第八章 梁的弯曲1-一、弯曲变形和平面弯曲 弯曲是构件变形的基本形式之一当一杆件在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图8-1（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形，简称弯曲图 8-1（a）（b）第一节 梁的平面弯曲2-有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b），发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形，此称为剪切弯曲或横向弯曲常见的梁就是以弯曲变形为主的构件例如房屋建筑中的悬臂梁(图8-2(a),楼面梁(图8-2(b)等3-(a)(b)图8-2（c）图8-3（d）4-实际工程中常见的梁，其横截面通常采用的是对称形状，如矩形、工字形、T字形、圆形等(图8-3(a)，原因是它们都有一个竖直对称轴对称轴与梁轴线组成的平面叫纵向对称平面如果作用在梁上的所有外力（荷载、支座反力）的作用线都位于纵向对称平面内，梁变形时其轴线变成位于对称平面内的一条平面曲线(图8-3(b)，这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲是工程中最常见的弯曲形式5-二、单跨静定梁的基本形式 为了方便地讨论梁的弯曲，这里简单了解一下梁的基本形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况来分，可分为下列三种形式：1悬臂梁 梁的一端为固定端，另一端为自由端（图8-4(a)）2简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图8-4(b)）6-3外伸梁 梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图8-4(c)）（a）（b）（c）图8-47-一、梁的弯曲内力剪力和弯矩 为了计算梁的强度和刚度，在求得梁的支座反力后，还必须计算梁的内力。
如图8-5(a)所示为一简支梁，荷载和支座反力、是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系现在在梁上任取一截面，假想截面将梁分为两段，取左段为研究对象，从图8-5(b)可知，因有支座反力作用，为使左段满足，截面上必然有与等值、平行且反向的内力存在，这个内力，称为剪力；同时，因对截面的形心点有一个力矩的作用，为满足，截面上也必然有一个与力矩大小相等且转向相反的内力偶矩存在，这个内力偶矩称为弯矩由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力因素，即剪力和弯矩第二节 梁的弯曲内力8-图8-5剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为Nm，或kNm剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得，即:由得 9-由得 二、剪力和弯矩的正负号规定 为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力和弯矩具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定：(1)剪力的正负号使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正(图8-6a)；反之，为负(图8-6b)2)弯矩的正负号使梁段产生下侧受拉的弯矩为正(图8-7a)；反之，为负(图8-7b)如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面 上的 和 ，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出 截面上 的和 大小相等，方向相反，如图8-5(a)所示。
10-图8-6图8-711-例8-1 如图8-8(a)所示简支梁已知 ，试求截面1-1上的剪力和弯矩图8-8解:(1)求支座反力12-由 得 又由 得 由、得(2)求截面1-1上的内力在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图8-8（b)，内力 和 均先假设为正的方向，列平衡方程：由 得 由 得 13-由、得 求得 和 均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负如取1-1截面右段梁为研究对象(图8-8b)，可得出同样的结果例8-28-2 一悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图8-9所示，求截面1-1上的剪力和弯矩14-图8-9 解:对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图8-9(b)所示由 得 由 得 得 15-求得 为正值，表示 的实际方向与假定的方向相同；为负值，表示 的实际方向与假定的方向相反所以，按梁内力的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负二）简易法求内力 求梁的内力还可用简便的方法来进行，称为简易法。
通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律1剪力的规律 计算剪力时，对截面左(或右)段梁建立投影方程，经过移项后可得或 上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，其投影取正号(图8-6a)；反之取负号(图8-6b)，此规律可记为“顺转剪力正”16-2求弯矩的规律计算弯矩时，对截面左(或右)段梁建立力矩方程，经过移项后可得或 上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数和将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时(即上部受压，下部受拉)，等式右方取正号(图8-7a)；反之取负号(图8-7b)，此规律可记为“下凸弯矩正”用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程例8-38-3 用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩17-图8-10解:(1)求支座反力图8-10由梁的整体平衡方程求得(2)计算1-1截面上的内力由1-1截面以左部分的外力来计算内力，根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得18-第三节 梁的内力图 为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律内力图，从而直观地找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。
一、剪力方程和弯矩方程 从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化若横截面的位置用沿梁轴线的坐标 来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标 的函数，即：以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程19-为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图以沿梁轴线的横坐标 表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩在土建工程中，习惯上把正剪力画在 轴上方，负剪力画在 轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在 轴下方，负弯矩画在 轴上方，如图8-11所示图8-1120-例8-4 如图8-12()所示，一简支梁受均布荷载作用，试画出梁的剪力图和弯矩图解:(1)求支座反力由对称关系可得：(2)列剪力方程和弯矩方程 取距A点(坐标原点)为处的任意截面，则梁的剪力方程和弯矩方程为：图8-1221-(3)画剪力图和弯矩图 由式(1)可见，()是 的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是一条斜直线，给出两点可得：当 时当 时 根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图8-12()所示。
由式(2)知，()是 的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值，方可描绘出曲线的大致形状：22-当 时 当 时 当 时 图8-13 根据上述结果，画出弯矩图，如图8-12()所示从上面的剪力图和弯矩图中可得出结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；在剪力等于零的截面上弯矩有极值23-例8-5 如图8-13(a)，一简支梁受集中荷载 作用，试画出梁的剪力图和弯矩图解:(1)求支座反力由梁的整体平衡得：(2)列剪力方程和弯矩方程 梁在 处有集中力作用，故 段和 段的剪力方程和弯矩方程不相同，要分段列出段：在距 端为 的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为：24-段：在距 端为 的任意截面处假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为：25-(3)画剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图:图：段剪力方程 ()为常数，其剪力值为 ，剪力图是一条平行于 轴的直线，且在 轴上方段剪力方程 ()也为常数，其剪力值为 ，剪力图也是一条平行于 轴的直线，但在 轴下方画出全梁的剪力图，如图8-13(b)所示。
图：段弯矩 ()是 的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只要计算两个截面的弯矩值，就可以画出弯矩图:当 时，当 时，26-根据上述计算结果，可画出 段弯矩图段弯矩 ()也是 的一次函数，弯矩图仍是一条斜直线当 时，当 时，由上面两个弯矩值，画出 段弯矩图整梁的弯矩图如图8-13(c)所示27-从上述剪力图和弯矩图中可得结论：（1）在无荷载作用梁段，剪力图为平行直线，弯矩图为斜直线；（2）在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致例8-6 如图8-14(a)所示，一简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图解：(1)求支座反力 由梁的整体平衡得：28-图8-14(2)列剪力方程和弯矩方程 梁在 截面处有集中力偶 作用，应分两段列出剪力方程和弯矩方程段：在 端为 的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为：(1)(2)29-段：在 端为 的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则列出剪力方程和弯矩方程为：(3)画剪力图和弯矩图 图：由式(1)、(3)式可知，梁在 段和 段剪力都是常数，其值为 ，故剪力是一条在 轴上方且平行于 轴的直线，画出剪力图如图8-14(b)所示。
3)(4)30-图：由式(2)、(4)式可知，梁在 段和 段内弯矩都是 的一次函数，故弯矩图是两段斜直线画出弯矩图如图8-14(c)所示由上述内力图可得出结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩31-第四节 利用微分关系绘制内力图一、剪力、弯矩和荷载集度三者之间的微分关系 上一节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点，现进一步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度三者之间的关系如图8-15(a)所示，梁上作用有任意的分布荷载 ()，设 ()以向上为正现取分布荷载作用下的一微段 作为研究对象，如图8-15（b）所示图8-1532-考虑微段的平衡，由 得：整理得：（8-4-1）得结论一：梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度再由 得：经过整理得：（8-4-2）33-结论二：梁上任一横截面上的弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪力这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力将式(8-4-2)两边求导，可得：（8-4-3）结论三：梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。
这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度因此可以由分布荷载集度的正负来确定弯矩图的凹凸方向二、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图34-1无荷载梁段，即 时，弯矩图是一条斜直线2均布荷载梁段，即 常数时，是 的二次函数，即弯矩图为二次抛物线这时可能出现两种情况：时，抛物线下凹；时，抛物线上凸，如图8-16所示图8-16 利用上述荷载、剪力和弯矩三者之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：35-(1)分段，即根据梁上外力及支座等情况将梁分成若干段；(2)根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；(3)利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的值和值；(4)根据值和值逐段直接绘出梁的剪力图和弯矩图例8-7 一外伸梁，梁上荷载如图8-17(a)所示，已知 ，利用微分关系绘出梁的剪力图和弯矩图解：(1)求支座反力图8-17(2)根据梁上的外力情况将梁分为 、和 三段36-(3)计算控制截面剪力，画剪力图如图8-17（b）所示。