§2.1 复变函数的概念、极限与连续性 1. 复变函数的概念定义定义2.1 设E为一复数集.若对E中的每一个复数 ,按照某种法则f有确定的一个或几个复数 与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数），记作 .通常也称w=f(z)为定义在E上的复变函数，其中E称为定义域，E中所有的z对应的一切w值构成的集合 称为f(z)的值域，记作 f(E) 或G. 若z的一个值对应着w的一个值，则称复变函数 f(z)是单值的；若z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，则称复变函数 f(z)是多值的. 复数z=x+iy与 w=u+iv分别对应实数对 (x,y)和 (u,v)，对于函数w=f(z)，u、v为x、y 的二元实数函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y) 函数w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1对应于两个实函数 u=x2-y2+1和v=2xy. 对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以理解为两个复平面上的点集之间的映射，具体地说，复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系： 其中w称为z的像，z称为w的原像. 例2.1 函数 将z平面上的直线 x=1变成w 平面上的何种曲线？ 解： z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线 设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.若对于G中的任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，则在G上确定了一个单值或多值函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数. 2.复变函数的极限 定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|
可见2Lnz与Lnz2的实部相等，但虚部的取值不完全相同 2Lnz可能取值是Lnz2可能取值的一部分,所以等式Lnzn=nLnz不成立. 对数函数的解析性 对数函数 w=Lnz 的主值分支lnz=ln|z|+iargz，其实部ln|z| 在复平面上除去原点外都是连续的，虚部argz在负实轴和原点不连续 因为z=ew在区域 内的反函数w=lnz是单值的，所以由反函数的求导法则，有 lnz在复平面上除去原点和负实轴外处处解析. 同理可知，Lnz的各个分支在复平面上除去原点和负实轴外也是处处解析的. 3.幂函数定义2.9 函数w=za=eaLnz （z≠0,a为复常数）称为z的一般幂函数. 当a为正整数n时,w=zn;当a为分数 (n正整数)时， 与 即为通常的幂函数. 它是复平面内的单值解析函数. 对每个确定的k,函数对应着的一个分支. 函数的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上也是解析的，并且具有相同的导数 对于一般的幂函数 ，它也是多值函数，并且其各个分支在除去原点和负实轴的复平面上也是解析的. 当一般的幂函数 的底数z为一确定复常数b(b≠0)时，则ba=eaLnb称为乘幂.由于Lnb=ln|b|+iargb +2ki，所以乘幂ba也是多值的.例2.13 求下列各数的实部和虚部.解： (1) k=0,±1,…. (2) k=0,±1,…. k=0,±1,…. (3) 4.三角函数与反三角函数定义2.10 规定分别称为z的正弦函数与余弦函数.性质 (1)周期性：sinz与cosz是以2为基本周期的周期函数. (2)奇偶性：sinz为奇函数，cosz为偶函数.(3)欧拉公式在复数域中eiz=cosz+isinz也成立.(4)三角恒等式成立. (5) 解析性：sin z与cosz在平面上处处解析，且(sinz)=cosz, (cosz)=-sinz. (6) 无界性：复变函数sinz,cosz在复平面上是无界函数.取z=iy(y>0), 只要y充分大，cosy就可以大于一个预先给定的正数.其它三角函数定义如下: 例2.14 求函数cosz在z=1+i的值. 解： 三角函数可以用指数函数表示，由于对数函数是指数函数的反函数，所以反三角函数作为三角函数的反函数可以用对数表示.z=sinw 定义反正弦函数为 反余弦函数反余切函数反正切函数 例2.15 求函数Arcsinz在z=5的值.解： 例2.16 求函数Arctanz在z=2+3i的值.解： 5.双曲函数与反双曲函数定义2.11 规定并分别称它们为双曲正弦函数与双曲余弦函数. 性质 (1)周期性：shz和chz都是以2i为基本周期的周期函数. (2)奇偶性：shz为奇函数，chz为偶函数. (3)解析性：shz和chz在复平面上处处解析，且有 (shz)'=chz,(chz)'=shz.(4) shz、chz与sinz、cosz有如下关系： siniy=ishy, shiy =isiny , cosiy=chy, chiy =cosy .反双曲正弦函数反双曲余弦函数 。