换二二. . 规范正交基规范正交基 定理定理5.7 5.7 在Euclid空间中, 如果向量组 1, 2,…, m线性无关, 则有规范正交向量组 1, 2,…, m与之等价 . 证明证明 先正交化, 取 1 = 1, 第五章 线性空间与线性变换 再将 1, 2,…, m单位化, 取 则 1, 2,…, m就是所求规范正交向量组. 上述由线性无关向量组 1, 2,…, m,得到正交向量组 1, 2,…, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程. 定义定义5.135.13 在n维Euclid空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交基.第五章 线性空间与线性变换 例例4 4 性空间R[x]3中, 定义内积试求R[x]3的一组规范正交基. 解解 取R[x]3的一组基, 1=1, 2=x, 3=x2, 将其正交化得: 1 = 1=1, 第五章 线性空间与线性变换 1, 2,…, m就是R[x]3的一组规范正交基.再将 1, 2, 3单位化, 取第五章 线性空间与线性变换 例例5 5 求L( 1, 2, 3, 4)的一组规范正交基. 其中 解解 由于第五章 线性空间与线性变换 可见, 1, 2, 4是L( 1, 2, 3, 4)的一组基, 正交化 1 = 1第五章 线性空间与线性变换再单位化得L( 1, 2, 3, 4)的一组规范正交基为:第五章 线性空间与线性变换 定义定义5.14 5.14 若实方阵A A满足AAAAT=E E, 则称A A是正交矩阵. 若记则,由于 第五章 线性空间与线性变换。