精品文档教师 訚威 学生 严斯文 上课时间学科 数学 年级 高三 教材版本课题 压轴题专题练习———放缩法重难点 数列与函数的放缩法的训练证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力， 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n2的值 ;(2)求证 :n 15 .例 1.(1)求k 14k 21k 1 k23教学过程奇巧积累 :(1)144211(2)1211n24n24n 22n 12n 1C n11 Cn2(n1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)1(3) Tr 1Cnr1n!11111 (r2)nrr! ( n r )! nrr!r ( r 1)r 1r(4) (11)n1 11115n2132n(n 1) 2(5)111(6)1n2n2 n ( 2n1) 2 n1 2 nn 2(7) 2(n1n )12(nn1 )(8)21111n2n12n32 n(2n1)2n 1( 2n3) 2n(9)1n1k11,n(n1k )111n1k (n 1 k )1k n 11kn1 k(10)n11(11)1222(n1) !n !(n1) !2(2n12n1)n2n 12n111nn22(11)2n2n2n2 n 111(n2)( 2n1)2(2 n1)( 2n1)(2n1)(2n2)(2n1)(2n 11)2n 11 2n1(12)111111n3n n2n(n1)(n1)n(n1)n(n1)n1n111n1n111n1n12nn1n1(13)2 n122n(31)2 n33(2 n1)2n2n12n12n32 n13(14)k211(15)1nn1(n2)k!(k1)!(k2)!(k1) !(k 2) !n( n1)(15)i 21j 21i2j2ij1ij( ij )( i21j 21)i 21j 21精品文档精品文档例 2.(1)求证 :111171( n2)3 25 2(2n1)262(2n1)(2)求证 : 111111(3)求证: 113 1351 35(2n 1)2n 1 1416364n22 4n224 24624 62n(4) 求证： 2( n11)1112 (2n 11)13n2例 3.求证 :6n11115( n 1)( 2n 1)49n23例 4.(2008 年全国一卷 )设函数 f (x)x x ln x .数列满足 0a1. af (a ) .an1n 1n设 b(a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1b .a1 ln b精品文档精品文档例 5.已知 n, m N , x 1, S 1m2m 3mn m ,求证 : nm 1 (m 1)Sn(n 1) m 11.m例 6.已知 an4n 2n ,Tn2n,求证 :3 .anT1 T2 T3Tna1 a22例 7.已知 x1 1 ,n(n 2k1, kZ),求证 :111xn2k , kZ )2( n 1 1)(n N *)n 1(n4 x2 x34 x4 x54 x2n x2n 1二、函数放缩例 8.求证： ln 2ln 3ln 4ln 3n3n 5n 6 (n N * ) .2343n6精品文档精品文档例 9.求证 :(1)2, ln 2ln 3ln n2n2n 1 (n 2)23n2( n1)例 10.求证 : 111ln( n 1) 11123n 12n例 11.求证 : (1)(1)(1)e 和111.111(1)(1)(13 2n )e2!3!n!981例 12.求证 : (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn(n 1)345n 1(n N*, n 1)4精品文档精品文档例 14. 已知1,an 1 (111 证明 an e2 .a1n2n)an2n .例 15.(2008 年福州市质检 )已知函数 f ( x) xln x. 若 a 0, b 0,证明 : f (a) (a b) ln 2 f (a b) f (b).例 16.(2008 年厦门市质检 ) 已知函数 f ( x) 是在 ( 0, ) 上处处可导的函数 ,若 x f ' (x) f ( x) 在 x 0 上恒成立 .(I) 求证：函数(III) 已知不等式g( 。