求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如a 2 = pa 1 + qa （p, q是常数）的数列形如a = m ,a = m ,a = pa + qa （p, q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项1 1 2 2 n+2 n+1a，其特征方程为x2 = px + q…①若①有二异根以,P，则可令a =can + c Pn（c ,c是待定常数） n 1 2 1 2若①有二重根a = P，则可令a = （c + nc ）a n （c , c是待定常数） n 1 2 1 2再利用a = m , a = m ,可求得c ,c，进而求得a .1 12 2 1 2 n例1.已知数列｛a ｝满足a = 2,a = 3,a = 3a - 2a （n & N*），求数列｛a ｝的通项a .n 1 2 n+2 n+1 n n n解：其特征方程为x 2 = 3x-2，解得x = 1, x = 2，令a = c・1n + c - 2n，1 2 n 1 2,[a = c + 2c = 2 c1 1由"=；+ 4c2 = 3，得"=1，二气=1 + 2n-1.V 2 1 2 [ 2 2例2.已知数列｛a ｝满足a = 1,a = 2,4a = 4a - a (n e N*)，求数列｛a ｝的通项a .n 1 2 n + 2 n +1 n n n解：其特征方程为4x2 = 4x -1，…… 1^ / \( 1 \n解得 x = x =—，令 a =(c + nc )-1 2 2 n 1 2 ^ 2)1a = (c + c ) x = 11 1 2 2，a = (c + 2c ) x = 22 1 2 43n - 2二 a = n 2n-1二、形如a =竺HB的数列n+2 Ca + D对于数列a = An^B， n+2 Ca + Da1 = m, n e N*(A, B, C, D 是常数且 C。
0, AD-BC0 )其特征方程为x = A^Cx + D变形为Cx2 + (D - A)x - B = 0…②若②有二异根a, P，则可令％1三=c -匚a （其中c是待定常数），代入a ,a的值可求 a -p a -p 1 2得c值.公比为c的等比数列，于是这样可求得气.这样数列］^^ \是首项为氏片［a - p J a - pn 11若②有二重根a=p，则可令 a — an+11 ... . ..—— + c （其中C是侍定常数），代入a「a2的值可 n求得c值.这样数列］是首项为，［a —aJ a —ann此方法又称不动点法.公差为C的等差数列，于是这样可求得气.例3.已知数列｛a ｝满足a = 2,a =年二(n > 2)，求数列｛a ｝的通项a .n 2a +1 n nn-1解：其特征方程为x = * + 2，化简得2x2 — 2 = 0，解得x = 1,x = —1，令 ~- = c .土—-2 x +1 1 2 a +1 a +14 1由 a = 2,得 a = 5，可得 c = — 3，数列［匕二］是以氏21 =1为首项，以-1为公比的等比数列，［a +1J a +1 3 33n — (—1)n.an 3n + (—1)n2a 1例4.已知数列｛a ｝满足a = 2,a =—n——(n g N*)，求数列｛a ｝的通项a .n 1 n +1 4a + 6 n n解：其特征方程为x = •'，即4x2 + 4x +1 = 0，解得x = x =— —4x+6 1 2 2由a = 2,得a =—，求得c = 1，1 2 14c 、数歹列V —j- >是以an + 22 ，、，一=5为首项，以1为公差的等差数列，1 2 3——=_ + (n -1)-1 = n — _，」5 5a + 2..a13 - 5n10n - 6。