2023年方程的价值_方程的历史发展及其科学价值 第三讲 方程 一、方程的历史发展及其科学价值 ㈠方程发展简史 公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的 1 ，等于19，求7 这个量另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的 3”古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数4 互为倒数，二者之差是7，求这两个数” 欧几里得几何《原本》中则有许多问题还要用到解二次方程 中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了许多关于方程的问题今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾实一秉各几何？”《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x,y,z的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源 希腊数学家丢番图《算术》中，探讨了一次方程、二次方程和个别三次方程，还探讨了大量的不定方程。
印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式 花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述 13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰运用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程 16世纪最宏大的数学成就是发觉了三次方程和四次方程的求根公式1515年，费罗用代数方法求解三次方程x+mx=n1535年塔塔利亚宣布自己发觉了形如x+mx=n的三次方程代数解法1545年，卡尔丹在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法三次方程 3 3 2 x3+px=q(p,q>0)的解法，实质是考虑恒等式(a-b)+3ab(a-b)=a3-b3，若选取a,b， 3 使得3ab=p,a3-b3=q，不难解出a=æqöæpöæqöæpö +ç÷+ç÷,b=-+ç÷+ç÷，于22è2øè3øè2øè3ø 2323 是得到a-b就是所求的x，后人称之为卡尔丹公式。
人们起先探讨一般的五次方程的解法欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明白一般的五次或五次以上的方程的根不行能用方程系数的根式表出 ㈡方程在中学数学中的地位和作用 中学阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领悟方程和函数之间的亲密关系以及代数方程与几何图形之间的亲密关系详细包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等 ㈢方程的科学价值 自学教材《中学代数探讨》P62~63 二、方程的定义 ㈠方程的几种定义 目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式但是，形如 sin2x+cos2x=1,(x+1)=x2+2x+1之类的等式难以界定 2 给出一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系好处在于 ①它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； ②陈述了“已知数”的存在，解方程须要充分利用已知数和未知数之间的关系； ③方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。
在高等数学中方程的定义：形如f(x1,x2,L,xn)=g(x1,x2,L,xn)的等式叫做方程，其中 f(x1,x2,L,xn),g(x1,x2,L,xn)是在它们定义域的交集内探讨的两个解析式，且至少有一个不是 常函数 ㈡方程的分类 ìì指数方程ïï ï超越方程ï对数方程 íï三角方程ïï ïïî反三角方程 ïììì一次方程ï ï 方程íïï 整式方程二次方程íïïïï ï高次方程有理方程ïíïïîïï代数方程í ï分式方程ïïïîïï ïï 无理方程ïïîî 三、一元方程的同解性 定义1 假如方程⑴f1(x)=g1(x)的任何一个解都是方程⑵f2(x)=g2(x)的解，并且方程⑵的任何一个解也都是方程⑴的解，那么方程⑴和⑵称为同解方程 两个无解方程认为是同解方程 定理1 假如函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域M中的数都有意义，那么方程⑴ f(x)=g(x)与方程⑵f(x)+A(x)=g(x)+A(x)同解 证 设x1ÎM，且有f(x1)=g(x1)，从而有f(x1)+A(x1)=g(x1)+A(x1)，即方程f(x)=g(x)的每一个解都是方程f(x)+A(x)=g(x)+A(x)的解。
假如f(x1)+A(x1)=g(x1)+A(x1)，由f(x1)+A(x1)-A(x1)=g(x1)+A(x1)-A(x1)， 可得f(x1)=g(x1)，即方程f(x)+A(x)=g(x)+A(x)的每一个解也都是方程f(x)=g(x)的解 这两个方程是同解方程 定理2 假如函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域M中的数都有意义，并且不等于零，那么方程⑴f(x)=g(x)与方程⑵A(x)f(x)=A(x)g(x)同解 定理3 假如F(x)=f1(x)f2(x)Lfk(x)，那么方程F(x)=0的解集等于下列各个方程： f1(x)=0,f2(x)=0,L,fk(x)=0 的解集的并集，其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集 定理4 假如f1(x)ºf2(x),g1(x)ºg2(x)，方程⑴f1(x)=g1(x)与方程⑵f2(x)=g2(x)的定义域都是数集M，那么方程⑴与方程⑵同解 四、几种常见方程的变形 在解方程时，除了利用同解变形外，有时还要作以下几种变形： ⒈方程fn(x)=gn(x)是方程f(x)=g(x)的结果；正整数n是对函数f(x),g(x)施行乘方运算的指数。
可能产生增根，如2x-1=3x+5 ⒉方程f(x)=g(x)是方程f(x)=g(x)的结果，不小于2的整数n是对函数f(x),g(x)施行开方运算的根指数（n为偶数时，f(x)³0,g(x)³0） ⒊假如g1(x),g2(x)不等于0，那么方程 f1(x)f2(x)g(x)g2(x) 是方程1的结果 == g1(x)g2(x)f1(x)f2(x) ⒋假如对于定义域中的数f1(x)¹g1(x)，且f2(x)¹g2(x)，那么方程 f1(x)+g1(x)f2(x)+g2(x)f(x)f2(x) 是方程1的结果 == f1(x)-g1(x)f2(x)-g2(x)g1(x)g2(x) ⒌方程f(x)=g(x)是方程lgf(x)=lgg(x)的结果 ⒍方程f(x)=g(x)是方程sinf(x)=sing(x)的结果 五、解方程的常用方法 ㈠换元法 例1 解方程(6x+7)(3x+4)(x+1)=6 2 解 令3x+ 7111 =y，则6x+7=2y,3x+4=y+,x+1=(y-)。
原方程变形为 2232 (2y)2(y+1)(y-1)=18 22 即 4y4-y2-18=0 解之得y= 2 921 ,y=-所以得到如下四个解 42 33 y1=,y2=-,y3=2i,y4=-2i 22 换回原来变量得到原方程的解 257272 x1=-,x2=-,x3=-+i,x4=--i 336363 对于形如fx,a2-x2=0或fx,x2-a2=0或fx,x2+a2=0的方程，可以引入三角代换使方程化为较简洁的三角方程来求解关键是使根号内的部分可以成为完全平方式，以便 去掉根号 形如a () ()() m f(x) ) n +bmf(x)+c=0的方程，可令y=f(x)，将方程化为关于y的整式方程 éf(x)ùéf(x)ùéf(x)ùég(x)ù+b+c=0形如aê或a+cê+b=0的分式方程，可令úêúêúú ëg(x)ûëg(x)ûëg(x)ûëf(x)û 2 u= f(x)2 ，化为一个整式方程au+bu+c=0。
g(x) 4 3 2 课堂练习1 解方程12x-56x+89x-56x+12=0 解 将方程表示为12(x4+1)-56x3+x+89x2=0 因为x¹0，将方程两端乘以 () 1 ，得 x2 11 12(x2+2)-56(x+)+89=0 xx 设x+ 11 =y，则x2+2=y2-2，从而有 xx 12(y2-2)-56y+89=0 由此得y= 513 或y= 26 由x+ 15113=或x+=解得 x2x6 132 x=2,,, 223 ㈡引入参数法 例2 已知实数x,y,z,u满意解法一 令 xyzux+y+z+u 的值 ===，求 yzuxx+y+z-u xyzu ====k，则x=ky,y=kz,z=ku,u=kx.所以 yzux x+y+z+u=k(x+y+z+u) 故 (x+y+z+u)(k-1)=0 于是x+y+z+u=0或k=1 若x+y+z+u=0，则 x+y+z+u =0 x+y+z-u x+y+z+u =2 x+y+z-u 若k=1，则x=y=z=u，所以解法二 令 xyzu ====k，则x=ky=k2z=k3u=k4x，所以k4=1，k=±1 yzux x+y+z+u4x ==2 x+y+z-u2xx+y+z+u0 ==0 x+y+z-u2k 若k=1，则 若k=-1，则 ㈢二项方程和三项方程的解法 形如x-A=0的方程叫做二项方程，解此方程就是求A的n次方根。