九年级期中复习资料☞ 特殊平行四边形☞ 考点归纳归纳 1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（ ）A、30°B、60°C、90°D、120°归纳 2：菱形1 基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例 2】如图，已知 AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）．（A）△ABD 与△ABC 的周长相等； （B）△ABD 与△ABC 的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．归纳 3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2 2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例 3】如图，ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F．有甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 A﹣B﹣F﹣C 的路径行走至 C，乙沿着 A﹣F﹣E﹣C﹣D 的路径行走至 D，丙沿着 A﹣F﹣C﹣D 的路径行走至 D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A． 甲乙丙B． 甲丙乙 C． 乙丙甲 D． 丙甲乙中考1．下列命题是假命题的是（ ）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．2．已知四边形 ABCD，下列说法正确的是（ ）A．当 AD=BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形3 B．当 AD=BC，AB=DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形C．当 AC=BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形D．当 AC=BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形3．如图，菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（ ）A．3.5 B．4 C．7 D．144．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）3B．2 3C．2 66A．D．5．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？36．如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（ ）3A．1：2 B．1：3 C．1： 2D．1：3 57．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE= ，且4 ∠ECF=45°，则 CF 的长为（ ）510105A．2 10B．3 5C．3D． 38．如图，已知 E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形 EFGH 的面积为 cm2．9．菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0），∠DOB=60°，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E（0，﹣1），当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标为．10．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则 AE= ．11．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，则∠BED 的度数是．5 12．如图，四边形 ABCD、BEFG 均为正方形，连接 AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．13．如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE，PE 交 CD 于 F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．14．如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A2，…An 分别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）6 11A．n B．n﹣1 C．（4 ）n﹣1 D．4 n15．如图，矩形纸片 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，且 AE=1，BE 的垂直平分线 MN恰好过点 C．则矩形的一边 AB 的长度为（ ）A．1 B． 2 C． 3 D．216．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）A． 等腰梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形117．如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE= AB，将矩形沿3直线 EF 折叠，点B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接BP 交 EF 于点 Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①④18．菱形 ABCD 中，若对角线长 AC=8cm，BD=6cm，则边长 AB=cm．19．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，作 AF∥CE，BE∥DF，AF 交 BE 与 G 点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．7 求证：△EBC≌△FDA．☞ 一元二次方程☞ 考点归纳归纳 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 ，且系数不为 0 ，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式： ax ＋ bx+c=0(a ≠ 0 ）。
注意： 判断某方程是否为一元二次方2程时，应首先将方程化为一般形式例 1】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A ． ax ＋ bx+c=02B. k x ＋ 5k+6=02C.3x ＋ 2x+ =02D.( k ＋ 3) x ＋ 2x+1=022归纳 2：一元二次方程的解法1. 直接开平方法：对形如 (x+a ） =b （ b ≥ 0 ）的方程两边直接开平方而2转化为两个一元一次方程的方法X+a==-a+=-a-2. 配方法：用配方法解一元二次方程： ax ＋ bx+c=0(k ≠ 0 ）的一般步骤2是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1 ，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为 (x+ a ） = b 的形式；⑤如果 b ≥ 0 就可以用两边开平2方来求出方程的解；如果 b ≤ 0 ，则原方程无解．8 3. 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b － 4ac ≥ 0) 2步骤：①把方程转化为一般形式；②确定 a ， b ， c 的值；③求出 b － 4ac2的值，当 b － 4ac ≥ 0 时代入求根公式。
24. 因式分解法： 用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 步骤是：①将方程右边化为 0 ；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0 ，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法5 ．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a ≠ 0 ．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ， b ， c 的值；②若 b － 4ac ＜ 0 ，则方程无解．2⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－ 2(x ＋ 4) =3 （ x ＋ 4 ）中，不能随便约去 x ＋ 4 ⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6 ．一元二次方程解的情况⑴ b － 4ac ≥ 0 方程有两个不相等的实数根；2⑵ b － 4ac=0 方程有两个相等的实数根；2⑶ b － 4ac ≤ 0 方程没有实数根。
2解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用 b － 4ac 解题主要用于求方程中未知系数的值或取值范围2【例 2】分别用配方法、十字相乘法和公式法解方程：x ＋ 2x － 3=02归纳 3：韦达定理9 对于方程 ax ＋ bx+c=0(a ≠ 0 ）来说， x +x =— ， x ● x= 21212利用韦。