工程图学基础：第5讲 平面的投影

画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2.3.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线同时平行于同一投互相垂直（相交或交叉）的两直线同时平行于同一投影面时，在该投影面的投影仍为直角影面时，在该投影面的投影仍为直角O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影必定互相垂直平行线时，则两直线在该投影面上的投影必定互相垂直 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图１１. .垂直相交的两直线的投影垂直相交的两直线的投影BHACbcacＯXabcab已知：已知：AB∥∥H面，面，AB⊥⊥BC，求证：，求证：∠∠abc=90°证明：证明： ∵∵AB∥∥H面面 ∴∴AB⊥⊥Bb 又又∵∵AB⊥⊥BC ∴∴AB⊥⊥平面平面BbcC 又又∵∵AB∥∥ab ∴∴ab⊥⊥平面平面BbcC ∴∴ab⊥⊥bc，， 即即:∠ ∠abc=∠∠ABC=90° 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2. 2. 交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两直线的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB   MN, 且且AB∥∥H面面, 则有则有ab   mn上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图bbaaOfeefX例例8 8 过点过点A A 作作EF EF 线段的垂线线段的垂线ABAB。

上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图例例9 9 求点求点E E 到水平线到水平线AB AB 的距离XOa’b’abe’ed’dyD-yE所求距离所求距离上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图例例10 作三角形作三角形ABC，， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3bbcABab|yA-yB|bc=BCnmaaXmnOc上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法2.4.2 2.4.2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置及投影特性及投影特性2.4.3 2.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd（（1 1）不在一直线上的三个点；）不在一直线上的三个点；（（2 2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（（3 3）相交两直线；）相交两直线；（（4 4）平行两直线；）平行两直线；（（5 5）任意平面图形。

任意平面图形1. 1. 用几何元素表示平面用几何元素表示平面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2. 2. 用迹线表示平面用迹线表示平面PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW 迹线是平面与投影面的交线，平面迹线是平面与投影面的交线，平面P与与H、、V、、W面的交面的交线分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线，迹线与投影轴线分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线，迹线与投影轴的交点称为迹线的集合点的交点称为迹线的集合点上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2.4.2 2.4.2 平面对投影面的相对位置及投影特性平面对投影面的相对位置及投影特性1. 1. 一般位置平面一般位置平面2. 2. 投影面平行面投影面平行面 （（ 1 ））正平面正平面 （（2）水平面）水平面 （（3）侧平面）侧平面3. 3. 投影面垂直面投影面垂直面 （（1）正垂面）正垂面 （（2）铅垂面）铅垂面 （（3）侧垂面）侧垂面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图1.1.一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性： （（1 ））abc 、、 a b c  、、 a b c  均为均为  ABC的类似形。

的类似形 （（2 ）不直接反映）不直接反映 、、 、、  abbaccbacabcbacabCAB上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图 正平面正平面投影特性：投影特性： （（1）） abc 、、 a b c  积聚为直线（具有积聚性）积聚为直线（具有积聚性） （（2）） 正平面投影正平面投影a b c 反映反映  ABC实形（具有实形性实形（具有实形性）） cabbacbcaVWHbacabcbcaCBA上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图VWH　水平面水平面投影特性：投影特性：　（１）　（１）a b c 、、 a b c 积聚为积聚为直线（具有积积聚为积聚为直线（具有积聚性）．聚性）． （（2 ）水平投影）水平投影abc反映反映  ABC实实形形 （具有实形性）．（具有实形性）． CABabcbacabccabbbaacc上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图abbbaccca投影特性：投影特性： （（1）） abc 、、 a b c  积聚为直线（具有积聚性）。

积聚为直线（具有积聚性） （（2）） 侧平面投影侧平面投影a b c  反映反映  ABC实形实形 侧平面VWHbcbacabcCABa上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2. 2. 投影面平行面投影面平行面1.1.在所平行在所平行的投影面上，的投影面上，平面的投影反平面的投影反映实形（具有映实形（具有实形性）实形性）2.2.在其它两在其它两个投影面上，个投影面上，平面的投影积平面的投影积聚成直线（具聚成直线（具有积聚性）并有积聚性）并平行于相应的平行于相应的投影轴，且分投影轴，且分别与其两个迹别与其两个迹线重合 正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图 铅垂面铅垂面VWHPPHABCacbababbaccc投影特性投影特性：： 1. abc积聚为直线积聚为直线 2 . a b c 、、 a b c 为为 ABC的类的类似形。

似形 3. abc与与OX、、 OY的夹角的夹角反映反映 、、  上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图VWHV正垂面正垂面 αababbacccAcCabB投影特性投影特性：： （１）（１） a b c  积聚为直线（具有积聚性）积聚为直线（具有积聚性） （２）（２） abc、、a b c 为为  ABC的类似形（具有类似性）的类似形（具有类似性） （３）（３） a b c 与与OX、、 OZ的夹角的夹角反映反映α、、 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图VWHSWS侧垂面侧垂面CabABcabbbaaαβccc投影特性：投影特性：（（1）） a b c 积聚为直线积聚为直线 （（2 ））abc、、 a b c 为为  ABC的类似形的类似形 。

（（3 ）） a b c 与与OZ、、 OY的夹角的夹角反映反映α、、β 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图3. 3. 投影面垂直面投影面垂直面1. 1. 平面在所垂平面在所垂 直直的投影面上的投影的投影面上的投影积聚成倾斜于投影积聚成倾斜于投影轴的直线（具有积轴的直线（具有积聚性）并反映该平聚性）并反映该平面对其它两个投影面对其它两个投影面的倾角，且与迹面的倾角，且与迹线重合2. 2. 平面的其它两平面的其它两个投影都是小于原个投影都是小于原图形的类似形（具图形的类似形（具有类似性）有类似性） 正垂面正垂面铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图1. 1. 点和直线在平面上的几何条件点和直线在平面上的几何条件（（1 1）点在平面上的几何条件）点在平面上的几何条件： 点在平面内的某一直线上点在平面内的某一直线上2 2）直线在平面上的几何条件：）直线在平面上的几何条件： 　　①①通过平面上的两点；通过平面上的两点； 　　②②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。

通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线 应应用用：：在在平平面面上上取取点点、、直直线线，，实实质质上上是是在在平平面面内内作作辅辅助助线线的的问问题题利利用用在在平平面面上上取取点点、、直直线线的的作作图图，，可可以以解解决决三三类类问题：问题：　　　　①①判别已知点、线是否属于已知平面判别已知点、线是否属于已知平面　　　　②②完成已知平面上的点和直线的投影完成已知平面上的点和直线的投影　　　　③③完成多边形的投影完成多边形的投影2.4.3 2.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图取属于平面的点取属于平面的点 取属于平面的点，要先取属于该平面的已知直线取属于平面的点，要先取属于该平面的已知直线ABCDEabcabcddee上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图取属于平面的直线取属于平面的直线 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的两点；或经取属于定平面的直线，要经过属于该平面的两点；或经过属于该平面的一点，且平行于属于该平面的一直线。

过属于该平面的一点，且平行于属于该平面的一直线ABCEDabcabcddeeFff上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图例例1111 已知已知 ABC ABC 给定一平面，（给定一平面，（1 1）判断点）判断点K K是否属于该平是否属于该平面2 2）已知平面上一点）已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e’作出水平投影作出水平投影k kabcabcddee11XO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图例例12 12 已知平面已知平面P上上K点的正面投影点的正面投影k’，求作水平投影，求作水平投影kXOPVPHPXk’n’nmmk上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图 过一般位置直线可作投影面的垂直面过一般位置直线可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作H面的垂直面PH过一般位置直线AB作V面的垂直面SHVHabbaSVHbaabABPPHSVAB上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图过一般位置直线作投影面垂直面过一般位置直线作投影面垂直面( (用几何元素表示用几何元素表示) )meffeff’een(m)(n)上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录过一般位置直线AB作H面的垂直面过一般位置直线AB作V面的垂直面画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图 过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面( (用迹线表示用迹线表示) )babaabSVQWPH上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图过正平线作平面过正平线作平面effeeffeeffeeffePHSHgg（（a ））已知已知（（c））作正垂面作正垂面（（ b））作正平面作正平面（（d））作一般位置平面作一般位置平面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图2.2.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线VHPPVPH平面上投影面平行线平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。

既在平面上又平行于投影面的直线 在在一一个个平平面面上上对对V V、、H H、、W W投投影影面面分分别别有有三三组组投投影影面面平平行行线线平平面面上上的的投投影影面面平平行行线线既既具具有有投投影影面面平平行行线线的的投投影影性性质质，，又又与与所所属属平平面面保持从属关系保持从属关系水平线正平线XO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图abcbacm n nm例例13 13 已知已知  ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平面的正作属于该平面的正平线，过点平线，过点A A作属于该平面作属于该平面 的水平线的水平线XO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图例例14 14 已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影Xabcbacmnm n rsrs1015eeO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录画画 法法 几几 何何 及及 工工 程程 制制 图图作业•习题集2-8至2-10。