1,§5.3 δ函数 前面我们定义的傅立叶变换要求满足狄里希利条件，那么对一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃函数等无法确定其傅立叶变换这无疑限制了傅氏变换的应用 所以，我们引入广义傅立叶变换概念，即δ函数及其相关函数的傅氏变换，δ函数的傅氏变换在求解数理方程中有着特殊的作用这里先介绍其有关基本定义和性质2,一、定义： δ函数是历史上最早出现的广义函数，由狄拉克提出，为描述集中量的分布密度而引入，是数学物理中非常重要的概念 例如：空间中的点源：质点、点电荷、作用于一点的力等； 时间中的瞬时源：瞬时力、脉冲电流、电压等狄拉克函数 时、空间隔趋于零， 密度等趋于无穷大,3,定义： 且 δ函数的量纲是1/[x]，相当于集中量的密度函数；与古典函数定义不符(古典意义下，几乎处处为零的函数的积分为零) 因此， 分别表示m、q的线密度和作用于瞬时t0，冲量为k的瞬时力4,二、δ函数的性质： 1. 偶函数： 且 2. 称为阶跃(亥维赛单位)函数,5,H(x)是δ(x)的原函数 δ(x)是H(x)的导数 3. 选择性： f(t)在(-∞, ∞)上连续； 意义：将f(τ)在τ=t0的值挑选出来 4. 连续分布量的δ函数表示(δ的一个应用) 其中 是 内，力f(t)的冲量，因此,6,可将 视为瞬时力，将持续力看成是许多瞬时力的前后相继作用，即迭加。
三、δ函数为一种广义函数 由广义函数理论，δ函数的确切意义应在积分意义下理解 可理解为某种通常函数的极限 例：几个含参变量普通函数,7,上述极限不存在，但在积分意义下均等于1，均可作为δ函数的定义式8,四、δ函数的傅立叶变换 δ函数本身不满足变换条件，理解为某些通常函数傅立叶变换的极限→广义傅立叶变换 因此 可作为δ函数的积分的定义 或,9,同理 例：验证上节例2的频谱B(ω)(图5-4)于N→∞时就成为 ,并解释结果的物理意义P89习题1),10,例2：由2N个(N是正整数)正弦波组成有限的正弦波列，研究这一有限正弦波列的频谱11,图是 衰 减的正弦曲线 解：,12,当N→∞时，令k=2πN/ω0，即k→∞，有限个正弦波列便成为无限的正弦波列则：,13,所以对于无限正弦波列，它的频谱成为两条线，一条位于ω=ω0处，另一条位于ω=-ω0处，振动成为单一圆频率ω0的振动。