第四章 电子和空穴的统计分布, 4.1状态密度 4.2费米分布函数 4.3能带中的电子和空穴密度 4.4本征半导体 4.5杂质能级的占据几率 4.6只含一种杂质的半导体 4.7有杂质补偿的半导体 4.8简并半导体,电子和空穴的统计分布,完整的半导体中电子的能级构成能带，有杂质和缺陷的半导体在禁带中存在局域化的能级杂质能级和缺陷能级 实践证明：半导体的导电性强烈地随着温度及其内部杂质含量变化，主要是由于半导体中载流子数目随着温度和杂质含量在变化 本章讨论： 1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分布； 2、计算导带电子和价带空穴的数目，分析它们与半导体中杂质含量和温度的关系两个重要概念：(VIP) 费米能级 (Fermi level) 电中性条件,4.1 状态密度,由k空间的状态密度求出导带和价带的状态密度： k空间单位体积中的状态数 1. 布里渊区体积倒原胞体积 ：原胞体积 每个布里渊区中含N个状态（不考虑自旋） （N: 晶体中的原胞数） 则：单位体积中的状态数为 N/ = = （V晶体体积) 考虑自旋后，倒空间中单位体积的状态数为：,2. 以能量为尺度的状态密度 讨论具体问题时，经常使用的是以能量为尺度的状态密度 N(E) N(E) 定义：单位体积的晶体中，单位能量间隔的状态数 根据能量E和波矢k之间的函数关系，由k空间的状态密度 求出导带和价带中的状态密度,一、导带 由于导带电子一般都集中于导带底附近的状态中，则只需要计算导带底附近的状态密度。
设导带底不在布里渊区中心，有M个彼此对称的能谷，k0处的能谷附近电子能量为： 上式表明,K空间的等能面是一个椭球面.,考虑能量为Ec至E范围内的电子态，其波矢量k一定包含在这个椭球内 波矢 的数目 = = 每个能谷中电子态数目相同，则所有能谷中的状态数 =,所以单位体积的晶体中，能量为E至E+dE范围内的电子态数目： 其中NC(E)为导带的状态密度. 令 则NC(E)可表示为 mdn为导带电子状态密度有效质量.,(4.6),.,导带的状态密度随着电子能量的增加按着抛物线关系增大， 导带底附近，电子能量越高，状态密度越大；如图.所示：,二、价带 Ge 、Si 、GaAs等一些主要的半导体材料，价带顶都是在 布里渊区的中心，都是简并的它们的等能面可近似地用两个 球面来代替:,价带的状态密度随着电子能量的增加同样按着抛物线关系增大， 价带顶附近，空穴能量越高，状态密度越大；,4.2 费米分布函数,一、导出费米分布函数的条件（适用性） 把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互作用很微弱. 电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据,不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重简并的,这对应于自旋的两个容许值. 在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的。
任意两个电子的交换，不引起新的微观状态 电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制. 适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计. 能带中的电子在能级上的分布，服从费米-狄拉克统计规律二、费米分布函数和费米能级 费米-狄拉克统计分布： 热平衡时,能量为E的单电子态被电子占据的几率为,其中,F(E)被称为费米分布函数,它描述每个量子态被电子占据的几率随E的变化.K是波尔兹曼常数,T是绝对温度,EF是一个待定参数,具有能量的量纲,称为费米能级.,(4.10), EF的确定 . 在整个能量范围内状态被占据的数目等于实际存在的电子总数N设能级能量为E的量子态有G(E)个,则有,或,(2)由热力学统计理论 费米能级EF是半导体中大量电子构成的热力学系统的化学势.,代表系统的化学势,F是系统的自由能.,意义:热平衡时,系统每增加一个电子,引起的系统自由能的 变化,等于系统的化学势,即系统的费米能级. 处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以处于热平衡状态的电子系统,有统一的费米能级.,三、费米分布函数性质 量子态：空着的，或被电子占据的 能量为E的量子态未被电子占据(空着)的几率是：,费米分布函数的性质: 随着能量E的增加,每个量子态被电子占据的几率,当E等于EF时,有,先占据能量较低的能级.,被电子占据的几率与空着的几率相等,.,EF实际上是一个参考能级,低于EF的能级被电子占据的几率大于空着的几率;能量高于EF的量子态,被电子占据的几率则小于空着的几率.,. EF-EkT时,上式给出的是能级比EF低很多的量子态,被空穴占据的几率.,因子,中无负号是因为上式中的E 表示电子的能级.,在电子能级图中,电子从低能级跳到高能级,相当于空穴从高能级跳到低能级,所以在越高的电子能级上空穴的能量越低. 空穴占据能量高的电子能级（也就是空穴能量低的能级）的几率大，因而，和Boltzman分布完全一致。
当T=0K时,当T0K时,例:,EF标志电子填充能级的水平,扩充：,4.3 能带中的电子和空穴浓度,为了计算单位体积中导带电子和价带空穴的数目,即载流子浓度,必须先解决下述两个问题: 1、能带中能容纳载流子的状态数目; 2、载流子占据这些状态的几率.,通常所遇到的杂质浓度不太高的情况下,费米能级是在禁带中,EC-EF or EF-EVKT,载流子遵循波尔兹曼统计规律通常把这种经典统计适用的情况,称为非简并化情况一、导带电子浓度,单位体积晶体中能量在EE+dE范围内的导带电子数为:,整个导带中的电子浓度为,因为 随着能量的增加而迅速减小,所以把积分范围由导带顶EC一直延伸到正无穷,并不会引起明显的误差实际上对积分真正有贡献的只限于导带底附近的区域于是,导带的电子浓度n为,引入变数,上式可以写成,把积分,代入上式中,有,若令,则导带电子浓度n可表示为：,NC称为导带的有效状态密度. 导带电子浓度可理解为:导带底状态密度为NC ,电子占据几率为f(EC),导带中电子浓度n为NC中电子占据的量子态数目.,Nc与mdn，T有关,(4.22),二、价带空穴浓度,单位体积中,能量在EE+dE范围内的价带空穴数p(E)dE为,整个价带的空穴浓度为,(4.25),导带和价带有效状态密度是很重要的量,根据它可以衡量能带中量子态的填充情况.如:nNC,就表示导带中电子数目稀少. 把有效状态密度中的常数值代入后,则有:,这里, m 是电子的惯性质量.,对于三种主要的半导体材料,在室温(300K)情况下,它们的有效状态密度的数值列于表4.2中.,表4.2 导带和价带有效状态密度(300K),只要确定了费米能级EF, 就可以根据这两个关系式得到导带电子浓度和价带空穴浓度.,三、载流子浓度的乘积,电子和空穴浓度都是费米能级EF的函数,两者的乘积为,式中Eg=EC-EV为半导体材料的禁带宽度。
上式表明，载流子浓度的乘积np与EF无关，只依赖于温度T 和半导体材料本身的性质REVIEW,费米分布函数：,描述每个量子态被电子占据的几率随E的变化,晶体中的电子, 在能带中能级上的分布, 服从费米分布.,REVIEW,EEF,EF标志电子填充能级的水平,能量为E的量子态,REVIEW,能量为E的量子态,能带中电子在能级上的分布可近似遵循波尔兹曼分布.,则导带中电子浓度和价带中空穴浓度为:,NC和NV分别是导带和价带的有效状态密度, 与有效质量和温度成正比.,电子和空穴浓度都是费米能级EF的函数,两者的乘积,与EF无关，只依赖于温度T 和半导体材料本身的性质REVIEW,4.4 本征半导体,当上式满足时,导带电子的电荷密度(-e)n同价带空穴的电荷密度(+e)p大小相等,符号相反,半导体处于电中性状态, 通常称这种关系为电中性条件或电中性方程.,一、电中性条件,所谓本征半导体，就是完全没有杂质和缺陷的半导体导带中的电子都是由价带激发得到的，（只有导带和价带，禁带中没有杂质能级)，即半导体中共价键是饱和的、完整的T0K时，电子从价带激发到导带，称为本征激发若要求电子总数不变，必须导带中的电子浓度等于价带中的空穴浓度，即,在任何温度下,要求半导体保持电中性条件,同保持电子总数不变的条件是一致的.,( Intrinsic semiconductor ),二、本征费米能级 （intrinsic fermi level）,由电子和空穴浓度的表达式和电中性条件,得,两端取对数后,得,Ei表示本征半导体的费米能级., Ei恰好位于禁带中央.,带中央上下约为kT的范围之内.,在室温下(300K),它与半导体的禁带宽度相,比还是很小的，如：Si的Eg1.12 eV。
例: 室温时硅(Si)的Ei就位于禁带中央之下约为0.01eV的地方.,也有少数半导体,Ei相对于禁带中央的偏离较明显.如, 在室温下,本征费米能级移向导带.,Ei移向导带底,三、本征载流子浓度,任何非简并半导体，热平衡条件下，皆有：,本征半导体电中性条件：,三、本征载流子浓度,上式表明，本征载流子浓度只与半导体本身的能带结构和温度T 有关在一定温度下，禁带宽度越窄的半导体，本征载流子浓度越大对于一定的半导体，本征载流子浓度随着温度的升高而迅速增加.,表4.3中列出室温下硅、锗、砷化镓三种半导体材料的禁带宽度和本征载流子浓度的数值.,表4.3 在室温下(300K),Si 、Ge 、GaAs的本征载流子浓度和禁带宽度,我们把载流子浓度的乘积np用本征载流子浓度ni表示出来,得,在热平衡情况下,若已知ni和一种载流子浓度,则可以利用上式求出另一种载流子浓度.,一定温度下，任何非简并半导体的热平衡载流子的浓度的乘积 即，与所含杂质无关因此，它不仅适用于本征半导体材料，而且也适用于非简并的杂质半导体材料 意义：可作为判断半导体材料是否达到热平衡的判据 热平衡条件下，n0、p0均为常数， ， 单位时间单位体积内产生的载流子数等于单位时间 单位体积内复合掉的载流子数， 即，产生率=复合率。
四、电子和空穴浓度的另一种形式,把电子和空穴浓度公式用本征载流子浓度ni (或pi )和本征费米能级Ei可写成下面的形式:,练习题：利用（4.22）和(4.25)式，导出上面两个表达式,(4.34),(4.35),4.5 杂质能级的占据几率, 能带中的电子是作共有化运动的电子, 它们的运动范围延伸到整个晶体,与电子空间运动对应的每个能级,存在自旋相反的两个量子态.由于电子之间的作用很微弱,电子占据这两个量子态是相互独立的. 能带中的电子在状态中的分布是服从费米分布的. 在杂质上的电子态与上述情形不同,它们是束缚在状态中的局部化量子态，它们的分布不服从费米分布 以类氢施主为例,当基态未被占据时,由于电子自旋方向的不同而可以有两种方式占据状态,但是一旦有一个电子以某种自旋方式占据了该能级,就不再可能有第二个电子占据另一种自旋状态.因为在施主俘获一个电子之后,静电作用将把另一个自旋状态提到很高的能量,(因为电子态是局域化的，电子间相互作用很强），基于上述由自旋引起的简并,不能用费米分布函数来确定电子占据施主能级的几率.,一、半导体中两种典型的情况,一个杂质能级可以有任意一种自旋的一个电子(中性态),或者不接受电子(电离态). 如族元素半导体中的具有五个价电子的族施主. 一个杂质能级可以有任意一种自旋的一个电子(中性态),或者有两个成对的电子(电离态), 如族元素半导体中的具有三个价电子的族受主.,二、电子占据杂质能级的几率,上述两种类氢杂质能级被电子占据的几率可用计算化学势等方法求得：刘恩科，朱秉升，1994年第四版，P78）, 施主能级Ed被电子占据的几率fd,式中gd为施主能级的自旋简并度.一般gd1,对Si 、 Ge，gd=2., 受主能级Ea被空穴占据的几率1-fa,式中ga为受主能级的自旋简并度.一般ga1,对Si 、 Ge，ga=4.,受主能级Ea被电子占据的几率fa,三、杂质能级上的电子浓度和空穴浓度,由于施主浓度Nd和受主浓度Na就是杂质能级的量子态密度,而电子和空穴占据杂质能级的几率分别是fa和1。