1.平面上有n条直线，最多可把平面分成几部分?答:分析：当增加一条直线时，把平面多分割出几部分来呢？由第n条直线与前(n-1)条直线有(n-1)个交点，从而把第n条直线分成n段，而每一段把所在部分一分为二，于是增加了n个部分由此得n条直线把平面分割成的最多部分数为1+(1+2+3+…+n)=2n2n222.n个平面将空间分成的部分数为：答:n35n6口6分析：若增加1个平面，可把空间多分割出几部分呢？由于增加的第n个平面与前(n-1)个平面都相交，于是第n个平面上有(n-1)条交线,因此增加的第n个平面被(n-1)条直线分成[(n-1)2+(n-1)+2]/2=(n2-n+2)/2块，而每一块把所在的部分空间一分为二，于是增加了(n2-n+2)/2个部分因此，n个平面将空间分成的部分数为:1+[1+2+4+7+11+…+(n2-n+2)/2]=n35n663.平面上的n个圆，至多可把平面分成几部分？答：ann2n2分析：推导方法是递推，先看多加一个圆后增加了多少个交点，在K个圆上再加一个圆至多能增加2K个交点，又增加n个交点就多了n块区域，故在K个圆上再加一个圆至多能增加2K块区域所以一个圆最多分2部分，两个圆最多分2+2=4部分，三个圆最多分4+4=8部分，四个圆最多分8+6=14部分，五个圆最多分14+8=22部分，六个圆最多分22+10=32部分。
推广到n个圆，n个圆最多将平面分成：2+2(1+2+3+…+n-1)=2+n(n-1)=n2n2部分方法2：设n个圆最多可将平面分成an个部分，现增加一个圆，它与前n个圆有2n个交点，这些交点将新增的第n个圆分成2n段互不相交的弧段，每一段把所在的平面区域分为二得an1an2n计算得ann2n24.空间中n个球面，至多可把空间分成几部分?答:n33n28n3分析：推导方法是递推，先看多加一个球面后能增加多少个部分，在已有N-1个球面基础上再加一个球面，这个球面至多能被这N-1个球面划分成(N-1)A2-(N-1)+2(参见n个圆最多将平面分成几部分中的结论)块区域，其中每块区域都将其所在的原来那部分空间一分为二，故在已有N-1个球面基础上再加一个球面，这个球面至多增加(N-1)A2-(N-1)+2块空间区域所以一个球面最多分2部分，两个球面最多分2+2=4部分，三个球面最多分4+4=8部分，四个球面最多分8+8=16部分，五个球面最多分16+14=30部分，六个球面最多分30+22=52部n33n28n分推广到N个球面，N个球面最多将空间分成2+(1人2-1+2)+(2A2-2+2)+…+((N-1)A2-(N-1)+2)=。
