中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ COMSOL Multiphysics求解器中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 内容安排•求解器基础理论直接求解器、迭代求解器 •研究类型稳态、瞬态、特征值、频率域、参数 的 •求解器配置 • 操作特侦、属性特征、实用特征 •作业配置参数化作业、批处理作业、集群运算中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 有限元法• 有限元法处理偏微分方程（PDE），并把它转换成离散的 线性代数方程系统。
•矩阵 K 称为刚度矩阵 (stiffness matrix) •u 是解变量，也称为解向量 (solution vector) •F是载荷向量 (load vector) •u的长度称为自由度数目（DOF）中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 稳态求解器•自动检测非线性 •非线性问题：变量及其函数出现在： – 材料参数 – 约束条件•矩阵 K 称为Jacobian矩阵（=非线性刚度矩阵）中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 稳态求解器• 性代数中： – 线性问题：Ku=F – 非线性问题：K(u)u=F • 直接线性求解器通过一步转化矩阵u=K-1F • 非线性求解器逐步迭代到正确解 – K(u0)u1~F, K(u1)u2~F, K(u2)u3~F, … , K(un)un+1~F 直到满足|un-un+1|<容差 – n为迭代次数 – 在每一迭代步骤中使用“规则的”线性求解器， 线性求解器嵌套在非线性求解器中非线性求解器线性求解 器容差?中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 线性求解器•直接求解器 – MUMPS, SPOOLES, PARDISO等 – 易于使用，鲁棒性，占用内存大 – 适于处理小规模问题，高度非线性和多物理场问题•迭代求解器 – GMRES, FGMRES, Conjugate Gradient, BiCGSTAB等 – 占用内存少，更多的选择，调整比较困难 – 应用于特定的物理场，如，EM，CFD等 – 需要预处理器，网格框架，平滑器等中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 直接线性求解器•直接线性求解器通过一步“求逆”得到结果u=K-1F： – 把Ku=F分解成LUu=F，所以L和U是容易求逆并且具有鲁棒性 – u=U-1L-1F – 等同于Gaussian消去法•优点：鲁棒性强 •缺点：内存开销大中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 直接线性求解器•MUMPS – 使用预序算法转置列，从而减少填充项 – 支持多线程，使用MPI指令支持分布式内存结构 – 数据的内外存利用 •SPOOLES – 利用对称矩阵，支持多线程 – 使用预序算法转置列，从而减少填充项 •PARDISO – 利用对称矩阵 – 使用内存比SPOOLES少 – 共享内存式并行处理 – 在矩阵分解过程中不需要选主元从而节省内存，这导致不精确的因子 – 由于支持并行的折中处理，不是100%的鲁棒性中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 迭代求解器• 对于规模较大的问题（单元数多，自由度大），直接求解 器计算会出现内存不足• 矩阵分解是很耗内存的 – L和U比K具有更多的非0元素• 如何避免分解？ – 迭代求解器： • 不形成L和U • 精细的迭代策略 • 对每一步测试是否r=Ku-F~0（即是否左侧等于右侧） – r 称为残差(residual)中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 迭代求解器和预处理器•为了在合理的计算时间内达到收敛，迭代求解器需要一个好的初始估 算值 – 利用预处理器•预处理器M是K的近似值，预处理后的系统变为 M-1Ku=M-1F Au=B A=M-1K, B=M-1F•预处理后的系统收敛较快，Au=B 比 Ku=F 更容易（快）求解•通常，迭代方法根据前面的残差（r=Ax-b）对u进行较小的改变中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 迭代线性求解器•GMRES– 在前面所有搜索方向上最小化残差，直到重新开始 – 如何调整重新求解前迭代步数（默认为50） • 更节省内存 --- 减小 • 得到较好的鲁棒性 --- 增加 •FGMRES – GMRES的一个灵活的变种 – 能有效地处理更多类的预处理器 – 比GMRES开销2倍多的内存 •Conjugate Gradient– 对称正定问题 – 在计算时比GMRES更快、内存使用效率更高 •BiCGStab– 使用双共轭梯度稳定迭代算法 – 在计算时比GMRES更快、内存使用效率更高中仿科技---专业信息化软件及技术咨询公司 www.CnT CnTech Co.,Ltd--- Leading Engineering Virtual Prototyping Solutions Provider info@ 预处理器•不完全 LU （Incomplete LU）– 最具有鲁棒性 – 内存要求大•代数多网格 （Algebraic Multigrid） – 标量和松散耦合的多物理场问题 – 对Poisson问题非常有效•对角标度（Diagonal Scaling）– 简单，内存使用非常少 – 适用于椭圆或对角占优问。