第4讲 平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．例 (1)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于( )A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6答案 B解析 由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋，由＝，得＝(－)，整理得＝－，∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于( )A.B.C.D.答案 A解析 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝.(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，＝，＝n，则n的值为________．答案 解析 因为O是重心，所以＋＋＝0，即＝－－，＝⇒－＝(－)⇒＝＋＝－－，＝n⇒－＝n(－)⇒＝n＋(1－n)，因为P，O，Q三点共线，所以∥，所以－(1－n)＝－n，解得n＝.“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0.(2)若O为△ABC的外心，则sin2A·＋sin2B·＋sin2C·＝0.(3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0.备注：若O为△ABC的内心，则sinA·＋sinB·＋sinC·＝0也对．(4)若O为△ABC的垂心，则tanA·＋tanB·＋tanC·＝0.1．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为( )A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3答案 C解析 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为( )A.，B.，C.，D.，答案 A解析 根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A.3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．答案 解析 根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，平方得2＝4x22＋4y22＋8xy||·||·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以||＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0
