第四章中值定理与导数的应用本章的内容是微分学的应用，我们将利用导数逐步深入地去揭示函数的一些基本属性．为了便于研究，需要先阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础．§4.1 微分中值定理定义 4.1.1 设)(xf在0x 的某一邻域)(0xU内有定义，若对一切)(0xUx有),)((x)()()(00xffxfxf则称)(xf在0x 取得极小 ( 大) 值，称0x 是)(xf的极小 (大) 值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点．定理 4.1.1 （费马定理）若)(xf在0x 可导，且在0x 取得极值，则0)(0xf．证设)(xf在0x 取得极大值，则存在0x 的某邻域)(0xU，使对一切)(0xUx有)((x)0xff．因此当0xx时0)()(00 xxxfxf；而当0xx时0)()(00 xxxfxf；由于)(xf在0x 可导，故按极限的不等式性质可得0)()(lim)()(00 00 0xxxfxfxfxf xx及0)()(lim)()(00 000xxxfxfxfxf xx，所以0)(0xf．ox 0xybxoa若)(xf在0x 取得极小值，则类似可证0)(0xf．图 4 —1 费马定理的几何意义如图4-1 所示：若曲线)(xfy在0x 取得极大值或极小值，且曲线在0x 有切线，则此切线必平行于x 轴．习惯上我们称使得0)(xf的 x 为)(xf的驻点．定理 4.1.1 表明：可导函数)(xf在0x 取得极值的必要条件是0x 为)(xf的驻点．定理4.1.2 （罗 尔中 值定 理）若)(xf在],[ba上 连 续 ， 在),(ba内 可导 且)()(bfaf，则在),(ba内至少存在一点，使得0)(f．证因为)(xf在],[ba上连续，故在],[ba上必取得最大值M与最小值 m ．若Mm，则)(xf在],[ba上恒为常数，从而0)(xf．这时在),(ba内任取一点作为，都有0)(f；若Mm，则由)()(bfaf可知，点 m 和M两者之中至少有一个是)(xf在),(ba内 部一点取 得的 ．由于)(xf在),(ba内可导，故由费马定理推知0)(f．图 4 —2 yxx罗尔中值定理的几何意义如图4-2 所示：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x轴．例 1不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明0)(xf有几个实根，并指出它们所在的位置．解由于)(xf是),(内的可导函数，且0)4()3()2()1 (ffff，故)(xf在 区 间]4,3[],3 ,2[],2, 1 [上 分 别 满 足 罗 尔 中 值 定 理 的 条 件 ， 从 而 推 出 至 少 存 在)4, 3(),3 ,2(),2, 1(321，使得)3,2,1( 0)(ifi．又因为0)(xf是三次代数方程，它最多只有3个实根，因此0)(xf有且仅有3个实根，它们分别位于区间)4,3(),3 ,2(),2, 1(内．例2 设0 1...21 0naaan，证明多项式n nxaxaaxf...)(10在)1 ,0(内至少有一个零点．证令, 1...2)(121 0nnxnaxaxaxF则)()(xfxF，0)0(F，且由假设知0)1 (F，可见)(xF在区间]1 , 0[上满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在一点)1 ,0(，使得0)()(fF．即说明)1 ,0(是)(xf的一个零点．定理 4.1.3 （拉格朗日中值定理）若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则在),(ba内至少存在一点，使得abafbff)()()(． (1.1) 从这个定理的条件与结论可见，若)(xf在],[ba上满足拉格朗日中值定理的条件，则当)()(bfaf时，即得出罗尔中值定理的结论，因此说罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形．正是基于这个原因，我们想到要利用罗尔中值定理来证明定理 4.1.3. 证作辅助函数yxoC A B )(xfyxabafbfy)()(abxabafbfxfxF)()()()(，图 4-3 容易验证)(xF在],[ba上满足罗尔中值定理的条件，从而推出在),(ba内至少存在一点，使得0)(F，所以 (4.1) 式成立．拉格朗日中值定理的几何意义如图4-3 所示：若曲线)(xfy在),(ba内每一点都有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线上至少存在一点))(,(fC，使得曲线在C的切线平行于过曲线两端点A，B的弦．这里辅助函数)(xF表示曲线)(xfy的纵坐标与直线xabafbfy)()(的纵坐标之差，而这直线通过原点且于曲线过A，B两端点的弦平行，因此)(xF满足罗尔中值定理的条件．公式(1.1) 也称为拉格朗日公式．在使用上常把它写成如下形式))(()()(abfafbf．(1.2) 它对于ab也成立．并且在定理4.1.3的条件下 ,(1.2)中的ba,可以用任意),(,21baxx来代替，即有))(()()(2121xxfxfxf，(1.3) 其中介于1x 与2x 之间．在公式 (1.3)中若取xxxxx21,，则得xfxfxxf)()()(，或1)(0)()()(xxxfxfxxf，它表示xxxf)(在x为有限时就是增量y的准确表达式．因此拉格朗日公式也称有限增量公式．例 3 证明：若)(xf在区间I内可导，且0)(xf，则)(xf在I内是一个常数．证在区间I内任取一点0x ，对任意0,xxIx，在以0x 与 x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到))(()()(00xxfxfxf．其中介于0x 与 x之间．由假设知0)(f，故得0)()(0xfxf，即)()(0xfxf这就说明)(xf在区间I内恒为常数)(0xf．例 4证明： 若)(xf在],[ba上连续， 在),(ba内可导， 且0)(xf， 则)(xf在],[ba上严格单增．证任取],[,21baxx，且21xx，对)(xf在区间],[21xx上应用拉格朗日中值定理，得到211212, ))(()()(xxxxfxfxf．由假设知0)(f， 且012xx， 故从上式推出0)()(12xfxf， 即)()(12xfxf． 所以)(xf在],[ba上严格单增．类似可证：若0)(xf，则)(xf在],[ba上严格单减．例 5（导数极限定理）设)(xf在0x 连续，在)(0xUo 内可导，且)(lim0xf xx存在，则)(xf在0x 可导，且)(lim)(00xfxfxx．证任取)(0xUxo ，对)(xf在以0x 与 x为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到)()()(00fxxxfxf，其中在0x 与 x之间，上式中令0xx，则0x ．由于)(lim 0xfxx存在，取极限便得)(l i m)(l i m)()(l i m00000xffxxxfxfxxxxx．所以)(xf在0x 可导，且)(lim)(00xfxf xx．例6证明不等式xxxx)1ln(1对一切0x成立．证令)1ln()(xxf，对任意0x，)(xf在],0[x上满足拉格朗日中值定理的条件，从而推出至少存在一点),0(x，使得xffxf)()0()(．由于0)0(f， 11)(f，上式即1)1l n (xx．又由x0，可得xxxx11．因此当0x时就有xx xx)1l n (1．对于由参数方程)()()(ttyytxx所表示的曲线，它的两端点连线的斜率为)()()()(xxyy．若拉格朗日中值定理也适合这种情形，则应有)()()()( )()( xxyy xy dxdy t．与这个几何阐述密切相联的是柯西中值定理，它是拉格朗日定理的推广．定理 4.1.4（柯西中值定理）若)(xf与)(xg在],[ba上连续，在),(ba内可导且0)(xg，则在),(ba内至少存在一点，使得)()()()()()(gfagbgafbf．(1.4) 证，首先由罗尔定理可知0)()(agbg，因为如果不然，则存在),(ba，使0)(g，这与假设条件相矛盾．作辅助函数)( )()()()()()(xgagbgafbfxfxF．容易验证)(xF在],[ba上满足罗尔定理的条件，从而推出至少存在一点),(ba，使得0)(F，即0)()()()()()(gagbgafbff．由于0)(g，所以 (1.4)式成立．例7设)(xf与)(xg都是可导函数．当ax时，)()(xgxf．试证当ax时，不等式)()()()(agxgafxf成立．证因为当ax时，0)()(xfxg．即0)(xg时，所以)(xg在),(a内严格单增 (参见例 4)．故当ax时有)()(agxg，即0)()(agxg．对)(xf和)(xg在],[xa上应用柯西中值定理，得到xa gfagxgafxf,)()()()()()(．由此推出1 )()()()()()()()()()()()(gfgfagxgafxfagxgafxf．因此当ax时有)()()()(agxgafxf．§4.2 洛必达法则柯西中值定理为我们提供了一种求函数极限的方法．设0)()(00xgxf，)(xf与)(xg在0x 的某邻域内满足柯西中值定理的条件，从而有)()()()(gfxgxf，其中介于0x 与 x之间．当0xx时，0x ，因此若极限A gfx)()(l i m0，则必有A xgxfxx)()(l i m0，这里 )()(xgxf是0xx时两个无穷小量之比，通常称之为00型未定式．一般说来，这种未定式的确定往往是比较困难的，但如果 )()(lim0xgxfxx存在而且容易求出，困难便迎刃而解．对于型未定式，即两个无穷大量之比，也可以采用类似的方法确定．我们把这种确定未定式的方法称为洛必达法则．定理 4.2.1 ( 洛必达法则 I ) 若(1) 0)(lim0xf xx，0)(lim0xg xx；(2) )(xf与)(xg在0x 的某去心邻域内可导，且0)(xg；(3) )()(lim0xgxfxx存在， （或为） ，则)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx．证令,, 0),()(,, 0),()(0000 xxxxxgxGxxxxxfxF由假设 (1)， (2)可知)(xF与)(xG在0x 的某邻域)(0xU内连续，在)(0xU内可导，且0)()(xgxG．任取)(0xUx，则)(xF与)(xG在以0x 与 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，从而有)()( )()( )()()()(00 gf GF xGxGxFxF．其中在0x 与 x之间．由于0)()(00xGxF，且当0xx时),()(xfxF)()(xgxG，可得)()()()(gfxgxf．上式中令0xx，则0x ，根据假设 (3) 就有)()(lim)()(lim)()(lim000xgxfgfxgxfxxxxx．对于型未定式，也有类似于定理4.2.1 的法则，其证明省略．定理 4.2.2 ( 洛必达法则Ⅱ ) 若(1) )(lim 0xfxx，)(lim0xgxx；(2) )(xf与)(xg在0x 的某去心邻域内可导，且0)(xg；(3) )()(lim0xgxfxx存在， （或为） ，则)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx．在定理 4.2.1和 4.2.2中，若把0xx换成0xx，0xx， x， x或x时，只需对两定理中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立．例1求下列极限：(1) ;sinlim30xxxx(2) ;2coslim2xxx(3) ;1arctan2limxxx(4) xxxxxxln1lim 1．解由洛比达法则可得(1) 616sinlim 3cos1limsinlim 02030xxxxxxxxxx．(2) 11sinlim2coslim22xxxxx．(3) 11lim111lim1arctan2lim2222xxxxxxx。