久期的计算与应用久期的计算与应用 胡志强 马文博 赵美娟 久期概念与现代久期模型的介绍 久期的计算机计算 久期缺口模型的计算与应用 久期概念与现代久期模型的介绍 久期的来源 Macaulay（1938）研究铁路债券的平均还款期限时，提 出了久期的概念久期的概念和剩余期限近似，但又有 别于债券的剩余期限在债券投资里，久期被用来衡量 债券或者债券组合的利率风险，它对投资者有效把握投 资节奏有很大的帮助，在被逐渐引入对债券等产品的分 析中后，目前已在金融债券市场上广泛应用 1、麦考利久期 麦考利久期（Macaulay Duration），是债券平均有效期的一个测 度使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间它是债券 在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现值在债券价 格中所占的比重 Ct ：债券在第t期所能带来的现金流收入 T ：债券的期限 PB ：债券的价格 y ：债券的到期收益 久期是债券平均到期时间的有效度量久期是债券平均到期时间的有效度量 B T t t t P y C t MacD 1 • 债券价格的公式： 求P关于y的导数： 等式两边除以1/P： 久期： 久期是衡量债券利率敏感性的有效度量久期是衡量债券利率敏感性的有效度量 T t t t y C P 1 1 T t t t y tC ydy dP 1 11 1 T t t t y tC Pydy dP P 1 1 1 1 11 T t t t y tC P D 1 1 1 Macaulay久期的性质： • 附息债券的Macaulay久期一般小于它的到期时间,而零 息债券的Macaulay久期与它的到期时间相等。
• 息票率越高，Macaulay久期越短；息票率越低， Macaulay久期越长 • 债券的Macaulay久期随着到期收益率的上升而变短 • 债券的到期时间越长，Macaulay久期越长 • 久期最重要的性质是可加性若资产组合有N项资产， 则将每项资产久期乘以其权重后相加就可到得到资产组 合的久期 B T t t t P y C t MacD 1 1 2、修正久期（Modified Duration） 进行移项变换： Modified Duration T t t t y tC Pydy dP P 1 1 1 1 11 dy y D P dP 1 y D 1 dyDurationModified P dP 麦考利久期的局限性： •Macaulay久期模型暗含着收益率曲线平坦的假设， 但是现实中的收益率曲线还具有向上倾斜、向下倾 斜以及驼峰形等多种形态； •Macaulay久期模型只考虑了收益率曲线发生平行移 动这一种变动情况，然而不同时期的到期收益率对 某一市场影响因素的反应一般是不同的，即它们一 般会发生不同幅度甚至不同趋势的变化； •Macaulay久期模型只考虑了到期收益率发生微小变 动时，债券价格的相对变动与到期收益率变动之间 的线形关系。
现代久期模型 1、F-W久期模型 Fisher和Weil于1971年在他们的关于免除风险的学术论文 中提出了F-W久期模型，用未来利率的估计值来对现金流折 现，其公式为： F-W久期用每一期限的利率估计值来对未来现金流折现，从 而避免了收益率曲线平坦的假定，比传统的Macualay久期 更贴近现实但是，仍隐含了收益率曲线的平行移动 P rrr Cn rr C r C D n WF 11111 2 1 1 21 1 21 1 1 1 2、有效久期 1993年，Frank Fabozzi提出了有效久期的思想所谓有效 久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动 的百分比它直接运用不同收益率变动为基础的债券价格 进行计算有效久期的公式为: RRP PP Deff 0 3、基于期限结构非平行移动的久期模型 平行移动意味着收益率曲线的每一点都以相同的方向和 相同的数量发生移动但平移的收益率曲线在现实中几 乎难以见到，更常见的是收益率曲线的形状和斜率都发 生变动 常见的久期模型：随机久期模型、方向久期模型、主成 分久期模型等。
久期的计算机计算 公式法 EXECl有两个久期公式:DURATION()和MDURATION() DURATION （settlement,maturity,coupon,yld,frequency,[basis]） Settlement---指债券的结算日（也就是购买日）； Maturity---指债券的到期日； Coupon---指债券的息票率； Yld---指债券的到期收益率； Frequency---指债券每年付息的次数； Basis---指“天数计算基准”（也就是一年的天数） 0或缺省：美国（NASD）30/360；1：实际天数/实际天数；2：实际天数/360； 3：实际天数/365；4： 欧洲30/360 例子： 1.我们取当前时间为两只债券的结算日，即2015-5-04； 2.基准我们选取0或缺省； 3.按两只债券的基本资料我们推算出债券的到期日：国债 0213（100213）剩余天数为2.3836（剩余年限）*360=858 天，即到期日为2017-9-20； 4. 国债0213（100213）每年利息支付次数为2次； 发行额(亿元)240.00发行价(元)100.00期限(年)15 年利率(%)2.60计息日3.20、9.20到期日2017-09-20 债券类型固定付息方式半年付类别固定 剩余年限(年)2.3836应计利息0.33全价(元) 99.015 到期收益率(%)3.18修正久期NaN凸性NaN Duration2.313905128Duration2.313905128 Mduration2.27768986Mduration2.27768986 数据来源：锐思数据/ 或和讯债券/国泰安/等 影响久期的几个因素 影响债券久期的因素主要有：到期收益率、息票率、到 期期限。
久期缺口模型的计算与应用 1、久期缺口 假设商业银行共有m项不同种类的资产A1,A2,.,Am,以DAj 表示第j项资产Aj的久期，以PAj表示第j项资产Aj的市场价 值，则: 若商业银行有n种不同的负债 L1,L2,…,Ln,以DLi 表示第i项 资产 的久期，以PLi 表示第i项资产 的市场价值，则: m j AjjA DWD 1 mj P P W A A j j ,, 2 , 1, n i LiiL DWD 1 • 银行权益的变动： 将资产和价格的负债变动用久期表示： 记Dgap为久期缺口（Duration Gap），则定义： LAE PPP )1 ( )1 ( )1 ()1 ( r r PKDD r r P P P DD r r PD r r PDP ALA A A L LA ALAAE KDDD LAgap r r PDP AgapE 1 dy y D P dP 1 (1) A AAA A r PD P r Reivew: •久期缺口为正时，权益的变动和利率变动成反向 关系 •久期缺口为负时，权益的变动和利率变动成正向 关系 商业银行净值的变动与利率的变动之间存在着显著的 比例关系，其变动的大小取决于久期缺口和总资产的 大小以及利率的变动。
当其它条件一定时，久期缺口 越大，利率变动对商业银行净值的影响越大，利率风 险也就越大同时，当其它条件一定时，大银行的利 率风险比小银行的利率风险要大 久期缺口模型的缺陷： •久期缺口模型中的利率无法确定 •久期缺口模型无法度量资产和负债利率波动幅度不同时 的利率风险，从而极大地限制了久期缺口模型的可用性 修正的久期缺口模型： L L L A A Agap r r KD r r DD 11 ' (1)(1) AL EAALL AL rr PDPDP rr () 11 AL ALA AL rr DDKP rr ' EgapA PDP 2、修正久期缺口模型的计算机实现 资产金额负债与股东权益金额 现金和存放在其它 银行的活期存款 资产金额负债与股东权益金额 现金和存放在其它 银行的活期存款 41.52活期存款1291.76 一般性商业贷款一般性商业贷款 定期存款 6个月贷款个月贷款220.681年期存款1389.23 1-3年期贷款年期贷款582.132年期存款893.21 3-5年期贷款年期贷款571.313年期存款143.74 5年期贷款年期贷款1222.925年期存款62.92 5年以上贷款年以上贷款1018.80股东权益328.77 国库券国库券452.27 合计合计4109.63合计4109.63 数据来源：年报 • 只有未来一次付款时，久期等于到期期限，因此，6 个月贷款、1年期贷款、8年期零息国库券、1年期存 款的久期分别等于各自的到期期限。
• 1-3年，3-5年，5年以上贷款分别取其平均期限，即2 年，4年，7年 • 各项资产和负债的价值按市场价值来计算，其使用的 贴现率分别采用贷款或存款的即期利率 • rA,rL分别采用资产和负债的加权平均利率 6个月以内 （含6个月） 6个月至1年 （含1年） 1年至3年 （含3年） 3年至5年 （含5年） 五年以上 贷款基准利率6.577.477.567.747.83 半年1年期2年期三年期5年期 存款基准利率3.784.144.685.405.85 数据来源：央行利率 假设： •所有利息按年支付，活期存款不支付利息 •现金等不产生利息，且所有存贷款均不存在违约情形 1、计算单项资产（以5年以上的贷款为例）、单项负债 （以5年期存款为例）的久期 2、计算资产和负债的加权久期 3、计算资产和负债的加权平均利率水平和加权利率调整 额 4、计算修正久期缺口 资产的加权久期 资产金额久期权重久期资产金额久期权重久期*权重 现金和存放在其它 银行的活期存款 权重 现金和存放在其它 银行的活期存款 41.5200.010 一般性商业贷款一般性商业贷款 6个月贷款个月贷款220.680.50.05370.0268 1-3年期贷款年期贷款582.131.930.14170.2734 3-5年期贷款年期贷款571.313.590.1390.4991 5年期贷款年期贷款1222.924.380.29751.3034 5年以上贷款年以上贷款1018.805.640.24791.3982 8年期国库券年期国库券452.2780.110.8804 合计合计4109.63 14.3813 负债的加权久期 负债与股东权益金额久期权重久期负债与股东权益金额久期权重久期*权重 活期存款 权重 活期存款1291.7600.31280 定期存款定期存款 1年期存款年期存款1389.2310.33880.3388 2年期存款年期存款893.211.960.21780.4269 3年期存款年期存款143.742.850.03510.0999 5年期存款年期存款62.924.500.01530.0691 股东权益股东权益328.7700.08020 合计合计4109.63 10.9347 资产的加权平均利率和加权利率调整额 资产权重利率（资产权重利率（%） 利率 。