第三章 线性控制系统的能控性和能观性 一、问题的提出 二、线性定常连续系统的能控性 三、线性定常连续系统的能观性四、离散系统的能控性与能观性五、控制系统能控性与能观性之间的关系六、传递函数矩阵的最小实现问题 一、问题的提出现代控制理论将系统由古典控制论的外部描述转换成内部描述所引发出的问题——状态变量的能控性和能观性1、所有状态X(t)是否都能受输入信号U(t)的控制；2、系统的所有状态X(t)是否都能通过输出信号Y(t)观测到；3、控制系统的能控性和能观性是采用现代控制理论方法设计高性能指标系统的必备条件 返回二、线性定常连续系统的能控性1、定义与性质 2、状态能控性的判别 3、状态能控标准型及其求取 4、状态不完全能控系统按能控性分解 5、 综合应用举例返回1、定义及其性质1）物理意义2）定义3）性质定理1）物理意义义状态的能控性是指系统的输入能否控制系统状 态的变化这一特性是由系统的状态方程唯一确定 的。
而系统输出能控是指系统的输入能否控制系统 输出的变化显然，这一特性是由系统的状态方程 和输出方程共同确定的电容上电压的不可控特性应用举例 ：p状态完全能控：对于线性定常系统 ，如果存在一个分段连续的控制信号u(t)，能在有限时间 内，使系统由某一个初始状态转移到指定的任一终止状态，则称此状态是能控的，若系统所有状态都能控，即状态向量在整个状态空间能控，则称系统状态完全能控，或简称系统是能控的p输出完全能控：对于线性定常系统 ，如果存在一个分段连续的控制信号u(t)，能在有限时间 内，使系统输出由某一个初始状态转移到指定的任意一个终止状态，则称此系统输出是完全能控的p能达性的概念： 如果存在一个分段连续的控制信号u(t)，能在有限时间 内，使状态由原点转移到任意一指定的终端状态可以证明线性系统的能控性与能达性等价2）定义3）性质定理定理一：线性定常系统状态完全能控的充要条件是满足下列等价条件之一。
p矩阵 是行线性无关的；p矩阵 是行线性无关的；p格拉姆矩阵 是非奇异的 p能控性判别矩阵 是满秩的，即 定理二：线性变换不改变系统的能控性定理三：线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：另有：若系统状态能控，则系统的输出必然能控反之不成立2、系统状态能控性的判别方法1)由A、B 阵唯一确定：能控性判别矩阵2)系统矩阵A为标准型时：p若A阵为对角型，则系统完全能控的条件是B阵中 没有全为零的行； p若A阵为约旦型，则系统完全能控的条件是B阵中 对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全 为零，B阵中对应于每个约旦块的最后一行不全 为零 注：对角阵上若元素相同，上述法则不成立 3)选择变换阵P，对原模型作线性变换，化A阵为对角 阵或约旦阵，对变换后的状态方程可以采用方法2 ）直接判别1) 研究能控标准型的意义：为简化反馈控制系统的设计奠定基础2) 单输入单输出系统能控标准型的形式及其求取形式：求取方法之一：n选择变换阵n取 作线性变换，再由 和 得能控标准型。
求取方法之二：由传递函数直接写出上述能控标准型 3）多输入多输出系统的能控标准型及其求取3、系统能控标准型及其求取3）多输入多输出系统的能控标准型及其求取p多输入多输出系统的能控标准型： 原多输入多输出系统的状态空间表达式为： 系统的特征多项式为 存在变换阵对其进行线性变换后得：则 为能控标准型p标准型的求取： 方法之一：找寻变换阵作线性变换； 方法之二：基于传递函数矩阵写能控标准型； 方法之三：借助于计算机软件规范模型多输入多输出系统的能控标准型：4、不完全能控系统按能控性的结构分解1) 分解的意义：便于进行系统性能分析以及反馈控制系统的设计 2) 能控分量个数n1的确定： 3) 分解后状态空间表达式的形式：其中n1维的能控子空间的状态方程为： 输出方程为：n- n1维的不能控子空间的状态方程为： 输出方程为：4） 分解方法 4) 分解方法（寻求变换阵） p 线性变换结构分解构造非奇异变换阵Tc，前n1列为能控判别阵UC中的n1个线性无关列，其中n1为能控判别阵UC的秩，后n-n1列为任意形式，只要保证Tc-1存在即可。
取 ，得 为分解后的形式p 对角标准型或约旦标准型的直接分解确定能控与不能控分量后展开成一阶微分方程组重新排列应用举例p状态空间表达式为对角标准型p状态空间表达式为约旦标准型[举例]：系统状态空间表达式为显然，系统状态x2(t)不能控对状态变量进行调整分解后得： 能控子空间的状态方程为：不能控子空间的状态方程为：[举例]：系统状态空间表达式为显然，系统状态x2(t)不能控对状态变量进行调整分解后得：能控子空间的状态方程为：不能控子空间的状态方程为：已知控制系统的状态空间表达式 1）判系统状态的能控性； 2）若完全能控，则求能控标准型； 3）若不完全能控则按能控性分解5、综合应用举例n判能控性 系统完全能控 n化能控标准型 n方法一：基于传递函数直接写出n方法二：基于变换阵求取n判状态的能控性： 状态不完全能控；n构造按能控性分解的变换阵：n对原状态空间表达式进行线性变换：三、线性连续系统的能观性1、定义与性质 2、状态能观性的判别 3、状态能观标准型及其求取 4、状态不完全能观系统按能观性分解 5、 综合应用举例返回1、定义与性质1）物理意义2）定义3）性质定理系统的能观性是指系统的状态（内部信息）是否 可以在有限的时间内通过系统的输出信号获得。
所以 ，能观性是研究系统状态与输出的关系，而与输入无 关故应该由A、B矩阵的结构来确定1）物理意义应用举例 ：c2c1R1R2电容上电压的不可观特性对于线性定常系统 ，若在任意初始时刻t0的状态分量 ，在有限时间 内，可由系统的输出y(t)唯一的确定出来，那么，称状态 在t0 时刻是能够观测的若系统的状态向量 都是能观测的，则该系统状态是完全能观的，简称能观几点说明：p能观测初值就能观测任意时刻值，因为有 ；p当输出维数与状态维数相等且C阵的逆存在时，状态的观测立刻可以获得，即：p当输出维数低于状态的维数，则观测需要一定的时间来确定，即： 表达式中由输出检测值求状态的初值，再由状态的初值得到状态在任意时刻的值 2）定义3）定理 定理一：线性定常系统状态能观的充要条件为下列等价条件之一：n矩阵 是列线性无关的；n矩阵 是列线性无关的；n格拉姆矩阵 是非奇异的。
n能观性判别矩阵 是满秩的，即 定理二：线性变换不改变系统的能观性2、系统状态能观性的判别方法 1) A、C 阵唯一确定：能观性判别矩阵 2） 若A为对角阵，则系统完全能观的充分必要条件是C阵中没有全为零的列；若A为约旦阵则系统完全能观的充分必要条件是C阵中对应于约旦块的第一列不全为零3 ) 通过线性变换化对角或约旦型后采用上述2）的方法判能观性3、能观标准型的求取1) 研究能观标准型的意义：为系统状态观测器的制作及反馈控制系统的设计奠定基础2) 单输入单输出系统能观标准型的形式：3）单输入单输出系统能观标准型的求取4）多输入多输出系统的能观标准型求取方法之一：n选择非奇异变换 ， n取 作线性变换，再由 ， 和 可以将任意形式的能观系统化成上述能观标准型求取方法之二：由传递函数 直接写出上述能观标准型 其中A阵由分母写出，B阵由分子写出，C阵见能观标准模式。
4） 多输入多输出系统的能观标准型及其求取n多输入多输出系统的能控标准型：原多输入多输出系统的状态空间表达式为 系统的特征多项式为存在变换阵对其进行线性变换后得：则则 为能观标准型n标准型的求取： 方法之一：找寻变换阵作线性变换； 方法之二：基于传递函数写能控标准型； 方法之三：借助于计算机软件规范模型[应用举例]：由传递函数矩阵可以直接获得状态空间表达式的能观标准4、系统按能观性的结构分解 1) 分解的意义：便于进行系统性能分析以及状态观测器的制作2) 能观分量个数n1的确定：3) 分解的结构形式 其中n1维能观子空间为： n-n1维不能观子空间为：4）分解方法4) 分解方法 n线性变换结构分解：构造一个非奇异变换阵TO，前n1行为能观判别阵VO的线性无关行，后n-n1行为任意形式，只要保证TO-1存在即可取 作线性变换，再由 ， 和 ，可以将任意形式的能观系统化成上述能观标准型nA阵为对角或约旦标准型的直接分解：确定能观与不能观分量后展开成一阶微分方程组重新排列。
n应用举例： 1) 已知 判能观性，求能观标准型解：判能观性：n=2，系统完全能观化能观标准型：求取变换阵化标准型依特征多项式化标准型系统的能观标准型为：2) 已知 判能观性，按能观性分解 5、综合应用举例例2：四、离散系统的能控性与能观性1、离散系统的能控性1) 能控性定义：如果存在输入信号序列 ，使得系统从第k步的状态x(k)开始，能在第N步上达到零状态，即x(N+1)=0，其中N为大于k的某一个正整数，那么称系统在第k步上是能控的如果对于每一个k，系统都是完全能控的，那么称系统是完全能控的2） 能控性判别定理 ：线性定常离散系统完全能控的充要条件是能控判别阵MC是满秩的2、离散系统的能观性1） 能观性定义：如果根据第i步及以后的观测值 ，能唯一地确定出第i步的状态x(i)，则称系统在第i步是能观的，若系统在任何一步都是能观的，则称系统是完全能观的2）能观性判别定理：线性定常离散系统完全能观的充分必要条件是能观判别阵NO是满秩的。
返回五、控制系统能控与能观性的关系1、对偶系统的概念2、单输入单输出系统的能控标准型和能观标准型为对偶系统。