1. 多元函数的连续性多元函数的连续性6-3 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义 设设 在点在点 的一个邻域的一个邻域内有定义内有定义,若若 则称则称 在在 点连续点连续. 多元函数的连续性与一元函数的连续性类多元函数的连续性与一元函数的连续性类多元函数的连续性与一元函数的连续性类多元函数的连续性与一元函数的连续性类似似似似, , , ,与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关与函数的极限密切相关. . . .用用 严格定义连续性严格定义连续性. 若 若 在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一点在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一点都连续，则称 都连续，则称 在区域Ｄ内在区域Ｄ内连续连续. 上述不等式可以换成而所定义的连续性是彼此等价的. 例例1 函数证证而而 故有证毕. 例例2 设解解故故 k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点不连续 . 2. 关于二元函数连续性的几个定理关于二元函数连续性的几个定理定理定理1 设设 与与 在点在点 处连续，处连续， 及及在点在点 处也连续．处也连续．若若则则在在 点连续．点连续． 定理２定理２ (复合函数的连续性复合函数的连续性) 设设 在点在点 附近内有定义附近内有定义, 且在 连续，且在 连续，又设又设 在点在点 的附近有定义的附近有定义,且在 点连续，则复合函数且在 点连续，则复合函数在在点连续．点连续．定理定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的二元初等函数在其定义域内是连续的.二元初等函数二元初等函数如果它是从自变量如果它是从自变量x与与y出发进行出发进行有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果有限次加减乘除或复合以一元初等函数的结果.类似地可定义多元初等函数类似地可定义多元初等函数. ３．映射的连续性３．映射的连续性如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 在Ｄ在Ｄ中中连续连续．．定义定义 例例3 考虑映射 一元连续函数在闭区间上的性质, 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质. ４．有界闭区域上连续函数的性质４．有界闭区域上连续函数的性质 在在 的边界点的边界点 连续连续 使得当使得当时时,有有即即首先定义f在边界点 的连续性. 定理４定理４（有界性定理）（有界性定理） 设函数 在有界闭区域设函数 在有界闭区域 上连续，上连续，则 在 则 在 上有界．上有界．即存在常数即存在常数使使换句话说，当换句话说，当P落在集合落在集合 定理５定理５ 最大最大(小小)值定理值定理 设函数 在有界闭区域设函数 在有界闭区域 上连续，上连续，则 在 则 在 上达到最大值和最小值．上达到最大值和最小值．即存在点即存在点使使 定理６定理６（介值定理）（介值定理） 设函数 在闭区域设函数 在闭区域 上连续，并假上连续，并假定Ｍ与定Ｍ与m m分别是 在 分别是 在 上的最大值和最小上的最大值和最小值，值，则对于任意的则对于任意的一定有一点一定有一点使得使得 多元函数间断点多元函数间断点多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等, 也可以是某些点的集合.情形比较复杂情形比较复杂 例如例如 函数其定义域为而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以园周上各点都是该函数的间断点. 内容小结1. 区域• 邻域 :• 区域连通的开集• 2. 多元函数概念n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数 有3. 多元函数的极限多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 。
