??????? ?? ??工科数学 ?? ???? ??????? ????? ?? ? !? ????? ????? ? 达布定理的几种证明及应用叶效平?安徽师范大学?数学分析中著名的达布?? ?? ?‘? ?? ?定理的证明是徽分中值定理应用的一个典型代表,同时它本身又有许多很好的应用?本文集中概括了达布定理证 明的几种指导思想,并给出其若干主要应用,希望能引起正在学习高等数学的同志们的兴趣,并从 中得到点滴启发定理? ?达布定理?设? ? 幻在? ? ,习上可微,且尹?? ?笋尹?? ?,则对尹?? ?、尹?? ?之间的任何实数双不妨设尸????浇?尹????,存在右任??,吞?,使得广 “?一又?证法一取?二冬?‘并对??? ?,习,定义函数????? ? ? 一??簇?簇??????及,?,?一?严一?’砚???镇?簇??????易见??‘?,尹???均在? ?,?〕上连续,且当????,??时,???????月???《?现作辅助函数?????,????????有??????????? 卜口???一???以一“? 一???????一???尹????????及???????????召一吞一??七一????一??? 一?????一??”尹??? ?????因此????在〔?,占〕上连续,且?????孟?????。
据 连续函数 介值性,存在?任??,吞?,使‘??一????? 一??? 一? ?,则有??吞?及二粤势五?一,再利用微分中值定理,存在 ??二??一“口 ??,??,使尹?右 ??孟?这个证法的指导思想是把导函数的介值性间题转 化为某个连续函数的介值性问题瓦尔特·鲁丁??? ??? ???? ???〔?〕?以微分中值定理为纽带,巧妙地构造了这种函数?下 面的证法 墓于同一指导思想,但 其相 应连续函数的构造更为简单而 易于理解,能体现构造辅助函数以应用微分中值定理证题的特点和高度技巧性一?????、,“‘?‘,?‘一? 匹芯一刃码?,一一? 不花下一‘?月洲大尔,小”二钾日阳,当孟????一???? ?一?时,直接应用?? ?? ?? ??定理即得证当,扩二牛卒丝时,孔?二,二二丁 “一“?广???,二?????? 一????,?????则????任???,?〕,且?????尸????浇?????一?????一??????,据??二?在??,?〕上介值性,存在?任??,??,使得??? ???? 一????二决冷存在右任??,???? ???,??使得尹?匀???二 一???? 一二二成 两一“???叶效平达布定理的几种证明及应用????? 一??之?? ???一? ????,,。
一一书丁丁二丁一一 匀“夕一不几一? 盯,作?吸二,“??“一‘飞?????,,??二???二? 仿上同样得证?以下几种证法是证 明特殊情形?浇一? ?的达布定理的一般情形下,只须令??力二? ?? ?一肠就可化为这种特殊情形定理?设?? !在[ a,司上可微,且 f’(a )o故必存在古>o,使得在点a的右邻域( a,a +的内f ( x )0知必存在石〔 (a, b)使f(b) f(a)时,类似地利用广(a)f (x:)且 f(,户> f(之:)当 f(x、)二f(x3)时,存在右任二,,二3)仁 ( a,b ),使f’(匀~当 f(xl》笋f(x3)时,或是f (x:)介于 f( x:), f( x3 )之间存在城任( x:,二,)使得f (x;)~f( x1) (x:存在泞任(a,尹)C(a, b),使尹(f)“o现在转 向达布定理的一些主要应用:推论1:若 f ( x )在[ a,司上可微,则尹(x )在[ a,习上不可能有第一类不连续点证:倘若不然,日e〔a,习是尸(x )的一个第一类不连续点.若c任( a,b ),不妨设尹(‘一0 )>尹(),任取实数r,,,使得 f’(:+0 ) 。
使得(‘一占,‘+a)〔(a, b)且当x〔 (c一 a,c )时,尸(x)>s,当x任 (c,e +a)时,尹(x) f肠)这与f(a)(f(b)矛盾下面再给出达布定理的一种典型的用法一尸,二,_队~ ~~~一,、,,十b、,1,,,、,,廿明4卫泛J灭 X 少士上La边」工二砂「川 1武,州月 于刁士C匕、a,O夕1义j寻 J叻, ~J火“夕十J、一下厂‘少十言丁J叹曰又口一“夕- “任.,二,~,,、山八‘,a +b、,,,a十b,、1比田.了1 aylo rZ犷丁、7丁力洲于月 上‘l仁了气a,一. 万一,,‘2亡L一一万-,o少,自‘使得,(a)一f(宁) +,(宁) (一守l ) +六二(宁) (一互子)2+六二(1) (一守)3 f ()一f (华) +尹(华) (牛拌)十兴六华) (导)2+兴产() (导):‘乙寿‘ !乙乙JJ‘一潦,,,,、,,、,,a +b)、,,、.1 中日吐峨1寻 J气O少~J叹a少十J气-一下-少气D一a夕一卜言丁. “任产(右, )+户(右:)·( b一a)(a(开或 闭)或半开半 闭的每个点都是光滑的,则称 f ( x )为上光滑函数显然 f( x)在x。
可微,则它在x是光滑的,但反之不真例如,f (x )=sg nx在x=o光滑,但在x~不可微,可见连续而且光滑的条件要弱于可微的条件,然而齐格蒙在其著名的毕业论文(见〔2]中定理 3 )中却证 明了下述定理定 理3设 f(x )在[ a,司上连 续且光滑,则在 [ a,习的一个稠密子集E上,尸(、 :)存在且有限‘价、且 f’(户在E上具有性质D (介值性),即:对任何口,夕任E(a<户及介于尸(的、广(户之间的任何实数只,存在泞‘( a,户自E,使广(自一只詹文正解析函数在非孤立奇点邻域内的特性齐格蒙把这个推广的达布定理用于Fo ur ier级数 的研究中,得到一系列结果例如:系数满足条件a,=o(与, b一·(青)的三角级数警+旦‘a·‘O一+“’‘n x,其和:( x)在其收敛点集E上具有性质D进而推出:或f ( x )的F加r ie r级数处处收敛,且Fo ur ier系数满足条件a,一(价,、一(知,则f ( x环能有第一类不连续点.参考文献〔1〕walterRudin.Prinei ples ofMathematieal Anal”15〔幻A.Zymund.Smooth Funetion解析函数在非孤立奇点邻域内的特性詹文正(海军大连舰艇学院)〔 摘要〕 本文证明了解析函数在非孤立奇点领域内具有在本性奇 点领域内一样的特性。
众所周知,如果a是 f(z )的本性奇点,则 f(z ) 在a的领域内具有如下特性:维尔斯特拉斯定理若a为f(z )的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有 限数还是无穷,都有一个收敛于“的点列{石 },使得l imf(2.) =A、一‘ 本文通过下列引理、定理,将证明解析函数在非孤立奇点领域内具有在本性 奇点领域内一样的特性定义若a是单值函数f(z )的极点的聚点,则称a为f(z )的非孤立奇点引理1设a为单值函数f(z )的非孤立奇点,若对某一有限数A,在a的充分小去心领域D: <}z一司<·内,有 f ( z )灿则 g h ( z )布佘万在D内解析·证由定义知,a为f(z )的极点的聚点设G为 f(z ) 在D内的极点之全体所构成的集合,则对于任意二〔D,有(1)z百G, (2)z任G当z百G时,因为D是a的充分小去心领域,易知f(z )一 A在z点解析,从而必(z )在z点解析当z任G时,记2.=z因为之.是f(z ) 的极点,所以 f(习 在二.点的某去心领域K一{z’}内能表成f(z) ~几(z)(z一2.).(其中孟(z)在z“点领域 内解析,,》l,人(2.)笋0)从而价(z),(z一z每),之(z)一 A (z一2.)旧且必(幻在去心领域K一{ z.}内解析.定义砂(二’)~。
则在2.这一点,有(z一艺“)们必(z)一沪(z’)_孟(z)一 A (z一z‘ )’z一2.2一2.(z一z“),一’孟(z)一 A (z一z备).所以。