本文格式为Word版，下载可任意编辑数学强化班（武忠祥） 第 函数 极限 连续 第一节 函 数 1． 函数的概念（定义、定义域、对应法那么、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： x1?x2?f(x1)?f(x2). 单调不减： x1?x2?f(x1)?f(x2). 判定：（1）定义： (2）导数：设f(x)在区间I上可导，那么 a) f?(x)?0?f(x)单调不减； b) f?(x)?0?f(x)单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 f(?x)?f(x); 奇函数 f(?x)??f(x). 判定：(1）定义： (2）设f(x)可导，那么： a)f(x)是奇函数? f?(x)是偶函数； b)f(x)是偶函数? f?(x)是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数 3)周期性 定义：f(x?T)?f(x) 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不确定是周期函数； 4)有界性 1 定义：若?M?0,?x?I,f(x)?M;那么称f(x)在I上有界。
判定：（1）定义： （2）f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上有界； （3）f(x)在(a,b)上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在?f(x)在 （a,b）上有界； （4）f?(x)在区间I（有限）上有界?f(x)在I上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简朴函数的复合,分段函数的复合) 4．根本初等函数与初等函数 根本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由根本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数. 题型一 复合函数 例1．1已知f(x?1)的定义域为[0,a],(a?0),，那么f(x)的定义域为 (A) [?1,a?1] (B) [1,a?1] (C) [a,a?1] (D) [a?1,a] 解 应选 (B) 例1．2已知f(x)?ex,f[?(x)]?1?x,且?(x)?0,求?(x)及其定义域。
解 由f(x)?ex，f[?(x)]?1?x,知 22e?2(x)?1?x (x?0) ?2(x)?ln(1?x)?(x)?ln(1?x)(x?0) ?2?x2,|x|?1?0,x?0例1．3 设f(x)??, g(x)?? 1,x?0??|x|?2,1?|x| 试求f[g(x)],g[f(x)]. 2 ??0,1?x?2解 f[g(x)]?? ??1,x?1或x?2?2,g[f(x)]????1,x?0 x?0 题型二 函数性态 例1．4 以下结论正确的是 （A）xsin (C) ?x0111在(0,??)上无界； （B）当x?0时2sin为无穷大量； xxx11sintdt在(0,2022]上无界；（D）sin在(0,??)上无界 xxt例1.5以下四个命题中正确的是 （A）若f?(x)在(0,1)内连续，那么f(x)在(0,1)内有界； （B）若f(x)在(0,1)内连续，那么f(x)在(0,1)内有界； （C）若f?(x)在(0,1)内有界，那么f(x)在(0,1)内有界； （D）若f(x)在(0,1)内有界，那么f?(x)在(0,1)内有界。
解法1 直接法： 由于f?(x)在(0,1)内有界，那么f(x)在(0,1)内有界，应选（C）. 解法2 摈弃法. 令f(x)?11，那么f?(x)??2，鲜明，f?(x)和f(x)都在(0,1)内连续，但f(x) xx在(0,1)内无界，那么（A）（B）都不正确. 令f(x)?x，鲜明f(x)在(0,1)内有界，但f?(x)?（D）不正确. 故应选（C） 例1.6设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且 12x在(0,1)内无界，那么 f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,那么当a?x?b时，有 （A）f(x)g(b)?f(b)g(x); （B）f(x)g(a)?f(a)g(x); 3 （C）f(x)g(x)?f(b)g(b); （D）f(x)g(x)?f(a)g(a); 解 令F(x)?f(x), 那么 g(x)F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0, 2g(x)F(x)单调减，由a?x?b知 F(b)?F(x)，即 f(b)f(x) ?g(b)g(x)f(x)g(b)?f(b)g(x) 故应选(A). 例1.7设函数f(x)连续，且f?(0)?0,那么存在??0，使得 （A）f(x)在(0,?)内单调增加； （B）f(x)在(??,0)内单调裁减； （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)； （D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)。
解 此题要用到一个常用的结论: 若f?(x0)?0，那么存在??0，当x?(x0??,x0)时f(x)?f(x0)；当 x?(x0,x0??)时，f(x)?f(x0). 若f?(x0)?0有相应的结论. (利用导数定义和极限的保号性易证明此结论) 由以上结论知(C)正确. 注：此题选(A)是一种典型的错误，理由是由f?(x0)?0，得不到确定存在x0的某邻域，在此邻域内f(x)单调增. 反例如下： 1?2?x?2xsin,令f(x)??x??0,x?0x?0 x?2x2sinf?(0)?limx?0x1x?1?0 4 当x?0时，f?(x)?1?4xsin取xn?11?2cos xx1，那么f?(xn)?1?2??1?0. 2n?14取yn?，那么f?(yn)?1??0 ??2n??2n??22由于以上的两种点xn和yn在x?0的任何邻域内都存在，那么在x?0的任何邻域内既存在的导数为正的点，也存在导数为负的点，那么f(x)在x?0的任何邻域内都不单调增. 其次节 极 限 1．极限概念 1）数列极限: liman?A：???0, ?N(?)?0,当n?N时|an?A|??. n??2）函数极限: （1）自变量趋于无穷大时函数的极限 limf(x)?A： ???0, ?X(?)?0,当|x|?X时|f(x)?A|??. x?? limf(x)?A和limf(x)?A的定义与limf(x)?A类似。
x???x???x?? limf(x)?A ? limf(x)?limf(x)?A x??x???x???（2）自变量趋于有限值时函数的极限 x?x0limf(x)?A： ???0, ??(?)?0,当0?|x?x0|??时|f(x)?A|?? x?x0左极限：limf(x)?f(x0?0); ?右极限：limf(x)?f(x0?0); ?x?x0x?x0limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A ??x?x0x?x011?x2x几个值得留神的极限：lime,limarctan，lime,limarctanx,lim. x?0x?0x??xx??x??x1x2极限性质 1）有界性： 收敛数列必有界； 2）有理运算性质： 若limf(x)?A, limg(x)?B. 5 — 6 —。